軌跡、路徑類綜合練習（基礎）一．選擇題1．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長，寬，高分別為100cm，15cm和10cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度為（）A．115cm B．125cm C．135cm D．145cm【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計算AB，則根據(jù)兩點之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長度．【解答】解：展開圖為：則AC＝100cm，BC＝15×3+10×3＝75cm，在Rt△ABC中，AB=AC2所以螞蟻所走的最短路線長度為125cm．故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的應用，把立體幾何圖中的問題轉化為平面幾何圖中的問題是解題的關鍵．2．如圖，一個底面圓周長為24m，高為5m的圓柱體，一只螞蟻沿側表面從點A到點B所經(jīng)過的最短路線長為（）A．12m B．15m C．13m D．9.13m【分析】將圓柱的側面展開，得到一個長方形，再利用兩點之間線段最短解答．【解答】解：將圓柱體的側面展開，連接AB．如圖所示：由于圓柱體的底面周長為24m，則AD＝24×12=又因為AC＝5m，所以AB=122即螞蟻沿表面從點A到點B所經(jīng)過的最短路線長為13m．故選：C．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，解決此類問題，一般方法是先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形，再確定兩點之間的最短路徑．通常情況是根據(jù)兩點之間，線段最短的性質(zhì)．本題將圓柱的側面展開，構造出直角三角形是解題的關鍵．3．正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為（）A．13 B．17 C．5 D．2+【分析】把此正方體的點M所在的面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點A和點M間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于2長，另一條直角邊長等于3，利用勾股定理可求得．【解答】解：展開正方體的點M所在的面，∵BC的中點為M，所以MC=12在直角三角形中AM=2故選：A．【點評】本題考查了勾股定理的拓展應用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關鍵．4．底面周長為12，高為8的圓柱體上有一只小螞蟻要從A點爬到B點，則螞蟻爬行的最短距離是（）A．10 B．8 C．5 D．4【分析】將圓柱的側面展開，得到一個長方體，再然后利用兩點之間線段最短解答．【解答】解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為12cm，則BC＝12×12=又因為AC＝8cm，所以AB=62+故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是10cm．故選：A．【點評】此題趣味性強，有利于培養(yǎng)同學們的學習興趣，將圓柱的側面展開，構造出直角三角形是解題的關鍵．5．如圖，BC是⊙O的直徑，BC＝42，M、N是半圓上不與B、C重合的兩點，且∠MON＝120°，△ABC的內(nèi)心為E點，當點A在MN上從點M運動到點N時，點E運動的路徑長是（）A．2π3 B．4π3 C．8π3【分析】如圖，連接BE、CE，由∠BAC＝90°，E是內(nèi)心，推出∠BEC＝135°，推出點E在以P為圓心的PC為半徑的圓上運動（軌跡是GH），求出PG，∠GPH即可解決問題．【解答】解：如圖，連接BE、CE，∵∠BAC＝90°，E是內(nèi)心，∴∠BEC＝135°，∴點E在以P為圓心的PC為半徑的圓上運動（軌跡是GH），在⊙P上取一點M′，連接BM′、CM′，則∠M′＝180°﹣135°＝45°，∠BPC＝2∠M′＝90°，∴△BCP是等腰直角三角形，∵BC＝42，∴PB＝PC＝4，∵∠HPC＝2∠HBC＝∠NBC=12∠NOC，同理∠GPB=1∴∠HPC+∠GPB=12（∠NOC+∠MOB）＝30∴∠GPH＝60°，∴點E運動的路徑長是60π?4180=故選：B．【點評】本題考查三角形的內(nèi)心、三角形的外接圓與外心等知識，解題的關鍵是正確尋找點E的運動軌跡，學會添加輔助圓解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．6．