專題14線段和角的動態(tài)問題的八種考法

目錄

解題知識必備...................................................................................1

壓軸題型講練...................................................................................2

類型一、線段上動點求線段長問題................................................................2

類型二、線段上動點求定值問題..................................................................6

類型三、線段上動點求時間問題.................................................................10

類型四、線段上動點的新定義型問題.............................................................13

類型五、幾何圖形中動角求定值問題.............................................................17

類型六、幾何圖形中動角探究數(shù)量關系問題......................................................21

類型七、幾何圖形中動角求運動時間問題.........................................................26

類型八、幾何圖形中動角之新定義型問題.........................................................32

壓軸能力測評（18題）.........................................................................36

“解題知識必備”

1.線段的中點模型

把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點.如下圖，有：AM=MB=-AB

2

AMB

2.角平分線模型

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.如圖所示，OC是NA03

的角平分線，ZAOB=2ZAOC=2ZBOCfZAOC=ZBOC=-ZAOB.

/A

2

OB

X壓軸題型講練”

類型一、線段上動點求線段長問題

例題：（23-24七年級上?陜西渭南?期末）如圖，B是線段上一動點，以2cm/s的速度沿AfOfA往返

運動1次，C是線段3。的中點，A￡）=10cm,設點B運動的時間為、.

I________________________________

AB?C?D?

（1）當7=3時，求線段A8的長；

⑵當/=9時，求線段CO的長.

【答案】⑴AB=6cm

⑵CD=4cm

【知識點】線段的和與差、線段中點的有關計算、兩點間的距離

【分析】本題主要考查了線段中點的有關計算，線段的和差計算，解題關鍵是數(shù)形結合，熟練掌握中點的

定義.

（1）根據(jù)點8運動的速度進行計算即可；

（2）先求出或（=8cm,然后根據(jù)中點定義進行計算即可.

【詳解】（1）解：回點8是線段A。上一動點，以2cm/s的速度沿AfOfA往返運動1次，

回當f=3時，線段的長為：2x3=6（cm）；

（2）解：當f=9時，點2運動的路程為：2x9=18（cm）,

0AD=10cm,

回止匕時AB=10x2—18=2（cm）,

|?]BD=10-2=8（cm）,

回C是線段3D的中點，

0CD=—BD=4cm.

2

【變式訓練1】（23-24六年級下?山東青島?期末）如圖，動點8在線段AO上，沿AfOfA以2c7w/s的速

度往返運動1次，C是線段3。的中點，AT>=10cm,設點8的運動時間為r秒（04壯10）.

ABCD

I_____________I___________________I_______________________I

⑴當1=2時,

①AB=cm；

②求線段CO的長度.

⑵用含t的代數(shù)式表示運動過程中線段AB的長度.

【答案】⑴①4；②3cm

（2）2?cm或（20-2t）cm

【知識點】與線段有關的動點問題

【分析】（D①根據(jù)速度乘以時間等于路程，可得答案；②根據(jù)線段的和差，可得8。的長，根據(jù)線段

中點的性質，可得答案；

（2）根據(jù)速度乘以時間等于路程，及線段的和差，可得48的長.

【詳解】（1）解：①當r=2時，AB=2r=2x2=4（cm）；

故答案為：4

②回AD=10cm,AB-4cm,

0BD=1O—4=6（cm）.

回C是線段BO的中點，

ECD=^-SD=1x6=3（cm）.

ABCD

I_________________I______________________I___________________________I

（2）解：ae是線段A。上一動點，沿A->OfA以2襁的速度往返運動，

回當點2沿點A玲D運動時，AB=2fcm

點2沿點A運動時，48=（20-20cm

團綜上所述，AB=2tcm（04/45）或AB=（20-2f）cm（5<f<10）

【點睛】本題考查兩點間的距離，利用線段中點的性質及線段的和差得出與8。的關系是解題關鍵.

【變式訓練21（23-24七年級上?重慶沙坪壩?期末）點C在線段48上滿足AC=23C,點。和點E是線段AB

上的兩動點（點。在點E的左側）滿足DE=21cm,AB=36cm.

ADE""BAB

備用圖

⑴當點E是8C的中點時，求A￡）的長度；

（2）當AD=：CE時，求CD的長度.

【答案】⑴9cm

33

⑵3cm

【知識點】線段的和與差、線段中點的有關計算

【分析】本題考查線段的和差，線段的中點.

