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第14章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

14.2統(tǒng)計模型

夠知識梳理

一、相關關系

1、變量的相關關系

當自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性，則這兩個變量之間的關系叫相

關關系.

2、散點圖

將樣本中的〃個數據點（x,,y）（i=l,2,…描在平面直角坐標系中，所得圖形叫做散點

圖.根據散點圖中點的分布可以直觀地判斷兩個變量之間的關系.

（1）如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內，對于兩個變量的這種相關

關系，我們將它稱為正相關，如圖（1）所示；

（2）如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內，對于兩個變量的這種相關

關系，我們將它稱為負相關，如圖（2）所示.

3、相關系數

若相應于變量x的取值七，變量y的觀測值為則變量x與y的相關系數

-x）（M-＞）-nxy

r=j一=-=j?,通常用r來衡量x與y之間的線性

唇一）與y^

關系的強弱，「的范圍為

（1）當r＞0時，表示兩個變量正相關；當一＜0時，表示兩個變量負相關.

（2）卜|越接近1,表示兩個變量的線性相關性越強；卜|越接近0,表示兩個變量間幾

乎不存在線性相關關系.當H=1時，所有數據點都在一條直線上.

（3）通常當吊＞0.75時，認為兩個變量具有很強的線性相關關系.

二、一元線性回歸模型

1.線性回歸方程：

線性回歸是研究不具備確定的函數關系的兩個變量之間的關系（相關關系）的方法.

對于一組具有線性相關關系的數據（X[,y）（X2，”），…，（％”為），其回歸方程y=Ax+a

的求法為

W-一4一

X（蒼一幻（凹一了）E七叫一nxy

----z——.....—

登2_展

/=!1=1

a=y-bx

其中，x=-yxz,^=-yv.,（x,?。┓Q為樣本點的中心，樣本中心必過線性回歸

〃心n,=|

方程。

2.非線性回歸方程：

解析非線性擬合問題，要先根據散點圖選擇合適的函數類型，設出回歸方程，通過換元

將陌生的非線性回歸方程化歸轉化為我們熟悉的線性回歸方程.

常見的非線性回歸模型：

（1）指數函數型y=c優(yōu)（々>0且awl,c>0）

兩邊取自然對數，lny=ln（c〃"）,即Iny=lnc+xlna,

令原方程變?yōu)閥'=lnc+fhw,然后按線性回歸模型求出Ina,Inc.

（x=x

（2）對數函數型y=Z>lnx+a

令：，原方程變?yōu)閥'=以'+a,然后按線性回歸模型求出b,a.

（x=Inx

（3）鼎函數型y=ar"

兩邊取常用對數，lgy=lg（ar"）,即Igy=〃lgx+lga,

令，原方程變?yōu)閥'=，4+lg〃，然后按線性回歸模型求出〃，Iga.

[x=lgx

（4）二次函數型y=b42+a

令FL：，原方程變?yōu)?'=加'+。，然后按線性回歸模型求出b,a.

[x=x

三、列聯(lián)表與獨立性檢驗

1、列聯(lián)表：

①定義：列出的兩個分類變量的頻數表稱為列聯(lián)表.

②2X2列聯(lián)表.

Ji%總計

Xaba+b

x2Cdc+d

a+b+c+d

總計a+cb+d

從2x2列表中，依據言與土的值可直觀得出結論：兩個變量是否有關系.

2、獨立性檢驗

（1）定義：利用獨立性假設、隨機變量K?來確定是否有一定把握認為“兩個分類變量

有關系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.

（2）公式：K2=-----------"ad-bcf-------其中〃=a+"c+d為樣本容量.

（a十b）（c十d）（a+c）（b十d）

（3）獨立性檢驗的具體步驟如下：

①計算隨機變量K2的觀測值3查下表確定臨界值環(huán)：

0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

②如果攵之勺，就推斷“x與y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過〃（六之勺）；否

則，就認為在犯錯誤的概率不超過P（K234）的前提下不能推斷“X與丫有關系”.

（4）兩個分類變量x和丫是否有關系的判斷標準：

統(tǒng)計學研究表明：

當K2K3.841時，認為X與y無關；

當K?>3.841時，有95/的把握說X與y有關；

當K?>6.635時，有99/的把握說X與V有關；

當犬>10.828時，有99.9/的把握說X與丫有關.

