圓中的分類討論思想

知識(shí)方法精講

1.圓周角定理

（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不

可.

（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的

圓心角的一半.

推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

（3）在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形

的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”——圓心角

轉(zhuǎn)化.③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條

件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角.

2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）.

（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周

角定理結(jié)合起來(lái).在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ).

3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)O。的半徑為心點(diǎn)尸到圓心的距離8=力則有：

①點(diǎn)尸在圓外

②點(diǎn)尸在圓上Qd=r

①點(diǎn)尸在圓內(nèi)QdO

（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的

關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

（3）符號(hào)“Q”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)的左端可以得到右端，從右端也可

以得到左端.

4.三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.

(3)概念說(shuō)明：

①“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn).

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角

三角形的外心在三角形的外部.

③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接

圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè).

5.直線與圓的位置關(guān)系

(1)直線和圓的三種位置關(guān)系：

①相離：一條直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn).

②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，

唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn).

③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線.

(2)判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為心圓心。到直線/的距離為乩

①直線I和。。相交

②直線I和。。相切=d=r

③直線I和。。相離八

6.切線的性質(zhì)

(1)切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.

(2)切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：

如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是:

①直線過(guò)圓心；②直線過(guò)切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直.

(3)切線性質(zhì)的運(yùn)用

由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.簡(jiǎn)記作：

見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，見(jiàn)垂直.

7.切線的判定與性質(zhì)

（1）切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.

（2）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（3）常見(jiàn)的輔助線的：

①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”；

②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”.

8.分類討論思想

每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們

所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問(wèn)題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)

一的形式進(jìn)行研究，還有些問(wèn)題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不

同也會(huì)影響問(wèn)題的解決，由上述幾類問(wèn)題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，

即把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，這

種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。

一.選擇題（共9小題）

1.（2021秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）48是。。的弦，ZAOB=60°,則弦所對(duì)的圓周角是（

）

A.30°B.60°C.150?；?0°D.60?；?40。

2.（2020秋?灤陽(yáng)市期末）已知A48C是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若BC=2拒,貝|N/的

度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.120°D.60°或120°

3.N8是。。的弦，ZAOB=80°,則弦所對(duì)的圓周角是（）

A.40°B.140?；?0°C.20°D.20°或160°

4.已知在半徑為2的中，圓內(nèi)接AA8C的邊48=26,則/C的度數(shù)為（）

A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°

5.如圖，。。的半徑為1,是。。的一條弦，且/2=百，則弦48所對(duì)圓周角的度數(shù)

B.60°C.30°或150°D.60°或120°

6.（2021秋?孝南區(qū)月考）點(diǎn)尸到。。的最近點(diǎn)的距離為2c〃?，最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為7cm,則O。

的半徑是（）

A.5cm或9cmB.2.5cmC.4.5cmD.2.5cm或4.5cm

7.一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為4cm,最大距離為9c〃z,則該圓的半徑是（)

A.2.5cm6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm

8.一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為6c冽，最大距離為9c冽，則該圓的半徑是（)

A.1.5cmB.7.5cmC.1.5CM或7.5cmD.3cm或15cm

9.（2020秋?麗水期末）已知A48c外接圓的半徑為2,BC=2^3,則//的度數(shù)是（）

A.120°B.30?；?20。C.30?；?0°D.60°或120°

二.填空題（共7小題）

10.（2020秋?佳木斯期末）。。的半徑為5cm,AB,CD是。。的兩條弦，ABI/CD,

AB=8cm,CD=6cm.則AB和CD之間的距離為.

11.（2020?棗陽(yáng)市校級(jí)模擬）在半徑為2的。。中，弦N8的長(zhǎng)為2,則弦48所對(duì)的圓周

角的度數(shù)為一.

12.（2021秋?臺(tái)安縣期中）一個(gè)已知點(diǎn)尸到圓周上的最長(zhǎng)距離是9,最短距離是3,則此圓

的半徑是—.

13.平面上一點(diǎn)尸到。。上一點(diǎn)的距離最長(zhǎng)為7c加，最短為3c%，則。。的半徑為cm.

14在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.若以C點(diǎn)為圓心，r為半徑所作的圓與斜

邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，貝-的取值范圍是—.

15.（2022秋?武漢期末）如圖，PM,PN分別與OO相切于4,3兩點(diǎn)，C為OO上異

于N,B的一點(diǎn)，連接/C,BC.若/尸=58。，則N/C3的大小是

AM

16.如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=3,點(diǎn)。在邊5c上，CD=1,BD=3.點(diǎn)尸是

線段ND上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為1的。尸與A43C的一邊相切時(shí)，4P的長(zhǎng)為.

CD

三.解答題(共2小題)

17.(2021秋?新榮區(qū)月考)綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)直角三角板和量角器，把量角器的中心。點(diǎn)放

置在NC的中點(diǎn)上，DE與直角邊NC重合，如圖1所示，ZC=90°,BC=6,AC=8,OD=3,

量角器交/B于點(diǎn)G,F,現(xiàn)將量角器。E繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，如圖2所示.

(1)點(diǎn)C到邊48的距離為

(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求點(diǎn)。到距離的最小值.

(3)若半圓。與RtAABC的直角邊相切，設(shè)切點(diǎn)為K,求3K的長(zhǎng).

18.如圖1,平行四邊形48CD中，AB=8,BC=4,//2C=60。.點(diǎn)尸為射線2C上一

點(diǎn)，以8P為直徑作。。交45、DC于E、尸兩點(diǎn).設(shè)OO的半徑為x.

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