（1）由AC=23C,AC+3C=AB=36cm可得AC=24cm,BC=12cm,由點E是BC的中點，得到

CE^-BC=6cm,從而CD=DE-CE=15cm,AD=AC-CD=9cm；

2

（2）設CE=xcm,則AD=；CE=gxcm,CD=AC-AD=24-1^（cm）,根據(jù)CD+CE=DE=21cm即可

得到方程，求解即可解答.

【詳解】（1）EIAC=23C,AC+BC=AB=36cm,

0AC=24cm,BC=12cm,

回點￡是3c的中點，

0CE=1BC=|xl2=6（cm）,

0DE=21cm,

ECD=DE-CE=21-6=15（cm）,

0AD=AC-CD=24-15=9（cm）；

（2）設CE=xcm,則AO=gcE=gxcm,

CD=AC-AD=24-1.r（cm）,

團CD+CE=DE=21cm,

團24—x+%=21,

3

9

解得尤=9

2

55oQQ

ElCO=24——x=24一一x-=—(cm).

3322v7

【變式訓練3】(22-23七年級上?河南駐馬店?期末)線段AB=16,C,。是線段力B上的兩個動點(點C在點

。的左側)，且CD=2,E為3C的中點，

ACDEB

圖1

\_????

AFCDEB

圖2

1______1

備用圖

⑴如圖1,當AC=4時，求DE的長.

(2)如圖2,歹為2D的中點

①點C,。在線段4B上移動的過程中，線段所的長度是否會發(fā)生變化，若會，請說明理由，若不會，請

求出EF的長.

②當CF=0.8時，請直接寫出線段DE的長.

【答案】⑴4

(2)①不變，4；②4.2或5.8

【知識點】線段的和與差、線段中點的有關計算

【分析】（1）首先根據(jù)題意求出BC的長度，然后由E為BC的中點求出BE的長度，最后即可求出DE的長；

（2）由題意可得AD+3C=AB+CD,由歹為AD的中點和E為的中點表示出廠方+CE=g（AD+2C）,

代入EF=FD+CE—CD,即可求出EF長.

【詳解】（1）解：因為AC=4,AB=16

所以3c=12

因為E為BC的中點.

所以CE=6,因為CD=2,

所以止=6-2=4

（2）解：①因為E是線段BC的中點，F(xiàn)是線段AD的中點，

所以AF=FD=2A。，CE=BE=LBC.

22

因為EF=FD+DE

=-AD+-BC-CD

22

=1（AD+BC）-Cr>

=+BD+CD）-CD

=-AB--CD

22

=1x16-1=7

2

所以線段肝的長度不會發(fā)生變化，EF=7.

②4.2或5.8.

提示：當點尸在點C的左側時，如圖1所示。

IlliII

AFCDEB

圖1

因為FC=0.8,CD=2,

所以FD=FC+CD=2.8.

由①知所=7.

所以DE=EF—FD=7—2.8=4.2.

當點尸在點C的右側時，如圖2所示.

IIIIII

ACFDEB

圖2

因為bC=08,CD=2.

所以FD=CD—FC=L2

由①知EF=7,所以OE=￡F—FD=7—1.2=5.8

綜上所述，當。斤=0.8時，線段DE的長為4.2或5.8.

【點睛】此題考查了線段的和差計算以及有關線段中點的計算問題，解題的關鍵是正確分析題目中線段之

間的數(shù)量關系.

類型二、線段上動點求定值問題

例題：(23-24七年級上?云南曲靖?期末)A,B是數(shù)軸上的兩點(點3在點A的右側)，點A表示的數(shù)為-10,

A、3兩點的距離是點A到原點。的距離的3倍，即AB=304.點C為數(shù)軸上的動點.

⑴數(shù)軸上點3表示的數(shù)是；

(2)當AC+3C=58時，求點C表示的數(shù)；

⑶若點M為AC的中點，點N為CB的中點，點C在運動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若發(fā)生變

化，請你說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段的長度.

【答案】⑴20；

(2)點C表示的數(shù)為-24或34；

⑶不發(fā)生變化，圖見解析，MN=15.

【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、數(shù)軸上的動點問題、幾何問題(一元一次方程的應用)、線段的和與差

【分析】(1)本題根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離算出利用AB=3OA,得到AB的長，利用數(shù)軸上兩點之

間的距離，即可解題.

(2)本題根據(jù)AB=30,可判斷點C不在線段AB上，設點C表示的數(shù)為了，則可分兩種情況進行分析：點

C在A左側或點C在8右側，分別表示出AC+3C后，根據(jù)AC+3C=58建立等式求解，即可解題；

(3)本題根據(jù)點C為數(shù)軸上的動點，分為以下三種情況，①點C在點A的左側，②點C在A3之間，③

點C在點B右側，利用中點求出線段CN、CM的長度，根據(jù)圖形分析表示出的長度，即可解題.