地題型歸納

題型一?一元線性回歸模型

考點L線性相關關系的判斷

I.某商家今年上半年各月的人均銷售額（單位：千元）與利潤率統(tǒng)計表如下：

月份123456

人均銷售額658347

利潤率（%）12.610.418.53.08.116.3

根據表中數據，下列說法正確的是（）

A.利潤率與人均銷售額成正比例函數關系

B.利潤率與人均銷售額成反比例函數關系

C.利潤率與人均銷售額成正相關關系

D.利潤率與人均銷售額成負相關關系

【解析】根據題意，畫出利潤與人均銷售額的散點圖，如圖所示;

20?

°I23~4567?9簫料,

由散點圖知，利潤率與人均銷售額成正相關關系.

故選：C.

2.對四組數據進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關于其相關系數的比較，正確的是（）

相關系數為n相關系徽為匚相關系數為r，相關系數為r,

A.r4<r2<O<r3<nB.?'2<r4<O<n<r3

C.r2<r4<0<r?<nD./-4<r2<0<n<n

【解析】根據相關系數的定義,的絕對值越接近于1關聯(lián)性越強，結合圖象可知，第一、

三兩幅圖為正相關，且第一幅圖的相關性更強，故0V/3V門，

又第二、四幅圖變量之間為負相關，且第二幅圖的相關性更強，故4V0,

故選：B.

3.某生物小組為了研究溫度對某種酶的活性的影響進行了一組實驗，得到的實驗數據經整

理得到如下的折線圖：

（I）由圖可以看出，這種酶的活性y與溫度x具有較強的線性相關性，請用相關系數

加以說明；

（II）求y關于x的線性回歸方程，并預測當溫度為30℃時，這種酶的活性指標值（計

算結果精確到0.01）

參考數據：￡?=]%=52.5,蹉i（々一幻（%一刃=85,豈（％-力-=5.5,

7742.65.

參考公式：相關系數r=/8:八優(yōu)回歸直線方程y=a+bx,b=

J器=i（勺一乃E之i（y-y）

【解析】⑺根據題意，x=1(84-11+144-20+234-26)=17,

(xt-x)2=(8-17)2+(11-17)2+(14-17)2+(20-17)2+(23-17)2+(26

-17)2=252,

所以相關系數X質表焉鎧*/=85

=0.97,

5.5x6斤

因為M一1,故這種酶的活性y與溫度x具有較強的線性相關性;

(II)￡乙％=52.5,y=8.75,

b=E之i勺匕一〉藥=（勺一動骨］一刃=85,

一也鏟成2一詠］（久「幻2一夜~0.34,

a=y—bx=8.75-0.34x17^.02,

所以y=3.02+0.34%,

當x=30時，y=3.02+0.34x30=13.22,

故預測當溫度為30℃時，這種酶的活性指標值為13.22.

考點2?一元線性回歸方程

I.已知一組樣本點（加加其中i=L2,3,…，30根據最小二乘法求得的回歸方程是y=bx+a

則下列說法正確的是（）

A.若所有樣本點都在y=bx+a上，則變量間的相關系數為1

B.至少有一個樣本點落在回歸直線y=bx+a上

C.對所有的預報變量xi（/=1,2,3,…，30）,Zw+a的值一定與v有誤差

D.若y=bx+a斜率b>0則變量x與y正相關

【解析】所有樣本點都在上，則變量間的相關系數為±1,故A錯誤；

回歸直線必過樣本數據中心點，但樣本點可能全部不在回歸直線上，故8錯誤；

若所有的樣本點都在y=bx+a上，則bxi+a的值與yi相等，故C錯誤；

相關系數r與匕符號相同，若y=bx+a斜率b>0,則r>0,樣本點應分布從左到右應該

是上升的，則變量x與），正相關，故D正確;

故選：D.

2.某車間為了規(guī)劃生產進度提高生產效率，記錄了不同時段生產零件個數x（百個）與相

應加工總時長y（小時）的幾組對應數據，根據表中提供的數據，求出y關于x的線性回

歸方程為，=0.7x+0.05,則下列結論錯誤的是（）

x2345

y1.52m3.5

A.加工總時長與生產零件數呈正相關

B.該回歸直線一定過點（3.5,2.5）

C.零件個數每增加1百個，相應加工總時長約增加0.7小時

D.”的值是2.85

【解析】由題意，線性回歸方程為，=0.7x+0.05,

對于A：??a=0.7>0,...加_L總時長與生產零件數呈正相關；

對于8：當x=3.5時，可得y=0.7x3.5+0.05=2.5,即該回歸直線一定過點（3.5,2.5）

對于C：由6=0.7,，零件個數每增加1百個，相應加工總時長線增加0.7小時，

對于O：回歸方程過平均中心，7=-3^—=3.5,7=1.5+27+3,5=25

解得：〃?=3

故選：D.