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC＝1，把矩形ABCD繞點A順時針旋轉30°得到矩形AB′C′D′，其中點C的運動路徑為CC'A．π3?33 B．π3?【分析】如圖連接AC′，首先證明A、B′、C共線．根據(jù)S陰＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′′計算即可．【解答】解：連接AC'，在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB=3，BC∴tan∠BAC=BC∴∠BAC＝30°，∵旋轉角為30°，∴A、B′、C共線．∴AC=AB∵S陰＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，∴S陰=30°×π×4故選：B．【點評】本題考查旋轉變換，矩形的性質(zhì)，扇形的面積的計算等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用分割法求陰影部分面積．7．如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧AB上的三等分點，E、F是弧AB上的動點，∠EOF＝60°，線段AE、BF相交于點D，M是線段BD的中點．當點E從點B運動到點C時，則M、E兩點的運動路徑長的比是（）A．32 B．2π8 C．3【分析】先求出點M的運動軌跡，再分別求出點E，點M的運動路徑長，即可求解．【解答】解：設⊙O的半徑是r，∵點E從點B運動到點C，∴點E的運動路徑長為120°×π×r180°∵∠EOF＝60°，∴∠AOF+∠BOE＝120°，∴∠EAB+∠ABF＝60°，∴∠ADB＝120°，如圖，作△ABD的外接圓圓H，連接DH，AH，BH，OH，取BH中點G，連接OG，MG，∵∠ADB＝120°，∴∠AHB＝2×（180°﹣∠ADB）＝2（180°﹣120°）＝120°，∵AH＝BH，AO＝BO，∴OH⊥AB，∠HBO＝30°，∴OH=OB3=33r∵M是BD中點，G是BH中點，∴MG=12DH=∴點M在以點G為圓心，MG為半徑的圓上，∵點E從點B運動到點C，∴點D從點B運動到點A，∴點M從點B運動到點O，∵∠BOH＝90°，GH＝BG，∴OG＝BG＝GH，∴∠OBH＝∠GOB＝30°，∴∠BGO＝120°，∴點M的運動路徑長為120°×π×33r∴M、E兩點的運動路徑長的比=3故選：C．【點評】本題考查了軌跡，圓的有關知識，弧長公式，確定點M的運動軌跡是本題的關鍵．8．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點E在邊AD上，且AE：ED＝1：3．動點P從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止．過點E作EF⊥PE交射線BC于點F，設M是線段EF的中點，則在點P運動的整個過程中，點M運動路線的長為（）A．3 B．4 C．92 【分析】如圖，當P與A重合時，點F與K重合，此時點M在H處，當點P與B重合時，點F與G重合，點M在N處，點M的運動軌跡是線段HN．求出KG的長即可解決問題．【解答】解：如圖，當P與A重合時，點F與K重合，此時點M在H處，當點P與B重合時，點F與G重合，點M在N處，點M的運動軌跡是線段HN．∵AD＝4，AE：ED＝1：3，∴AE＝1，DE＝3，在Rt△AEB中，AE＝1，AB＝3，∴BE=AE∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG，又∵∠A＝∠BEG＝90°，∵△AEB∽△EBG，∴BEBG∴BG=10∵BK＝AE＝1，∴KG＝BG﹣BK＝9，∴HN=12KG∴點M的運動路徑的長為92故選：C．【點評】本題考查軌跡，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找點M的運動軌跡，學會利用起始位置和終止位置尋找軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．二．填空題9．如圖，圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC，P是母線AC的中點．則在圓錐的側面上從B點到P點的最短路線的長為35【分析】求出圓錐底面圓的周長，則以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形，根據(jù)弧長公式求出展開后扇形的圓心角，求出展開后∠BAC＝90°，連接BP，根據(jù)勾股定理求出BP即可．【解答】解：圓錐底面是以BC為直徑的圓，圓的周長是BCπ＝6π，以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形，弧長是l＝6π，設展開后的圓心角是n°，則nπ×6180=6解得：n＝180，即展開后∠BAC=12×180°AP=12AC＝3，則在圓錐的側面上從B點到P點的最短路線的長就是展開后線段BP的長，由勾股定理得：BP=AB2故答案為：35．