【詳解】(1)解：?點A表示的數(shù)為-10,

..04=10,

\-AB^3OA,

AB=30,

又,,?點8在點A的右側，

點B表示的數(shù)為-10+30=20,

故答案為：20.

(2)解:設點C表示的數(shù)為x,

?/AC+BC=58>AB=3Q,

???點C在點A的左側或點B的右側，

當點C在點A的左側時，

(-10-x)+(20-x)=58,

解得x=—24；

當C在B的右側時，

(元-20)+(x+10)=58.

解得x=34.

綜上所述，點C表示的數(shù)為-24或34.

(3)解：MN的長度不發(fā)生變換，理由如下:

①點C在點A的左側，

C丫A個BAC=-1O-X,

__???I_______?___>VBC=20-x,M是AC的中點，N是BC的中點,

:.CMCN二三

20-x-10-x

:.MN=CN-CM=-------

22

②點。在AB之間,

dM*BC=2Q-x,M是AC的中點，N是BC的中點,

x-10

:.CM,CN=^^

22

20-x

.MN=CN+CM=-------=15；

22

③點。在點3的右側,

4個?”5????AC=10BC=x-20,M是AC的中點，N是BC的中點,

x-10x—20

:.CM,CN=

22

_inx-20

.\MN=CM-CN=-r-----

22

【點睛】本題考查用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)、數(shù)軸上兩點之間的距離、數(shù)軸上的動點問題，線段中點的定

義、一元一次方程的應用、線段的和差，解題關鍵是根據(jù)數(shù)軸表示出線段的長度.

【變式訓練1](23-24七年級上?北京?期末)如圖，線段AB=24,動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位的速

度沿射線運動，〃為AP的中點.

IIII

AMPB

⑴出發(fā)多少秒后，PB=2AM?

(2)當尸在線段AB上運動時，試說明23M-BP為定值.

⑶當尸在A3延長線上運動時，N為3P的中點，下列兩個結論：①兒W長度不變；②MA+/W的值不變.選

擇一個正確的結論，并求出其值.

【答案】⑴出發(fā)6秒后PB=24ll；

(2)2BM—BP=24,理由見解析；

(3)選①，MN=12,理由見解析.

【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、線段的和與差、線段中點的有關計算

【分析】本題考查了兩點間的距離，解答本題的關鍵是用含時間的式子表示出各線段的長度.

(1)分兩種情況討論，①點尸在點8左邊，②點尸在點8右邊，分別求出t的值即可.

(2)AM=x,BM=24-x,PB=24—2x,表示出23加一3尸后，化簡即可得出結論.

(3)PA=2x,AM=PM=x,PB=2x-24,PN=gpB=x-12,分別表示出AW,MA+PN的長度，即

可作出判斷.

【詳解】(1)解：設出發(fā)無秒后=

當點P在點8左邊時，PA=2x,PB=24-2x,AM=x,

由題意得，24-2x-2x,

解得：x=6；

當點P在點8右邊時，PA=2x,PB=2x-24,AM=x,

由題意得：2x—24=2x,方程無解；

綜上可得：出發(fā)6秒后尸3=2AAf.

(2)解:-.-AM=x,BM=24-x,PB=24—2x,

.-.2BM-BP=2(24-x)-(24-2x)=24；

(3)解：選①；

■：PA^2x,AM=PM=x,PB=2x-24,PN=-PB=x-n,

2

?MV=PM-PN=x-(x-12)=12(^0；

②M4+PN=x+x-12=2尤一12(變化).

【變式訓練2】(23-24七年級上?吉林白城?期末)如圖，線段AS=10cm,點C是線段AB上的一個動點，點

C從點A出發(fā)，以2cm/s的速度從點A運動到點3,再從點3運動到點A,然后停止.設點C運動的時間

為t(s).

III

ACB

(1)當f=2時，AC=cm.當r=6時，AC=cm.

(2)用含，的式子表示整個運動過程中AC的長度；

⑶設。是線段AC的中點，E是線段BC的中點.

①當點C從點A向點3運動時，線段。E的長度是否變化？若不變，求出。E的長度；若變化，說明理由；

②當AD=5E時，直接寫出f的值，t=.