3.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額），（單位：億元）的折線圖.

2

2O

2O0

1S8O

1

140

128O

1

88O

40

20

。

為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量/的兩個線性回歸

模型.根據2000年至2016年的數據（時間變量，的值依次為1,2,…，17）建立模型

①：y=-30.44-13.5r；根據2010年至2016年的數據（時間變量￡的值依次為1,2,...?

7）建立模型②：y=99+17.5/.

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

【解析】(1)根據模型①:y=-30.4+13.56

計算，=19時，y=-30.4+13.5x19=226.1：

利用這個模型，求出該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值是226.1億元；

根據模型②：y=99+17.51,

計算f=9時，y=99+17.5x9=256.5；

利用這個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值是256.5億元；

(2)解法1：模型②得到的預測值更可靠，因為從總體數據看，該地區(qū)從2000年到2016

年的環(huán)境基礎設施投資額是逐年上升的，從2000年到2009年間遞增的幅度較小些，從

2010年到2016年間遞增的幅度較大些，所以利用模型②的預測值更可靠些.

解法2,模型②對應的7個點分布寬度小于模型①對應的17個點的分布寬度，則|廢|>|川，

所以模型②較好；

解法3,選擇與2018鄰近的三個年份(2014,2015,2016)計算模型②對應的殘差絕對

值之和=2.5+5+15=9,模型①對應的殘差絕對值之和=12+23.5+21=56.5：且9V56.5,

所以模型②較好；

所以利用模型②的預測值更可靠些.

4.某手機廠商在銷售200萬臺某型號手機時開展“手機碎屏險”活動、活動規(guī)則如下：用戶

購買該型號手機時可選購“手機碎屏險"，保費為x元，若在購機后一年內發(fā)生碎屏可免

費更換一次屏幕.該手機廠商將在這200萬臺該型號手機全部銷售完畢一年后，在購買

碎屏險且購機后一年內未發(fā)生碎屏的用戶中隨機抽取1000名，每名用戶贈送1000元的

紅包，為了合理確定保費x的值，該手機廠商進行了問卷調查，統(tǒng)計后得到下表(其中y

表示保費為x元時愿意購買該“手機碎屏險”的用戶比例)；

(1)根據上面的數據求出y關于x的回歸直線方程；

(2)通過大數據分析，在使用該型號手機的用戶中，購機后一年內發(fā)生碎屏的比例為

0.2%.已知更換一次該型號手機屏幕的費用為2000元，若該手機廠商要求在這次活動中

因銷售該“手機碎屏險”產生的利潤不少于70萬元，能否把保費x定為5元？

x1020304050

y0.790.590.380.230.01

參考公式：回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計分別為b=%嗎1號,

%xj-rix2

a=y-bx,

參考數據：中X的5個值從左到右分別記為XI，X2,X3,X4,X5,相應的丁值分別記為)，1，

)**,*,y5,經計算有工?=1(xT)(yi-7)=?19.2,其中5=白；=1Xi，y=|sf=i

【解析】（1）由已知得歹=30,y=0.4,

SF=i（左一初比一刃=T9.2,星=i（X；-x）2=1000,

一=%產田。嚴——0.0192,

a=y—bx=0.976.

關于x的回歸方程為y=-0.0192x+0.976；

（2）能把保費x定為5元.

理由如下：若保費x定為5元，則估計），=?0.0192x5+0.976=0.88.

估計該手機廠商在這次活動中因銷售該“手機碎屏險”產生的利潤為

2000000x0.88x5-2000000x0.88x0.2%x2000-1000x1000=0.76xl06（元）=76（萬元）

>70（萬元）.

???把保費”定為5元.

考點3.非線性回歸分析

1.某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度工（單位：℃）的關系，在

20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數據（加％?）（i=\,2,20）得

到下面的散點圖：

由此散點圖，在10C至40℃之間，卜.面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率），和溫度

x的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a￥bx~C.y=a+bexD.y=a+bbix

【解析】由散點圖可知，在10℃至40℃之間，發(fā)芽率），和溫度x所對應的點（x,y）在

一段對數函數的曲線附近，

結合選項可知，y=a+6/必可作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型.

