第16講向量小題14類

【題型一】向量基礎(chǔ)：“繞三角形”（基底拆分）

【典例分析】

我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”,

它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若

BC=a,BA=b,BE=3EF，則8尸=（）

【變式演練】

1.如圖，在中，。為8c中點(diǎn)，E在線段A￡＞上，且A￡=2田，則BE=（）

1-?1?

A.—ACH—ASB.—AC——AB

2—1—2—1一

C.—AC—ABD.-AC+-AB

2.如圖，在直角梯形ABC。中，AB=2AD=2DC,E為8C邊上一點(diǎn)，BC=3EC，尸為4E的中點(diǎn),

則8尸=()

B.-AB--AD

33

1-2■

D.——AB+-AD

33

山東省淄博市桓臺(tái)第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

3.0,E,R為AASC所在平面內(nèi)三點(diǎn)，且BD=DC，AE=2EC，AF=FD＞則七/=().

1—-1—?1-1—?

A.—AB—ACB.-AB——AC

2623

C.—AB—ACD.—AB——AC

43412

【題型二】系數(shù)未知型“繞三角形”

【典例分析】

如圖，在中，AN=.NC,尸是BN上的一點(diǎn)，若AP=(〃2+D43+￡BC,則實(shí)數(shù)加的值為

93

【變式演練】

1.如圖，正方形ABCO中，M、N分別是BC、CO的中點(diǎn)，若AC=/1AM+〃8N,則丸+4=()

D

868

Ca

3-5-5-

2.在平行四邊形A8CO中，點(diǎn)E,尸分別滿足=DF=^DC.若3O=/UE+/MF,則實(shí)數(shù)

的值為（)

1177

A.——B.-C.——D.-

5555

3.如圖，/XASC中，AD=DB,AE=EC,CD與BE文丁尸，設(shè)AB=a'AC=b,AF=xa+ybf則(4)')

f22112J

33C.52D.

【題型三】求最值型“繞三角形”

【典例分析】

UUVUUDf

在AA3C中，點(diǎn)尸滿足3P=3PC，過(guò)點(diǎn)尸的直線與A3、AC所在的直線分別交于點(diǎn)M、N,若

AM=AAB^4N=M4C（4>0,4>0）,則％+〃的最小值為（）

【變式演練】

1.已知。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且OA+O8+OC=0,點(diǎn)M在AOBC內(nèi)（不含邊界），若AM=4A8+〃AC,

則zl+2〃的取值范圍是（）

A-B.（1,2）c.f1,lD.（g,l）

2.在AABC中，|AC|=2,|A8|=2,N8AC=12O,AE=；IAB,AF=4AC,M為線段所的中點(diǎn)，若

|AM卜i,則;1+〃的最大值為（）

A.—B.-C.2D.叵

333

3.MBC中，。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段CO（不含端點(diǎn)）上,且滿足4戶=xAB+yAC（x,ywR）,

12

則上+4的最小值為（）

%y

A.3+2&B.2+2&C.6D.8

【題型四】數(shù)量積

【典例分析】

已知菱形48co邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿足4P=%AB，%￡R，若BDCP=-3,則/>.的值為（）

1111

A.-B.---C.—D.--

2233

【變式演練】

1.如圖，在等腰直角工的。中，OA=OB=],C為靠近點(diǎn)A的線段A8的四等分點(diǎn)，過(guò)C作A8的垂線/,

P為垂線I上任意一點(diǎn)，則。尸■（。4—08）的值是（）

B

A.--B.-C.-2D.2

22

2.在A4BC中，AB=4C,點(diǎn)”在8C上，4BW=BC，N是AM的中點(diǎn)，sinZBAM=LAC=2,

則AMCN=

A.1B.2C.3D.4

3.已知△ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，點(diǎn)M是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)、N在AC邊上,旦AN=2NC,則

BNCM=（）.

A..BB.-3C.一些D.-2

2222

【題型五】數(shù)量積最值型

【典例分析】

在AABC中，BCCA=CAAB^|BA+BC|=2,且q?8V方-,則3A?BC的取值范圍是（）

【變式演練】

1.已知四邊形A58中，ACYBD,AB=BC喈=2,AC=CO=2jL點(diǎn)E在四邊形A5CO上運(yùn)

動(dòng)，則的最小值是（）

A.3B.-1C.-3D.-4

2.如圖，在平行四邊形ABCO中，M是BC的中點(diǎn)，且AD=OM,N是線段8。上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作AA/的

垂線，垂足為H,當(dāng)AM-MN最小時(shí)，HC=<）

D

1—3—1—1一

A.-AB+-ADB.-AB+-AD

4442

1331

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

2442

3.在AA8C中，A=g,AC：BC=2:3,點(diǎn)。為線段A8上一動(dòng)點(diǎn)，若D4-DC最小值為一:，則AA8C

34

的面積為.