【答案】⑴4；8

（2）①當點C從A運動到點B時，AC=2t；②當點C從8運動到點A時，AC=20-2r

⑶①當點。從點A向點B運動時，線段DE的長度不變，DE=5；②2.5或7.5

【知識點】列代數(shù)式、幾何問題（一元一次方程的應用）、線段的和與差、線段中點的有關計算

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，用代數(shù)式表示式，線段的和差以及線段中點的有關計算，根據(jù)

情況分情況計算是解題關鍵.

（1）根據(jù)題意先得出當f=5時，點C運動到點8處，5<f<10時，點C從點8處返回點A,然后求出7=2

以及f=6時的結果即可；

（2）由（1）分析可知：當點C從A運動到點8時以及當點C從8運動到點A時，兩種情況下的AC的長度；

（3）①設。是線段AC的中點，E是線段BC的中點，根據(jù)線段中點的相關計算即可求解；②在若點C從

點A向點3運動，A￡）=3E時，點C從點2向點A運動，加二座時，兩種情況下分別求解即可.

【詳解】（1）解：由題意可知當，=5=5時，點C運動到點8處，5。<10時，點C從點B處返回點A,

.,.當7=2時，AC=2x2=4（厘米），

當『=6時，AC=2AB-2x6=2xl0-12=8（厘米），

故答案為：4,8；

（2）由（1）分析可知：

當點C從A運動到點8時，即04/45時，AC=2t,

當點C從8運動到點A時，即5<七10時，AC=2AB-2t=20-2t；

（3）設。是線段AC的中點，E是線段BC的中點，

①當點C從點A向點3運動，線段DE的長度不變化，

???。是線段AC的中點，E是線段BC的中點，

:.CD=-AC,CE=-BC,

22

DE=CD+CE=1（AC+BC）=

—AB=5cm

2

即DE的長度為5cm；

②當AD=3E1時，

若點C從點A向點8運動，時，

是線段AC的中點，E是線段BC的中點,

:.AC^2AD,BC=2BE,

AC=BC=^AB=5,即有2r=5,

/.t—2.5；

若點c從點8向點A運動，AD=3E時，

是線段AC的中點，E是線段2C的中點,

:.AC^2AD,BC=2BE,

.-.AC=BC=~AB=5,即有27=10+5,

/.t—7.5,

綜上可知，當=時，r的值為2.5或7.5.

類型三、線段上動點求時間問題

例題：(23-24七年級?四川達州?階段練習)如圖，C是線段A3中點，且AB=10cm,N、M兩點分別從C、

8同時出發(fā)以lcm/s,3cm/s的速度沿線段54向左運動，設運動時間為J

III

ACB

⑴當點M追上點N時，求f的值.

(2)若點M,N相距2cm,則f的值為多少？

【答案】⑴f=2.5s

(2)t=1.5s或/=3.5s

【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、兩點間的距離、與線段有關的動點問題

【分析】(1)由題意列出方程并求解即可；

(2)分兩種情況：①當點M未追上點N時；②當點〃追上點N后，分別列出方程并求解即可.

【詳解】(1)解：由題意得：3t—t=5

解得：t=2.5,

團當點M追上點N時，t的值為2.5s；

(2)當點M未追上點N時，3t-t=5-2,得f=1.5；

當點/追上點N后，3t-t=5+2,得7=3.5；

綜上，當，=1.5s或f=3.5s時，點M與N相距2cm.

【點睛】本題考查線段上動點問題，一元一次方程的應用，兩點之間距離的概念，找等量關系列出方程是

解決問題的關鍵，屬于中考?？碱}型.

【變式訓練1】(22-23七年級上?吉林長春?期末)如圖，點8在線段AC上，且AB=9,BC=3.動點P從

點A出發(fā)，沿AC以每秒4個單位長度的速度向終點C勻速運動；同時動點。從點C出發(fā)，沿C4以每秒2

個單位長度的速度向終點A勻速運動.設點Q的運動時間為t(s).

IIIII

APBQC

⑴線段A3、3c的中點之間的距離為.

(2)當點P到點C時，求尸。的長.

⑶求尸。的長(用含/的代數(shù)式表示).

⑷設2PQ=AC時，直接寫出f的值.

【答案】⑴6

(2)6

(3)當0<區(qū)2時，PQ=12-6t.當2</43時，PQ=6t-12；當3cH6時，PQ=2t.