【點評】本題考查了圓錐的計算，平面展開﹣最短路線問題，勾股定理，弧長公式等知識點的應用，圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．10．如圖，一個圓柱形水杯深20cm，杯口周長為36cm，在杯子外側底面A點有一只螞蟻，它想吃到杯子相對的內(nèi)壁上點B處的蜂蜜，已知點B距離杯子口4cm，不考慮杯子的厚度，螞蟻爬行的最短距離為30cm．【分析】將杯子側面展開，建立B關于EF的對稱點B′，根據(jù)兩點之間線段最短可知B′A的長度即為所求．【解答】解：如圖：將杯子側面展開，作B關于EF的對稱點B′，連接B′A，則B′A即為最短距離，B'A=AC故答案為：30cm．【點評】本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關鍵．11．如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到達內(nèi)壁B處的最短距離為20cm．【分析】將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【解答】解：如圖，將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，在直角△A′DB中，由勾股定理得A′B=A'D2故答案為：20．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力．12．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點E是AB邊上的動點，過點B作直線CE的垂線，垂足為F，當點E從點A運動到點B時，點F的運動路徑長為23π【分析】因為∠CFB＝90°，推出點F的運動軌跡是以BC為直徑的，圓弧BM，求出圓心角∠BOM即可解決問題．【解答】解：如圖，取BC的中點O，連接AC，BD交于點M，連接OM．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，AM＝CM，當點E與A重合時，點F與AC中點M重合，∵∠CFB＝90°，∴點F的運動軌跡是以BC為直徑的，圓弧BM，∵點O是BC中點，AM＝CM，∴BO＝OM＝1，OM∥AB，∴∠BOM＝120°，∴BM的長=120°?π?1180°故答案為23π【點評】本題考查軌跡，菱形的性質(zhì)，弧長公式等知識，解題的關鍵是學會準確尋找點的運動軌跡，所以中考?？碱}型．13．在平面直角坐標系中，A（﹣2，0）、B（4，0），如圖C在x軸上，BC＝2，Q從O向C運動，以AQ、BQ為邊作等邊△AEQ、等邊△FBQ．連接EF，點P為EF中點，則P點運動的路徑長為1．【分析】如圖所示，延長AE，BF交于點H，則△ABH為等邊三角形，再由三角形AEQ與三角形BGF為等邊三角形，得到兩對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到EQ與AH平行，EQ與BH平行，進而確定出四邊形EQFH為平行四邊形，根據(jù)P為EF的中點，得到P為HQ的中點，隨著點Q從O點向C點運動，點P也由P1運動到P2，利用中位線定理求出P點運動的路徑長即可．【解答】解：如圖所示，延長AE，BF交于點H，則△ABH為等邊三角形，∵△AEQ與△BFQ都為等邊三角形，∴∠EAQ＝∠FQB＝60°，∠AQE＝∠QBF＝60°，∴FQ∥AH，EQ∥BH，∴四邊形EQFH為平行四邊形，∵P為EF的中點，∴P為HQ中點，∵A（﹣2，0），B（4，0），BC＝2，∴OC＝2，隨著點Q從O點向C點運動，點P也由P1運動到P2，∴P1P2=12即P運動的路徑為1．故答案為：1．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，中位線定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．14．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形△ABC，將繞邊AB的中點O逆時針旋轉60°，點C的運動路徑為CC'，則圖中陰影部分的面積為2π?3【分析】如圖，連接OC，OC'，設AC于OC'交點為D，由等邊三角形的性質(zhì)和旋轉的性質(zhì)可求OC'＝OC＝23，∠COC'＝60°，由三角形內(nèi)角和定理可求∠ADO＝90°，由面積的和差關系可求解．