【題型六】向量模

【典例分析】

若向量4=(%,2),b=(-3,y),<?=(-1,-2),且(a-d)-L(〃+c)，則的最小值為.

【變式演練】

1.已知a1是平面上的單位向量，則,-盟+卜+陷的最大值是.

2.已知向量a、b滿足口=L1=(2,1),且久右=6(2vO),則〃+4=.

3.設(shè)a，b為單位向量，則,+4+卜-34的最大值是

【題型七】投影向量

【典例分析】

已知平面向量q和e；滿足13Vl=同=2,則e；在e；方向上的投影的最小值為.

【變式演練】

1.已知點(diǎn)4一1,1)、3(1,2)、C(-2,-1).Z\3,4),則向量AB在CO方向上的投影為)

35/2口3厲「3近3而

---------D.-----------L■------------Un?-------------

2222

2.已知向量〃滿足同=2,忖=1,口一2%2則。在。上的投影的取值范圍是（）

【題型八】向量技巧1：極化恒等式

【典例分析】

如圖，在中，〃是a'的中點(diǎn)，￡"是力〃上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，B4.C4=4,BFCF=-1，則8ECE

的值是________.

【變式演練】

1.己知/XABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，尸為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA?（PB+PC）的最小值是（）

34

A-2B.—C.—D.—\

23

2.已知圓C的方程為（％—1）2+（丁-1）2=2,點(diǎn)P在直線＞=/+3上，線段48為圓。的直徑，則P4P8

的最小值為

57

A.2B.-C.3D.-

22

3、已知球。的半徑為1,A,8是球面上的兩點(diǎn)，且=若點(diǎn)P是球面上任意一點(diǎn)，則必?尸8的

31133

取值范圍是A.B.C.1叼

2'22'24

【題型九】向量技巧2：等和線

【典例分析】

在ZL4BC中，已知。是A8邊上一點(diǎn)，若而=2方，CD=^CA+XCB,則之=

A.--B.--C.-D.-

3333

【變式演練】

1.如圖，在40MN中，A、8分別是OM、ON的中點(diǎn)，若方=工而+y而（x,y€R）,且點(diǎn)P落在四邊形4BNM

內(nèi)（含邊界），則⑥的取值范圍是（）

x+y+2

2.如圖，R/AA3C中，尸是斜邊8。上一點(diǎn)，且滿足：百戶=,斤,點(diǎn)M,N在過(guò)點(diǎn)尸的直線上，若

2

4M二;14a47=〃47,（4〃>0）,則/1+24的最小值為（）

3.如圖，ABAC=y,圓M與AB、AC分別相切于點(diǎn)D、E,4。=1,點(diǎn)P是圓M及其內(nèi)部任意一點(diǎn)，且

AP=xAD+yAE（x.yG/?）,則％+y的取值范圍是（）

A.[1,4+2V3]B.[4-2V3,4+2V3]C.[1,2+網(wǎng)D.[2-V3,2+V3]

【題型十】向量技巧3：奔馳定理與面積

【典例分析】

設(shè)。為△A8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足20A—70B—30C=0,則△ABC的面積與AB。。的面積的比值為

812

A.6B.—C.—D.4

37

【變式演練】

1.設(shè)4G=；（AB+Ad）,過(guò)G作直線,分別交AC（不與端點(diǎn)重合）于P,Q,若AP=；148，

2

4Q="AC,若AE4G與AQAG的面積之比為可，則4=

2.0為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，。、b、c均為大于1的正實(shí)數(shù)，且滿足aOA+bO3+cOC=CB，若

、SAOBC分別表示AOAB、AO4C、\OBC的面積，則SAOAB:SAOAC:SAOBC為（）

A.(c+l):(Z?-l)：6fB.c:b:a

21

3.已知點(diǎn)M是二A6c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足AM=：48+，AC,則AABM與MCM的面積之比為（）

【題型十一】解析幾何中的向量

【典例分析】

已知點(diǎn)M（l,0）,是橢圓（十丁=1上的動(dòng)點(diǎn)，且MA?MB=0,則的取值范圍是（）

【變式演練】

1.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，設(shè)直線y=-x+2與圓/+>2=/（r>0）交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