(4"=1或7=3

【知識點】與線段有關的動點問題、線段中點的有關計算、幾何問題(一元一次方程的應用)、列代數(shù)式

【分析】(1)設點AB的中點為M,BC的中點為N,分別求出和的長，再求和即可；

(2)先求出當尸到點C時f的值，再根據(jù)路程=時間x速度可求出；

(3)先找到何時P、。相遇，再分段討論，當0W2時，當2</V3時，當3</6時，分別求出尸。的長

即可；

(4)根據(jù)(3)中求出PQ的長，利用2PQ=AC列方程，求出f的值即可.

【詳解】(1)解：設點A3的中點為M,2C的中點為N,

0AB=9fBC—3,

0BM=-AB=4.5,BN=-BC=1.5,

22

SMN=BM+BN=4.5+1.5=6；

(2)解：EAB=9,BC=3

SAC=AB+BC=12

自動點P從點A出發(fā)，沿AC以每秒4個單位長度的速度向終點C勻速運動；同時動點。從點C出發(fā)，沿C4

以每秒2個單位長度的速度向終點A勻速運動

團當尸至IJ點C時，f=12+4=3,

回PQ=2x3=6；

(3)解:當點P、。相遇時，/=12*4+2)=2.

當0V/W2時，PQ=12-6t；

當2</43時，PQ=6t-12.

當3。<6時，PQ=2t.

(4)解：當0W/W2時，2(12—6。=12,解得f=l；

當2<區(qū)3時，2(6/12)=12,解得r=3.

當3。<6時，2x27=12,t=3(舍).

E?=1或，=3.

【點睛】本題考查在動點問題的背景下考查線段的和差運算，線段中點的性質，一元一次方程的應用等知

識，關鍵是理清點的運動狀態(tài)，找到臨界點.

3

【變式訓練2】(23-24七年級上,重慶南岸,期末)如圖，點C是線段AB上的一點，線段AC=8,BC=-AC,

點。為線段AB的中點.

ACDB

ACDB

備用圖

⑴直接寫出線段AB和CO的長；

⑵若動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿直線向右運動，動點。從點B出發(fā)，以每秒3個單

位的速度沿直線54向左運動，當點。到達點A時立即掉頭沿直線A8向右運動，當點。再次回到點B時，

動點P,。同時停止運動.設運動時間為f秒.

①當/為何值時，點尸與點Q重合？

②當t為何值時，點尸與點。之間的距離尸。=4.

【答案】（1）48=20,CD=2；

（2）①）r=5或r=10；②f=4或/=6或7=8或r=12.

【知識點】幾何問題（一元一次方程的應用）、線段中點的有關計算

【分析】本題考查了線段中點相關的計算，列一元一次方程解幾何動點問題，恰當分類并建立方程是解題

的關鍵.

（1）利用AB=AC+BC,結合已知條件計算線段A3的長度，根據(jù)中點的定義計算線段AD的長度，再利

用CD=AD-AC計算線段CD的長；

（2）①點P與點。重合有兩種情況：點。從B到A向左運動時、點。到達點A后掉頭向右運動時，分別列

方程求解即可；

②分四種情況：動點P，。相遇前，動點P，。第一次相遇后反向運動，動點P，。第一次相遇后同向運動，動

點P,。第二次相遇后同向運動，分別根據(jù)42列方程求解即可.

33

【詳解】（1）解：回AC=8,BC=-AC=-x8=12,

22

團AB-AC+BC=20,

回點。為線段A3的中點，

SAD=DB=-AB=10,

2

BCD=AD-AC=10-8=2.

（2）解：①由題意可知，rw；,點尸與點。重合有兩種情況：點。從B到A向左運動時、點Q到達點A

后掉頭向右運動時，

當點。向左運動時，t+3t=20.解得t=5.

當點。向右運動時，3/7=20.解得f=10.

答：當r=5或t=10時，點尸與點。重合.

②當動點P,。沒有相遇時，兩點相距4時，有r+3r+4=20,解得r=4：

當動點P,Q第一次相遇后，尸向右運動，。向左運動，兩點相距4時，有t+3/-4=20,解得f=6；

當動點尸，。第一次相遇后，P向右運動，。向右運動兩點相距4時，有3/+4+20-=2*20,解得t=8；

當動點P，Q第二次相遇后，尸向右運動，。向右運動兩點相距4時，有40-3t+t+4=20,解得t=12.

綜上所述，滿足條件的/有：f=4或f=6或t=8或f=12.

類型四、線段上動點的新定義型問題

例題：（23-24七年級上?北京房山?期中）定義：若A,B,C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是點C到

點B的距離2倍，我們就稱點C是［A,司的美好點.