【解答】解：如圖，連接OC，OC'，設AC與OC'交點為D，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝4，∵點O是AB的中點，∴AO=12AB＝2，OC⊥∴∠BOC＝∠AOC＝90°，∴OC＝BC?sin60°＝23，∵將△ABC繞邊AB的中點O逆時針旋轉60°，∴OC'＝OC＝23，∠COC'＝60°，∴∠AOC'＝∠AOC﹣∠COC'＝30°，∴∠ADO＝180°﹣∠AOC'﹣∠BAC＝90°，∴AD＝AO?sin30°＝1，∴S陰影＝S△AOC′+S扇形C'OC﹣S△AOC=60°×π×(23)2360°+12×23×故答案為：2π?3【點評】本題考查了軌跡，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，扇形的面積公式，求出AD的長是本題的關鍵．15．如圖，有一條長度為1的線段EF，其端點E、F分別在邊長為3的正方形ABCD的四邊上滑動．當EF繞著正方形的四邊滑動一周時，EF的中點M形成的路徑所圍成的圖形面積是9?14π【分析】先分析點E在AB上，點F在BC上的情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM=12EF【解答】解：當點E在AB上，點F在BC上時，連接BM，在Rt△EBF中，∠B＝90°，點M是EF的中點，∴BM=12EF∴點M的軌跡是以B為圓心、以12圓面的面積=14×π×（12）當E、F在同一條邊上時，點M也在這條邊上，∴EF的中點M形成的路徑所圍成的圖形面積＝32?116π×4＝9?故答案為：9?14【點評】本題考查的是點的軌跡、正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意正確表示出EF的中點M形成的路徑軌跡是解題的關鍵．16．如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，點M為AC的中點．將△ABC繞點M逆時針旋轉90°得到△DEF，其中點B的運動路徑為BE，則圖中陰影部分的面積為2π﹣3．【分析】連接BM、EN，由題意可知∠BME＝90°，BC＝CM＝2，BM=2BC＝22，DF⊥AC，可求MN為△DEF的中位線，則有S陰影＝S扇形﹣S△EMN﹣S△BMH=90×π(22)【解答】解：連接BM、EN，由題意可知∠BME＝90°，BC＝CM＝2，BM=2BC＝22，DF⊥AC∴MN∥EF，M為DF的中點，∴MN為△DEF的中位線，∴MN=12EF＝1，MF=∴S陰影＝S扇形﹣S△EMN﹣S△BMH=90×π(22)2【點評】本題考查扇形的面積，旋轉的性質(zhì)；熟練掌握扇形的面積公式和三角形面積公式是解題的關鍵．三．解答題17．如圖，把Rt△ABC的斜邊AB放在直線l上，按順時針方向在1上轉動兩次，使它轉到△A″B″C″的位置，若BC＝1，AC=3，則當點A轉動到點A″的位置時，求點A【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)和弧長公式即可求出點A兩次轉動所經(jīng)過的路程．【解答】解：∵BC＝1，AC=3∴tan∠ABC=AC∴∠ABC＝60°，∴∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝2，∴點A兩次轉動所經(jīng)過的路程為：120×π×2180=4π答：點A兩次轉動所經(jīng)過的路程為4π3【點評】本題考查了軌跡、旋轉的性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握旋轉的性質(zhì)．18．一塊等邊三角形木塊，邊長為1，如圖所示，現(xiàn)將三角形木塊沿水平線翻滾五次，那么點B從開始至結束所走過的路徑長是多少？【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)及弧長公式求出點B繞點C、點A、點C旋轉的三段弧長相加即可．【解答】解：∵點B所經(jīng)過的這三段弧所在圓的半徑為1，所對圓心角均為120度∴點B所經(jīng)過的路線長為3×120180π×1＝2【點評】本題主要考查了正三角形的性質(zhì)及弧長公式l=n180π19．如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，點M在棱AB上，且AM＝6cm，點N是FG的中點，一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點M爬行到點N，它需要爬行的最短路程是多少？【分析】利用平面展開圖有兩種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長即可．【解答】解：如圖1，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，∴MN=122如圖2，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，∴MN=182+10如圖3中，MN=222+6∵20＜2106＜2130∴螞蟻沿長方體表面爬到米粒處的最短距離為20cm．