圓上一點(diǎn)C滿足0。=*04+上03,則尸二

44

A.2&D.M

2.如圖所示，已知橢圓C：彳+丁=1的左、右焦點(diǎn)分別為入，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，分別延長(zhǎng)

-----2----------2一

M耳，.歷6到P,Q,使得叫=一片尸，MF2=-F2Q,。是橢圓C上一點(diǎn)，延長(zhǎng)MD到N,若

32

QD=-QM+-QNf則|PN|+|QN|=(

【題型十二】向量四心

【典例分析】

已知0,N,P在AABC所在平面內(nèi)，且|od=|o@=|oq,N4+N3+NC=(),

PAPB=PBPC=PCPA,則點(diǎn)0,N,P依次是A48C的()

A、重心外心垂心B、重心外心內(nèi)心C、外心重心垂心D、外心重心內(nèi)心

【變式演練】

1.已知A48C外接圓的圓心為0,AB=26AC=2V2,A為鈍角，M是8C邊的中點(diǎn)，則AM?AO=

()

A.3B.4C.5D.6

2.已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

------------ARAC

OP=OA+〃=--------+——),2G[0,+OO),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()

|AB\cosBIAC|-cosC

A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心

3.已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

-=OB+OC+2(AB+),/lG[0+oob則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)AABC的

2|cosB|AC\-cosC

()

A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心

【題型十三】綜合應(yīng)用

【典例分析】

已知C,。是半徑為1的圓。上的動(dòng)點(diǎn)，線段A3是圓。的直徑，則ACBO的取值范圍是()

A.[-2,3B.[-2,0]C.[-4,1]D.[-4,0]

【變式演練】

L.已知向量滿足網(wǎng)=2，(瓦=60。，且^=—ER)，則『代|53|的最小值為()

A.心B.4C.2GD.@

4

2.設(shè)a，b?c為非零不共線向量,若|五-,tc+(1—N|a—c|(tWR),則()

A.(G+S)1(a-c)B.(a+b)1(g+c)

C.(a+c)1(a4-S)D.(a—c)1(S+c)

3.已知平面向量近(k=1,2,…,6)滿足：|4|=女(々=1,2,…,6),且西+詬+...+瓦=6,則@*+石)?

(赤+瓦)的最大值是()

A.9B.10C.12D.14

【題型十四】超難小題

【典例分析】

已知向量〃與。的夾角為120。，且人方=-2,向量c滿足。=2。+(1-冗)6(0</<1)，且〃.(;=》?(;，記向量

在向量〃與方方向上的投影分別為x、y.現(xiàn)有兩個(gè)結(jié)論：①若4=g,則忖=2忖：②Y+y2+個(gè)的最大值為:.

則止確的判斷是()

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【變式演練】

I.已知平面向量的夾角為￡,滿足卜，+力|=1.平面向量c在方上的投影之和為2,則c-5a-/的最

JzJ

小值是一.

2.已知平面向量a，b，c滿足：|4叩=卜+4，卜卜2,一1=2,則帆一c|的最小值是,

3.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形48co中，M,N分別為邊8C,CO上的動(dòng)點(diǎn)，以MN為邊作等邊,PMN,使

得點(diǎn)4P位于直線A/N的兩側(cè)，則/W.PB的最小值為.

【課后練習(xí)】

1.如國(guó)所示，在-ABC中，設(shè)48=a,AC=b,AP的中點(diǎn)為。，8。的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)恰為尸,

則4尸=()

\P

A

^2.4-42-

A.-a+-^B.，萬(wàn)+為C.—a+—bD.-a^-b

22337777

2.如圖,四邊形ABC。是平行四邊形,E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段CO上，且b=2Ob,AE與8尸交

2

D.

3

3.如圖，直角梯形ABCO中，已知AB//C￡>,4AD=90。，AD=AB=2,CD=},動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上

12

運(yùn)動(dòng)，且4尸=/??743+〃4)(m,〃61<)?則—?■一的最小值是（）

mn

A.3B.3+2近C.4D.4+2近

4.邊長(zhǎng)為6的正三角形A8C中，E為8C中點(diǎn),產(chǎn)在線段AC上且4尸=二產(chǎn)。，若4E與8尸交于M,

2

則M4-M8=()

1527

A.-12B.-9C.D.

2T

5.如圖梯形ABC。，AB//CDRAB=5,AD=2DC=4,E在線段8c上，ACBD=U，則AEOE

的最小值為