例如；如圖1,點A表示的數(shù)為-1,點B表示的數(shù)為2,表示1的點C到點A的距離是2,到點2的距離是

1,那么點C是［A,司的美好點；又如，表示0的點。到點A的距離是1,到點臺的距離是2,那么點。就

不是［A,用的美好點，但點。是［民闋的美好點.

ADCB

―I-------1-----------1:▲1I>

-3-2-10123

圖1

如圖2,M,N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為-7,點N所表示的數(shù)為2.

MN

-8-7-6-5-4-3-2-10123

圖2

⑴點E,F,G表示的數(shù)分別是-3,6.5,11,其中是美好點的是；寫出［N,"］美好點”所

表示的數(shù)是.

⑵現(xiàn)有一只電子螞蟻尸從點N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動.當f為何值時，點P恰好為M

和N的美好點？

【答案】⑴G,T或一16

（2）1.5或3或9

【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、數(shù)軸上的動點問題、絕對值方程、與線段有關的動點問題

【分析】（1）根據(jù)美好點的定義即可求解；

（2）根據(jù)美好點的定義，分三種情況分別確定尸點的位置，進而可確定t的值.

【詳解】（1）解：|艮據(jù)題意得回四=（一3）—（一7）=4,硒=2—（一3）=5,

此時EMW2硒，故點E不是美好點；

/^=6.5-（-7）=13.5,/W=6.5-2=4.5,

止匕時月核片2m，故點尸不是美好點；

GA/=H—(—7)=18,G/V=11—2=9,

此時GN=2GN,故點G是［M,N］美好點；

故答案是：G.

設點H所表示的數(shù)是x,則=|無+7］,HN=|尤-2|,

回點〃為［N,“］美好點，

0HN=2HM,

0|x-2|=2|x+7|,

解得：x=T或-16；

故答案是：-4或T6.

(2)解：第一情況：當尸為［”,N］的美好點，點尸在M,N之間，如圖1,

MPQN

-4---------i—i--A---->

圖1

⑦MP=2PN,MN=2-(-7)=9,

團PN=3,

3,

回/=—=1.5秒；

2

第二種情況，當尸為［N,M］的美好點，點尸在M,N之間，如圖2,

MP2ON

---A---U-------A_i------->

圖2

02PM=PN,MN=2-(-7)=9,

EIPN=6,

回,=——3電^；

2

第三種情況，尸為的美好點，點P在M左側，如圖3,

P,MON

圖3

^\PN=2PM=2MN,MV=2-(-7)=9,

07W=18,

18

回/=—=9秒；

2

綜上所述，,的值為：1.5或3或9.

【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸、美好點的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問

題，屬于中考創(chuàng)新題目.

【變式訓練1](23-24七年級上?江西吉安?期末)我們將數(shù)軸上不同的三點A,B,C表示的數(shù)記為a,b,c,

若滿足a-6=上e-c),其中k為有理數(shù)，則稱點A是點C關于點B的"星點已知在數(shù)軸上，原點為

點A,點8表示的數(shù)分別為a=-3,b=3.

AB

-6-5-43-2—10123456

⑴若點A是點3關于原點。的隈星點"，貝。％=_；若點A是點B關于點C的"3星點"，貝ljc=_.

(2)若線段A3在數(shù)軸上沿正方向運動，每秒運動1個單位長度，取線段A3的中點X.是否存在某一時刻,

使得點X是點A關于點2的"-2星點"？若存在，求出線段A8的運動時間；若不存在，請說明理由；

⑶點M是數(shù)軸上的動點，點M表示為整數(shù)加，且點A是原點。關于點M的"七星點”，請直接寫出k的值.

【答案】⑴1,1.5

(2)8

(3)-4,-2,0,2

【知識點】數(shù)軸上的動點問題、幾何問題(一元一次方程的應用)、線段中點的有關計算

【分析】本題主要考查新定義下的解一元一次方程和線段中點計算，

(1)根據(jù)給定的定義列出方程求解即可；

(2)設線段的運動時間為f秒，表示出點A、點B和點X的坐標，根據(jù)題意列出方程求解即可；

(3)根據(jù)題意列出關于機的方程-3-%=左(〃?-0),化簡為左結合優(yōu)為整數(shù)，求得上值即可.