故選：D.

2.習近平總書記在十九大報告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文

明發(fā)展理念，這將進一步推動新能源汽車產業(yè)的迅速發(fā)展.以下是近幾年我國某新能源

乘用車的年銷售量數據及其散點圖：

年份20152016201720182019

年份代碼x12345

某新能源車年L55.917.732.955.6

銷量y（萬輛）

（1）請根據散點圖判斷，y=m+a與y=c/+d中哪一個更適宜作為年銷售量y關于年份

代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程，并預測2020年我國

某新能源乘用車的銷售量（精確到0.1）.

附：①最小二乘法估計公式：/>=%（GT）。/a=y-bt.

%（爐）

②參考數據：y=22.72,SF=i-⑻2=374,￡匕?-⑻勿一刃=135.2,

【解析】（1）根據散點圖，y=c/+d更適宜作為年銷量丁關于年份代碼x的回歸方程；

（2）依題意a=11,c=迪上包駕％=筆崇々2.28,

%3酒2374

d=歹一曲=22.72—2.28x11=—2.36,

y=2.28（o-2.36=2.28/-2.36

令x=6得y=79.72,預測2020年我國某新能源乘用車的銷量為79.7萬輛.

3.某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年

銷售量y（單位：/）和年利潤z（單位：千元）的影響.對近8年的年宣傳費制和年銷售

量2,8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖.

（1）根據散點圖判斷，y=〃+法與y=c+小后哪一個適宜作為年銷售量），關于年宣傳費x

的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

2￡g=l(COLco)

XySf=i'：x/-x)Zf=1(coz-ZJ)空=1Cxi-x)

2(yf)(次一)

46.65636.8289.81.61469108.8

表中Wi=歷7=/=1M

（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；

（3）已知這種產品的年利潤z與x,y的關系為z=0.2y-x.根據（2）的結果回答下列

問題：

①年宣傳費”=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？

附：對于一組數據（〃1，力），（〃2，V2），…，（〃”，Vn）?其回歸直線V=a+P〃的斜率和截

距的最小二乘估計分別為0=界=1Q「司。彳切,a=v-pu.

2

%（ut-u）

隼像代W年

【解析】（1）由散點圖知：各點呈非線性遞增趨勢,

所以y=c+d4作為回歸方程比較合適.

蹋=1（"一板）?！感侄?08.8

(2)由岫=則4==68>

宅1（%-叼2-1.6

由面=6.8,y=563,^\\c=y-dw=563-68x6.8=100.6,

所以y=100.6+68Vx.

(3)①當x=49時，y=100.6+68xV49=576.6/；

此時年利潤z=0.2x576.6-49=66.32千元.

②由題意，z=0.2(100.6+68依)-%=20.12+13.6依-(V%)2=一(依-6.8)24-

66.36,

所以，當代=6.8,即x=46.24時，年利潤的預報值最大.

題型二?列聯(lián)表與獨立性檢驗

考點1.簡單的獨立性檢驗

1.某醫(yī)療研究所為了檢驗新開發(fā)的流感疫苗對甲型即〃1流感的預防作用，把1000名注射

了疫苗的人與另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒記錄作比較，提出假設“0：”這

種疫苗不能起到預防甲型HIM流感的作用”，并計算出P（X2>6,635）=0.01,則下列說

法正確的是（）

A.這種疫苗能起到預防甲型Hln\流感的有效率為1%

B.若某人未使用該疫苗，則他在半年中有99%的可能性得甲型“加1

C.有1%的把握認為“這種疫苗能起到預防甲型Hln\流感的作用”

D.有99%的把握認為“這種疫苗能起到預防甲型Hln\流感的作用”

【解析】???并計算出尸（X2>6.635）=0.01,

這說明假設不合理的程度約為99%,

即這種疫苗不能起到預防甲型小出流感的作用不合理的程度約為99%,

工有99%的把握認為“這種疫苗能起到預防甲型Hln\流感的作用”

故選：D.

2.為了判斷高中學生的文理科選修是否與性別有關，隨機調查了50名學生，得到如標2x2

列聯(lián)表：

理科文科息計

男20525

女101525

總計302050

那么，■認為“高中學生的文理科選修與性別有關系”犯錯誤的概率不超過

2

【解析】?=5°■既跣甯）-8.333>7.879,

???認為“高中學生的文理科選修與性別有關系”犯錯誤的概率不超過0.005.