【點評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應用，利用展開圖有兩種情況分析得出是解題關鍵．20．如圖所示，有一個圓柱，底面圓的直徑AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中點P處有一塊蜂蜜，聰明的螞蟻總能找到距離食物的最短路徑，求螞蟻從A點爬到【分析】化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，得到兩點的位置，再根據(jù)兩點之間線段最短和勾股定理求解即可．【解答】解：將圓柱體的側面展開，如圖所示：AB=12底面周長=12×π×16π=8（所以AP=82+故螞蟻從A點爬到P點的最短距離為10cm．【點評】本題考查最短距離問題，化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，利用兩點之間線段最短和勾股定理是常用求解方法．21．問題探究：（1）如圖①，已知等邊△ABC，邊長為4，則△ABC的外接圓的半徑長為433（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，對角線BD與邊BC的夾角為30°，點E在為邊BC上且BE=14BC，點P是對角線BD上的一個動點，連接PE，PC，求△問題解決：（3）為了迎接新年的到來，西安城墻舉辦了迎新年大型燈光秀表演．其中一個鐳射燈距城墻30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖③，若將兩根光線（AB，AC）和光線與城墻的兩交點的連接的線段（BC）看作一個三角形，記為△ABC，那么該三角形周長有沒有最小值？若有，求出最小值，若沒有，說明理由．【分析】（1）作△ABC外接圓，作直徑AD，連接BD，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠C＝60°，根據(jù)圓周角定理求出∠D＝∠C＝60°，解直角三角形求出AD即可．（2）△PEC周長的最小實質(zhì)是PE+PC，轉化為將軍飲馬模型求出P點，然后利用勾股定理即可求出E′C即可解答，（3）先由定角定高可知BC的最小值為三角形是等腰三角形AB＝AC時，BC最小，而求AB+AC，可以先將A點沿BC方向平移BC，構造平行四邊形將AB轉化為長，則AB+AC最小轉化為AC+CD最小，作A點對稱點A′，連接A′D，與BC交點與C重合，此時BC、AB+AC同時取最小值，即可知三角形周長有沒有最小值．【解答】解：（1）如圖，作三角形外接圓⊙O，作直徑AD，連接BD，∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為直徑，∴∠C＝60°＝∠D，∠ABD＝90°，∵sin∠D=AB∴AD=2AB3∴⊙0的半徑是43故答案為：43（2）如圖2，作點E關于BD的對稱點E′，連接E′C交BD于P，連接PE，此時△PEC周長周長最?。B接BE′，過E′作E′H⊥BC，∵∠DBC＝30°，AB＝CD＝4，∴BC＝43，又∵BE=14∴BE=∵點E′是關于BD的對稱點E∴∠E′BH＝60°，BE′＝BE=3∴BH=32，E′H∴HC=7∴E′C=∵△PEC周長＝PC+PE+EC＝PE′+EC=（3）如圖3，∵∠BAC＝60°，AH＝30米，∴當AB＝AC時，邊BC取最小值，∴此時BC＝AC＝203，作?ABCD，作A點關于直線BC的對稱點A′，連接A′D，AB+AC＝CD+A′C，當A′，C，D在一條直線上時，AB+AC最小，此時，△ABC應為等邊三角形，AB+AC＝403∵AB+AC和BC的最小值能夠同時取到，故△ABC的周長最小值為603．【點評】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵．22．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別是（0，3）、（3+1，1）、（1，0），將△ABC繞點A順時針旋轉一定角度，點C恰好落在x軸的負半軸上，得到△AB′C′（1）直接寫出點B′的坐標，C′的坐標，點B到點B經(jīng)過的路徑長；（2）求△ABC掃過的面積．【分析】（1）畫出△AB′C′，如圖所示，寫出B′，C′的坐標，根據(jù)弧長公式即可得到結論；（2）△ABC掃過的面積為扇形ABB′面積加上三角形ABC面積，求出即可．【解答】解：（1）畫出△AB′C′，如圖所示，∵A（0，3），B（3+1，1），C∴AC＝BC＝2，△ABC為直角三角形，AC′＝AC＝2，∠C′AC＝∠BAB′＝60°，∴△CAC′為等邊三角形，即旋轉角為60°，∴AB＝22，則C′（﹣1，0），B′（3?1，﹣∴點B到點B經(jīng)