m

【詳解】(1)解：回點A是點8關于原點。的"女星點"，

Sa=k(0-b^,

0a=—3,6=3

回—3=k(0—3),解得左=1；

回若點A是點8關于點C的"3星點"，

團一3-c=3(c-3),解得c=1.5,

故答案為：1,L5；

(2)設線段A3的運動時間為r秒，則點A的坐標為1-3,點2得坐標為3+/,

回點X為線段A3的中點，

回點X的坐標為f,

回點X是點A關于點2的"-2星點〃，

0f-2=-2[2-(z-3)],解得f=8,

回線段AB的運動8秒時，使得點X是點A關于點2的"-2星點"；

(3)回點〃表示為整數(shù)加，且點A是原點。關于點M的"星點"，

^-3-m=k(m-0),整理得上=-2—=-1-—,

mm

回點M表示為整數(shù)加，

團當相為一3、-1、1和3時，k=0、2、-4和一2,

則上的值為T,-2,0,2.

【變式訓練2](24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習)【新知理解】如圖①，點C在線段A3上，圖中共

有三條線段A3、AC和8C,若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段A3的

"巧點

(1)線段的中點這條線段的"巧點"(填"是"或"不是")；

(2)若AB=12cm,點C是線段的巧點，則AC最長為cm；

【解決問題】

(3)如圖②，已知AB=12cm,動點尸從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；點。從點3出

發(fā)，以Icm/s的速度沿54向點A勻速移動，點尸、。同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設移

動的時間為f(s).當/為何值時，尸為A、。的巧點？說明理由.

AcB

圖①

?___?

AB

圖②

?___?

AB

圖②備用圖

1____1

圖②備用圖

1212

【答案】(1)是；(2)8；(3)當/為3s或7s或《s時，尸為A、。的巧點

【知識點】與線段有關的動點問題、線段中點的有關計算、線段的和與差、幾何問題(一元一次方程的應用)

【分析】本題考查了線段的相關計算，與線段有關的動點問題，一元一次方程的應用.

(1)根據(jù)“巧點"的定義解答即可;

2

(2)點C為線段的巧點，則AC最長時，滿足AC=23C,即=即可求解；

(3)根據(jù)"巧點”的定義，分為AP=2PQ或尸0=24P或AP=PQ,三種情況，分別計算即可求解.

【詳解】(1)解：回點C在線段AB上，點C為線段A3的中點，

SAB=2AC,

回點C是線段的的"巧點”，

故答案為：是.

(2)解：點C在線段A3上，點C為線段的巧點，

回則AC最長時，滿足AC=2BC,

2

即AC=-AB,

3

回AC-8cm,

故答案為：8.

（3）解:f秒后，AP=2t,AQ=12—t,PQ=AQ—AP=12—/—2z=12—3Z,

回尸為A、。的巧點

回AP=2PQ或PQ=2AP,或AP=PQ,

當AP=2尸。時，2r=2（12-3r）,

解得：t=3,

當PQ=2AP時，12—3f=2x2f,

解得：""12，

當AP=P。時，n-3t=2t,

解得：r=912，

團當/為3s或（I?或1中2時，尸為A、。的巧點.

類型五、幾何圖形中動角求定值問題

例題：(2024七年級上?全國?專題練習)已知一副直角三角尺O4B和OCD,ZAOB=9Q°,ZB=45°,?D90?,

ZCOD=30°.

⑴將兩個直角三角尺按如圖1擺放，點A在邊OC上，則/3?！?gt;=_；

⑵將直角三角尺。CD從圖1位置繞點。逆時針方向轉到圖2位置，使02恰好平分NCOD,求NAOC的度

數(shù)；

⑶如圖3,當三角尺OC。擺放在NAO3內部時，作射線平分/AOC,射線&V平分N3OD,若三角尺

OCD在ZAOB內部繞點。任意轉動(OC、OD均在ZAOB內部)，試判斷ZMON的度數(shù)是否會發(fā)生變化?

通過計算說明理由.

【答案】(1)60°

(2)75°

⑶NMON的度數(shù)不發(fā)生變化，始終等于60。，理由見解析

【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算、三角板中角度計算問題

【分析】此題主要考查了角平分線的定義，角的計算，理解角平分線的定義，熟練掌握角的計算是解決問

題的關鍵.

(1)根據(jù)=NCOD即可得出答案；

(2)根據(jù)角平分線性質得NCO3=15。，再根據(jù)=可得出答案；

(3)先求出ZAOC+ZBOD=^)°,再根據(jù)角平分線定義得NMOC+/NOD=30。，由此可得NMON得度數(shù).

