2024-2025學(xué)年重慶市梁平區(qū)高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.一質(zhì)點A沿直線運動，其位移單位：與時間單位：之間的關(guān)系為，則質(zhì)點A在時的瞬時速度為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入計算可得答案．【詳解】因為，所以時，，即質(zhì)點A在時的瞬時速度為.故選：C2.已知命題p：，，命題q：，，則（）A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題C.p和都是真命題 D.和都是真命題【正確答案】B【分析】先判斷出命題，的真假，再結(jié)合命題的否定的概念可得結(jié)論．【詳解】對于p而言，，故p是假命題，是真命題.對于q而言，，，故q是真命題，是假命題.綜上，和q都是真命題.故選：B.3.已知直線與，若，則，之間的距離是（）A B. C. D.【正確答案】C【分析】利用兩直線平行可得，即可根據(jù)平行線間距離公式求解.【詳解】由于，故，解得，故與，故兩直線間距離為，故選：C4.若成等差數(shù)列；成等比數(shù)列，則等于A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，然后計算求解即可．【詳解】若1，a1，a2，4成等差數(shù)列，4＝1+3d，d＝1，∴a1﹣a2＝﹣1．又1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比數(shù)列奇數(shù)項的符號相同）．∴故答案為A．本題考查等比數(shù)列的通項公式，是基礎(chǔ)的計算題，對于等比等差數(shù)列的小題，常用到的方法，其一是化為基本量即首項和公比或者公差，其二是觀察各項間的腳碼關(guān)系，即利用數(shù)列的基本性質(zhì).5.現(xiàn)從環(huán)保公益演講團的6名教師中選出3名，分別到三所學(xué)校參加公益演講活動，則甲、乙2名教師不能到學(xué)校，且丙教師不能到學(xué)校的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】結(jié)合排列組合知識，以及古典概型概率公式即可求得解【詳解】6名教師選出3人分別到三所學(xué)校的方法共有種.甲、乙2名教師不能到學(xué)校，且丙教師不能到學(xué)校的：第一種情況：若丙去校，有種選法；第二種情況，若丙不去校，則校有種選法，校有種選法，校有種選法，共有種，所以一共有種.所以由古典概型可得，所求概率.故選：D.6.已知銳角，角的對邊分別，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用正弦定理化簡已知條件，由此求得的值，進而求得B的大小.再利用正弦定理和兩角差的正弦公式，求得的表達式，進而求得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)知，，由正弦定理得，即,又，所以，所以，得，所以，又，即，又銳角，所以，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故選：A7.已知是直線上一點，M，N分別是圓和上的動點，則的最小值是（）A.7 B.8 C.9 D.10【正確答案】D【分析】先由兩圓的標準方程，求出圓心和半徑，然后判斷兩圓與直線的位置關(guān)系，求出圓心關(guān)于直線的對稱點，則當，，三點共線且經(jīng)過兩圓圓心時，取最小值，求解即可．【詳解】圓，則圓心，圓，則圓心，兩圓心在直線的同側(cè).又圓心到直線的距離，圓心到直線l的距離，則兩圓在直線l的同側(cè)且與直線相離，如圖所示，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以，，當且僅當三點共線時等號成立；即的最小值為．故選：D.8.北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中記載了“隙積術(shù)”，提出長方臺形垛積的一般求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積的第一層有個小球，第二層有個小球，第三層有個小球……依此類推，最底層有個小球，共有層，由“隙積術(shù)”可得這些小球的總個數(shù)為若由小球堆成的某個長方臺形垛積共8層，小球總個數(shù)為240，則該垛積的第一層的小球個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】轉(zhuǎn)化題給條件為，再由皆為正整數(shù)分類討論即可求解.【詳解】由題意知，，于是得最底層小球的數(shù)量為，即，.從而有，整理得，，，，，由于皆為正整數(shù)，所以（i）當時，，當時，，（iii）當時，，（iv）當時，只有符合題意，即的值為2.故選：B.關(guān)鍵點點睛：本題主要考查新文化背景下的數(shù)列問題，確定是解決本題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的的6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列對二項式展開式的說法正確的是：（）.A.第3項的系數(shù)為40 B.第4項的二項式系數(shù)為10 C.不含常數(shù)項 D.系數(shù)和為32【正確答案】BC【分析】寫成展開式的通項，利用通項判斷A、B、C；令判斷D.【詳解】二項式展開式的通項為，，所以第3項的系數(shù)為，故A錯誤；第4項的二項式系數(shù)為，故B正確；令，解得，又，所以展開式不含常數(shù)項，故C正確；令可得系數(shù)和為，故D錯誤.故選：BC10.已知等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，，則下列結(jié)論正確的有（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C.使為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為0 D.的最小值為【正確答案】ACD【分析】化簡已知等式由函數(shù)的單調(diào)性可得A正確；取反例結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得B錯誤；化簡已知等式可得C正確；結(jié)合等差數(shù)列的求和公式判斷為遞增數(shù)列，再討論的取值可得D正確；【詳解】對于A，，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確；對于B，若，則，，所以，故B錯誤；對于C，由可知無整數(shù)，故C正確；對于D，因為和是等差數(shù)列，且前n項和分別為和，所以，所以遞增，所以最小值為時，為，故D正確；故選：ACD.11.純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時聽到的樂音不止是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是因為發(fā)聲體在全段振動，產(chǎn)生頻率為的基音的同時，其各部分，如二分之一?三分之一?四分之一部分也在振動，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如等.這些音叫諧音，因為其振幅較小，我們一般不易單獨聽出來，所以我們聽到的聲音函數(shù)是.記，則下列結(jié)論中正確的是（）A.為的一條對稱軸 B.的最小正周期為C.的最大值為 D.關(guān)于點中心對稱【正確答案】BCD【分析】根據(jù)可判斷選項A；根據(jù)可判斷選項B；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的方法及三角恒等變換即可判斷選項C；根據(jù)可判斷選項D.