故答案為：0.005.

3.通過隨機詢問200名性別不同的大學生是否愛好踢健子運動，計算得到統(tǒng)計量K的觀測

值上4892,參照附表，得到的正確結論是（）

P（火次）0.100.050.025

k2.7063.8415.024

A.有97.5%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”

B.有97.5%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”

C.在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”

D.在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”

【解析】:計算得到統(tǒng)計量值K2的觀測值q4.892>3.841,

參照題目中的數值表，得到正確的結論是：

在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“愛好該運動與性別有關”.

故選：C.

4.海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100

個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：奴），其頻率分布直方圖如圖：

⑴記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于40kg”,估計A的概率;

(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關:

箱產量＜40依箱產量為0依

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

附：

P(心幻0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2

“2_n(ad-bc)

長=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

【解析】(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于40依”，

由舊養(yǎng)殖的頻率分布直方圖可得，P(A)=(0.012+0.014+0.024)x5=0.25.

(2)在抽取舊養(yǎng)殖法的100個網箱中，箱產量＜40依占100x0.25=25,箱產量/檄占

100-25=75,

在抽取新養(yǎng)殖法的100個網箱中，箱產量V40依占100x0.004x5=2,箱產量為。依占100

-2=98,

故可得2x2列聯(lián)表:

箱產量V40口箱產量240口合計

舊養(yǎng)殖法2575100

新養(yǎng)殖法298100

合計27173200

2

??“2_200x(25x98-2x75)(〈八、人么”

,K~27x173x100x100-22.650>6.635,

???有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關.

考點2.獨立性檢驗與概率綜合問題

1.為了解高校學生平均每天使用手機的時間長短是否與性別有關，某調查小組隨機抽取了

25名男生、10名女生進行為期一周的跟蹤調查，調查結果如表所示:

平均每天使用手機＞3小平均每天使用手機$3小合計

時時

男生151025

女生3710

合計181735

(I)根據列聯(lián)表判斷，是否有90%的把握認為學生使用手機的時間長短與性別有關;

(II)在參與調查的平均每天使用手機不超過3小時的10名男生中，有6人使用國產手

機，從這10名男生中任意選取3人，求這3人中使用國產手機的人數X的分布列和數學

期望.

pCK2>ko)0.4000.2500.1500.1000.0500.025

ko0.7081.3232.0722.7063.8415.024

2

(a+c)(4d)(aA)(c+d)ga+b+c+d)

參考公式：K2=

2

35x(15x7-10x3)2175

【解析】(I)由列聯(lián)表得.人一(a+c)(b+d)(a+匕)(c+d)-

18x17x25x10=前"

2.57,

由于2.57<2.706,所以沒有90%的把握認為學生使用手機的時間長短與性別有關.

(II)X可取值0,1,2,3

P(X=2)=￡4^6=4,

c「'10AZ

P(X=3)=軍=:，

%6

所以X的分布列為

X0123

P1311

301026

這3人中使用國產手機的人數X的數學期望為

E(X)=0x-^+lx^+2xi+3x1=|.

2.為了調查民眾對國家實行“新農村建設”政策的態(tài)度，現通過網絡問卷隨機調查了年齡在

20周歲至80周歲的100人，他們年齡頻數分布和支持“新農村建設”人數如表:

年齡[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)

頻數102030201010

支持“新農311261262

村建設“

(1)根據上述統(tǒng)計數據填下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為以50歲為

分界點對“新農村建設”政策的支持度有差異；

年齡低于50歲的人數年齡不低于50歲的人合計

數

支持

不支持

合計

（2）為了進一步推動“新農村建設”政策的實施，中央電視臺某節(jié)目對此進行了專題報道,

并在節(jié)目最后利用隨機撥號的形式在全國范圍內選出4名幸運觀眾（假設年齡均在20周

歲至80周歲內），給予適當的獎勵.若以頻率估計概率，記選出4名幸運觀眾中支持“新

農村建設''人數為。試求隨機變量&的分布列和數學期望.

參考數據：

P（產/）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考公式：K?=g+b)黑歌?c)(b+d)，其孤=a+b+c+d.

【解析】（1）2x2列聯(lián)表如下:

年齡低于50歲的人數年齡不低于50歲的人合計

數

支持402060

不支持202040

合計6040100

2_100X(40X20-20X20)2

K~60x40x40x60?2.778<3.841,

所以沒有95%的把握認為以50歲為分界點對“新農村建設”政策的支持度有差異.