【詳解】(1)解：依題意得：ZAO8=90。,NCOD=30。，

0ZBOD=ZAOB-ZCOD=90。-30。=60°,

故答案為：60°；

(2)解：EZAOB=90°,ZCOD=30°,08恰好平分NCOZ),

0ZCOB=-ZCOD=-x30°=15°,

22

0ZAOC=ZAOS-ZC(9S=9OO-15O=75O；

(3)解:NMON的度數(shù)不發(fā)生變化，始終等于60。，理由如下：

0ZAOB=90°,ZCOD=30°,

0ZAOC+ZBOD=ZAOB-ZCOD=90°-30°=60°,

國0”平分/4。。，ON平分NBOD,

0ZMOC=-ZAOC,ZNOD=-ZBOD,

22

0ZMOC+ZNOD=1(ZAOC+ZBOD)=30°,

0ZMON=ZMOC+ZNOD+ZCOD=300+30°=60°.

【變式訓練1】(23-24七年級上?江蘇徐州?期末)己知NAO3=110。，ZCOD=40°.OE平分/AOC,OF

平分NBOD.

圖①

⑴如圖①，當OB,OC重合時，求ZAOE-N3QF的值；

(2)當NC8從圖①所示位置繞點。以每秒3。的速度順時針旋轉/秒(0。＜10)；在旋轉過程中

NAOE-NB。尸的值是否會因/的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由.

【答案】⑴35。；

(2)不變，NAOE—/反加=35。是定值，見解析.

【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算

【分析】本題考查了角度的計算以及角的平分線的定義，理解角度之間的和差關系是解題的關鍵.

AAOE-ABOF的值是定值，

(1)首先根據(jù)角平分線的定義求得NAOE=；/AO3=gxll0o=55。，ZBOF=|ZCOD=1x40°=20°,然

后求解即可；

(2)首先由題意可得/BOC=3t。，再根據(jù)角平分線的定義得出NAOC=NAO3+3產=110。+3毋，

ZBOD=NCOD+3產=40。+3產，然后由角平分的定義解答即可.

【詳解】(1)解：E1OE平分/AOC,OF平分/BOD,

BJZAOE=-ZAOB=-xll00=55o,ZBOF=-ZCOD=-x40°=20°,

2222

0ZAOE-ZBOF=55°-20°=35°；

(2)解：NAOE—N3O尸=35。是定值.理由如下：

由題意：ZBOC=3t°,

則ZAOC=ZAOB+3『=110°+3產,NBOD=ZCOD+3t°=40°+3t°,

回OE平分NAOC,OF平分NBOD,

ii3

團ZAOE=—NAOC=—(1100+3產)=55°+—產，

22、,2

113

ZBOF=-ZBOD=-(40°+3俘)=20°+-t°,

NAOE-4B0F=(550+1尸］一(20°+|f°)=35°.

團N4OE-N3O尸的值是定值，定值為35。.

【變式訓練2】(23-24七年級下?陜西榆林?開學考試)【問題情境】已知，403=120。，ZCOD=40°,OE

平分NAOC,O/平分/3?！?.

【特例分析】(1)如圖1,當OB、OC重合時，求ZAOE-/3O尸的值；

【深入探究】(2)如圖2,當02、OC不重合，0c在08的下方時，設N3OC=x,ZAOE-ABOF的值

是否會因為x的變化而變化？若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由；

【問題解決】(3)在(2)的條件下，當NCO尸=12。時，求NBOE的度數(shù).

【答案】(1)40°；(2)不會變化，定值為40。；(3)52°

【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算

【分析】本題考查了角度的計算以及角的平分線的性質，理解角度之間的和差關系是關鍵.

(1)首先根據(jù)角平分線的定義求得/AOE和的度數(shù)，然后根據(jù)NAOE-N3O廠求解；

(2)根據(jù)角平分線的定義得出：NAOE=gNAOC=gx(120o+x)=60o+g;t,

ZAOE-ZBOF=60°+1x-^20°+1=40°,然后代入求值即可；

(3)根據(jù)NCO尸=12。，ZCOD=40°,求出"O尸=40。-12。=28。，根據(jù)角平分線的定義求出

NBOD=NBOF=28。,NEOC=g/AOC=68。，根據(jù)角度間的關系，求出結果即可.

【詳解】解：(1)回OE平分/4OC,OF平分/BOD,ZAOB=120°,ZCOD=40°,

0ZAOE=-ZAOC=-xl20°=60°,ZBOF=-ZBOD=-x40°=20°,

2222

0ZAOE-ZBOF=60°-20°=40°；

(2)的值是定值；理由如下：

BiZBOC=x,

0ZAOC=ZAO