【詳解】因為，，所以，則不為的一條對稱軸，故選項A不正確；因為，所以，則的周期為，而的最小正周期為2π，故的最小正周期為2π，故選項B正確；因為所以又因為所以的周期為.故只考慮函數(shù)在上的最大值即可.令，得：或或或；令，得：或者或；所以函數(shù)在，，和上單調(diào)遞增；在，和上單調(diào)遞減.又因為，，，所以的最大值為，故選項C正確；因為，所以，則關(guān)于點中心對稱，故選項D正確.故選：BCD三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，則公比q的值是__________．【正確答案】2【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義與性質(zhì)求解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)知，聯(lián)立，解得或，因為是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，所以，即．故213.已知，為正實數(shù)，且滿足，則的最小值為__________．【正確答案】【分析】構(gòu)造代數(shù)式，利用基本不等式即可得到最小值.【詳解】，∵，且，為正實數(shù)，∴，當且僅當時，即時，取“=”，∴，則.故14.定義一種運算，若函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】根據(jù)新定義，求得，根據(jù)不等式成立，化簡得到即，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域，即可求解.【詳解】根據(jù)定義的一種運算，可得，又由，即，即設(shè)，可得函數(shù)為單調(diào)的遞減函數(shù)，且，所以，可得，即，解得，又由，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案.本題考查了函數(shù)的新定義的計算與應(yīng)用，其中解答中涉及到指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查分析問題和解答問題的能力.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若在中，，求面積的最大值．【正確答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先化簡的表達式成為的形式，從而求出單調(diào)增區(qū)間；（2）通過面積公式把變量統(tǒng)一到上，然后通過二次函數(shù)的知識求出答案即可．【詳解】（1）由可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）因為所以（當時取等號）．16.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，，.（1）求和的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【正確答案】（1），（2），【分析】（1）由等差等比數(shù)列項之間的關(guān)系建立等式，求得公比和公差的值，從而寫出通項公式；（2）等差等比數(shù)列乘除得到的新數(shù)列利用錯位相減即可得到新數(shù)列的前n項和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得，所以由，，又，可得，解得，從而的通項公式為.【小問2詳解】設(shè)數(shù)列的前n項和為.因為，所以，，兩式相減得，，即，17.某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機器人，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進行對話．聊天機器人的開發(fā)主要采用（人類反饋強化學(xué)習(xí)）技術(shù)，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為80%，當出現(xiàn)語法錯誤時，它的回答被采納的概率為40%．（1）在某次測試中輸入了8個問題，聊天機器人的回答有5個被采納，現(xiàn)從這8個問題中抽取4個，以X表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為p，若聊天機器人的回答被采納的概率為70%，求p的值．【正確答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為（2）【分析】（1）由題知X的所有取值為1，2，3，4，求出對應(yīng)的概率，可得其分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）利用全概率公式表示出回答被采納的概率，結(jié)合條件代入可得關(guān)于的方程，解方程即可.【小問1詳解】由題可知X的所有取值為1，2，3，4，，，，，故X的分布列為：X1234P則．【小問2詳解】記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，記“回答被采納”為事件C，由已知得，，，，PB=p，PA=1?p所以由全概率公式得，解得．18.已知函數(shù).（1）當時，設(shè)，求Fx在處的切線方程；（2）當時，求單調(diào)區(qū)間；（3）若曲線y=fx與直線有且僅有兩個交點，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為（3）【分析】（1）當時，求出函數(shù)Fx的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）求導(dǎo)后，根據(jù)f′（3）將問題轉(zhuǎn)化為方程有且僅有兩個不等實根，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識可作出Fx的圖象，進而得到，結(jié)合單調(diào)性可得結(jié)果.【小問1詳解】解：當時，，其中，，則，所以，，，所以，F(xiàn)x在處的切線方程為.【小問2詳解】解：當時，，該函數(shù)的定義域為0,+∞，且，由f′x<0，可得，解得；由f′x>0，可得，解得所以，當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【小問3詳解】解：由題意知：且，與有且僅有兩個交點，方程有且僅有兩個不等實根，即方程有且僅有兩個不等實根，即方程有且僅有兩個不等實根，令，則Fx定義域為0,+∞，，當時，；當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當時，；當時，；可得Fx令，則，有且僅有兩個不同實數(shù)根的充要條件為，即，實數(shù)的取值范圍為.關(guān)鍵點點睛：本題根據(jù)曲線與直線交點個數(shù)求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是能夠首先將問題轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題，進而采用同構(gòu)的邏輯，通過構(gòu)造函數(shù)的方式進一步將問題轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)不同函數(shù)值大小關(guān)系的比較問題.19.已知半圓，圓，作圓與半圓，圓，軸均相切，點，且．（1）求的周長；（2）證明：為等比數(shù)列；（3）證明：對任意正整數(shù)．【正確答案】（1）2（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)的定義以及相切的性質(zhì)即可求解；（2）由題意得遞推表達式，進一步根據(jù)等比數(shù)列的定義驗算即可證明；（3）由分析可知只需證明即可，而可以用基本不等式證