（2）由題意知4所有可能的取值為0,1,2,3,4.且觀眾支持“新農村建設”的概率為

60_3

100一5’

3

因此隨機變量g?8（4,

尸（1=。）=扇＞=提，尸熊=1）=C2X。x（1）3=澆，尸（4=2）=盤X4）2X。）2=

畿，八―守=54-凱=費

所以隨機變量g的分布列為：

之01234

P169621621681

625625625625625

所以自的期望為E(1)=4x|=^

3.為了保障某種藥品的主要藥理成分在國家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的值范圍內，某制藥廠在

該藥品的生產過程中，檢驗員在一天中按照規(guī)定每間隔2小時對該藥品進行檢測，每天

檢測4次：每次檢測由檢驗員從該藥品生產線上隨機抽取20件產品進行檢測，測量其主

要藥理成分含量(單位：mg)根據生產經驗，可以認為這條藥品生產線正常狀態(tài)下生產

的產品的其主要藥理成分含量服從正態(tài)分布N(%o2).

(1)假設生產狀態(tài)正常，記X表示某次抽取的20件產品中其主要藥理成分含量在(g

?3o,之外的藥品件數，求X的數學期望：

(2)在一天的四次檢測中，如果有一次出現了主要藥理成分含量在(N-3G,R+3G)之

外的藥品，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現異常情況，需對本次的生產

過程進行檢杳：如果有兩次或兩次以上出現了主要藥理成分含量在(口-3。，口+3。)之外

的藥品，則需停止生產并對原材料進行檢測.

①下面是檢驗員在某次抽取的20件藥品的主要藥理成分含量：

10.029.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.95

10.099.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12

經計算得，宣=蕓￡之r=9.96,$=偏理1(陽-藥=忌(￡幽xr-20x2)=

0.19

其中H?為抽取的第i件藥品的主要藥理成分含量(i=l,2,…，20),用樣本平均數元作

為N的估計值A，用樣本標準差s作為。的估計值利用估計值判斷是否需對本次的生

產過程進行檢查？

②試確審一天中需停止生產并對原材料講行檢測的概率(精確到0.001).

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(4a2),則P(/-3OVZ〈N+3G)=0.9974,

0.997419=0.9517,0.99742°=0.9493,0.94932=0.9012,0.9493M.8555,0.9493M.8121.

【解析】(1)抽取的一件藥品的主要成分含量在(N-3O,N+3O)之內的概率為0.9974.

從而主要成分在該區(qū)間之外的概率為0.0026.故X?B(20,0.0026).

X的數學期望為EX=20x0.0026=0.052.

(2)①由亍=9.96,s=0.19,得u的估計值為〃=9.96,a=0.19.

結合樣本數據可以看出有一件藥品的主要藥理成分(9.22)含量在(〃-3。，4+3。)=

(9.39,10.53)之外.

因此需對本次的生產過程進行檢查.

②設“在一次檢測中，發(fā)現需要對本次生產過程進行檢查”為事件A.

則P(A)=1-[P(X=0)嚴4-0.99742°=1-0.9493=0.0507.

如果在一天中，需停止生產并對原材料進行檢測，則在一天的四次檢測中，兩次或兩次

以上出現了主要藥理成分含量在3。區(qū)間外的藥品，故概率為：

P=\-[\-P(A)]4-4xP(A)x[l-P(A)]3.

：.P^\-0.8121-0.1735=0.0144^0.014.

故確定一天中需要對原材料進行檢測的概率為0.014.

圖)課后作業(yè)

I.如表提供了某廠節(jié)能降耗改造后在生產A產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產

能耗y(噸)的兒組對應數據，根據表中提供的數據，求出y關于x的線性回歸方程為

y=0.7x+0.35,則下列結論錯誤的是()

工3456

y2.5t44.5

A.線性回歸直線一定過點(4.5,3.5)

B.產品的生產能耗與產量呈正相關

C./的取值必定是3.15

D.A產品每多生產1噸，則相應的生產能耗約增加0.7噸

【解析】x(3+4+5+6)=竽=4.5,

貝呼=0.7x4.5+0.35=3.5,即線性回歸直線一定過點(4.5,3.5),故A正確，

???0.7>0,???產品的生產能耗與產量呈正相關，故8正確，

Vy=A(2.5+Z+4+4.5)=3.5,得f=3,故C錯誤，

A產品每多生產I噸，則相應的生產能耗約增加0.7噸，故。正確

故選：C.

(多選)2.千百年來，我國勞動人民在生產實踐中根據云的形狀、走向、速度、厚度、顏

色等的變化，總結了豐富的“看云識天氣”的經驗，并將這些經驗編成諺語，如“天上鉤鉤

云，地上雨淋淋日落云里走，雨在半夜后”……小波同學為了驗證“日落云里走，雨在

半夜后”，隨機觀察了他所在地區(qū)的100天中的“日落云里走”的情況和后半夜天氣情況,

得到如下數據，

后半夜天氣情況下雨未下雨總計

“日落云里走”的情況

出現25530

未出現254570

總計5050100

并計算得到/R9.05,則小波對該地區(qū)天氣的判斷正確的是（）

P（隹如）0.1000.0500.0100.001

依2.7063.8416.63510.828

1

A.后半夜下雨的概率約為鼻

B.未出現“日落云里走”時，后半夜下雨的概率約為:

C.有99%的把握認為《日落云里走'是否出現"與“后半夜是否下雨”有關

D.若出現“日落云里走”，則后半夜有99%的可能會下雨

25+251

【解析】用頻率估計概率可得，夜晚下雨的概率約為―一二二，所以A正確；

1002

255

未出現“日落云里走”時夜晚下雨的概率約為=77,所以8錯誤；

25+4514

由金司9.05>10.828,可得有99.9%的把握認為“，日落云里走，是否出現”與“當晚是否下雨”

有關，所以C正確，D錯誤.

故選：AC.

3.全國兩會召開前夕，許多人大代表關心霧霾治理，倡導綠色發(fā)展，擊碎十面“宣伏”.通

過不懈努力，近兩年某市空氣質量逐步改善，居民享受著在藏天白云下出行和鍛煉.PM2.5

的值是表示空氣中某種顆粒物的濃度，通常用來代表空氣的污染情況，這個值越高空氣

污染就越嚴重，如表是某人朋友圈內室外鍛煉的人數與PM2.5值的?組數據.

PM2.5的值工110100806050

室外鍛煉人數9095100105110

y（人）

（1）請用相關系數「（精確到0.01）說明y與x之間具有線性相關關系；

（2）若室外鍛煉人數與PM2.5的值存在線性關系，請根據上表提供的數據，當PM2.5的

值為40時，估計室外鍛煉人數（四舍五入）；

（3）將表格中的x與y數據看作五個點的坐標（x,y）,從這五個點中任意抽取兩個點，

求這兩個點都在圓（x-80）2+（y-90）2=100外的概率.

余老公式.r-必（」一幻仇一刃h_（芍一幻一刃_%芍力-煙；_

y-bx

參考數據：￡乙加沙=39200,Sf=i=34600,SF=i療=50250,V26?5.10,

>^50句5.81.

【解析】⑴元=[x(110+100+80+60+50)=80,y=1x(90+95+100+105+110)=100,

_(%L君勺兒一5回

物=1(勺問2輻伊方)2版篙(勺2-5乃)(琪1d2—5/))

39200-5x80x100

J(34600-5x802)(50250-5xlC02)

—800___80Ann

―72600x250"5.1x15.81*'

???y與x之間具有較強的負線性相關關系.

/C、,給1x,y；-nxy39200-5x80x100-8004

(2)力=---T--虧=----------7-=o/cnn=一F、一0?3I，

工區(qū)[x^-nx34600-5x80，260013

a=y-bx=100+0.31x80=124.8.

與x的線性回歸方程為：y=-0.3lx+124.8.

當x=40時，y=-031x40+124.8=112.

當尸M2,的值為40時，室外鍛煉人數估計為112人.

（3）5個點中，只有點（80,100）在圓上，其余4點都在圓外，

，??這五個點中任意抽取兩個點，兩個點都在圓外的概率為P=4=

W5

4.某市統(tǒng)計了該市近五年的環(huán)保投資額y（萬元）得下表:

年份20172018201920202021

年份代號X12345

年環(huán)保投資額），（萬元）1220354855

以x為解釋變量，y為響應變量，若用y=bx+a作為經驗回歸方程，則決定系數器=

0.9860,若用y=q+c21nx作為經驗回歸方程，則決定系數暇=0.9343.

（1）判斷y