高考數(shù)學一輪復習收官模擬新課標II卷

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.[2024春?高一?河北唐山?期中聯(lián)考]已知復數(shù)z=2+i，則zi=()

A.73B.6C.3D.5

1.答案：D

解析：,z=2+i，z-I=(2+i)(2—i)=5,故選D.

2.下列命題中為真命題的是()

2

A.:GR,x+1<0B./?2:VxeR,x+1x|>0

C.:VxeZ,|x|eND.:BxeR,x2-7x+15=O

2.答案：C

解析：VxeR,x2+1>1>0,故Pi是假命題.當x=0時，x+|x|=O,故p2是假命

題.VxeZ,|x|eN,故必是真命題.對于方程V-7%+15=0,A=49-4xl5<0,止匕

方程無解，故凡是假命題.

27r

3.已知平面向量a,?滿足|a|=2,防|=1,且a與方的夾角為苛，則|a+)|=()

A.EB.A/5C.A/7D.3

3.答案：A

27r27r

解析：|a|=2,|〃|=1,且a與方的夾角為‘，.-.a-6=2xlxcos—=-1,

33

.?.|a+〃F=(a+〃)2="+2。.〃+/=22—2x1+12=3,;.|a+Z>|=6.故選A.

4.[2023春?高一?四川宜賓?期末?？糫PM2.5是空氣質量的一個重要指標，我國

PM2.5標準采用世界衛(wèi)生組織設定的最寬限值，即PM2.5日均值在35%/0?以下空氣

質量為一級，在35^g/m3~75^g/m3之間空氣質量為二級，在75pig/n?以上空氣質

量為超標.如圖是某地H月1日到10日PM2.5日均值(單位：pig/m3)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，

則下列敘述不正確的是()

“PM2.5日均值（Mg/m3）

100.............................--

82

Li―2345―6-^7-*11「百期

A.從5日到9日，PM2.5日均值逐漸降低

B.這10天中PM2.5日均值的平均數(shù)是49.3

C.這10天的PM2.5日均值的中位數(shù)是45

D.從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽出一天的數(shù)據(jù)，空氣質量為一級的概率

4.答案：C

解析：由題圖可知從5日到9日，PM2.5日均值逐漸降低，故選項A正確;

30+32+33+34+45+49+57+58+73+82

由題圖得平均數(shù)為=49.3,故選項B正確;

10

由題圖可知這10天的數(shù)據(jù)從小到大排列為30,32,33,34,45,49,57,58,73,

82,故中位數(shù)為二一-=47,故選項C不正確；

2

由數(shù)據(jù)可知，這10天中PM2.5日均值在35%/0?以下的有4天，故空氣質量為一級

4?

的概率是3=故選項D正確.故選C.

105

5.已知動圓過定點4-3,0),且與圓3:(X-3>+V=64內切，則動圓圓心的軌跡方程

是()

22222222

A.----1----=1B.-----1---=1C.-----1---=1D.-----1----=1

16716725162516

5.答案：A

解析：設動圓圓心為M(x,y),半徑為r，則r=M4.因為動圓〃與圓

B:(x—3)2+V=64內切，所以MB=8—r，所以MB+r=8,即

MB+MA^8>AB^6,由橢圓的定義可知，”的軌跡為以A,5為焦點的橢圓，所以

22

a=4,c=3,〃=42-2=7,所以動圓圓心”的軌跡方程為土+匕=1.

167

6.[2024秋?高三?山東泰安?開學考試]曲線y=sin(x+l)與y=lgx交點個數(shù)是()

A.3B.4C.5D.6

6.答案：A

解析：作出曲線y=sin(x+l)與y=lgx大致圖象，可知y=sin(x+l)?-1,1b而IglO=1,

由曲線y=sin(x+l)與y=lgx圖象知，曲線y=sin(x+l)與y=lgx有3個交點.

故選：A.

7.如圖，在矩形A3CD中，BC=1,AB=2a,現(xiàn)將△腦￡)沿著對角線3。翻折成

△A'BD,并且滿足則直線AC與平面BCD所成最大角的余弦值為()

7.答案：B

解析：如圖，設點A，在底面BCD中的射影為H,則N4CH是4C與平面BCD所成的

角，cosNA'CH=J.在翻折過程中，AH±BD,又45LAC,則即H

AC

在AB的垂直平分線MN上.

取A2的中點E,連接CE,OE,AO,■-OA=OB,r.ABLOE.又ABLAC,從

而AB_L平面EOC,NBYEC,而E是A3的中點，從而4。=3。，

cos/A(H=里=色.又BC=1,AB=2a,由△ABCSAHMB,得“"=2〃，在

A'CBC

直角梯形3cHM中，CH=2a2—1)2+〃=J4，_3a2+1=卜卜一|：十旨卡

從而cosN4cH=d=烏的最小值為五，當且僅當a=好時取等號.故選B.

A'CBC44

V12

8.已知函數(shù)/(x)的定義域為(0,+oo),當々〉石〉0時，x2f(%,)-Xj/(x2)>x2e-x^.

若/⑴=e+l,則不等式/(Inx)>lnx+x的解集為()

A.(0,e)B.(l,e)C.(l,^o)D.(e,+oo)

8.答案：B

解析：由％2/(石)―玉/(*2)〉工2爐一入戶士，且刀2〉為〉0，得于-J〉/(%)/.令

g(x)=/(x)-e>,則g(%)>g(w),所以函數(shù)g(x)在(0,+00)上單調遞減.因為

X

/(l)=e+l,所以g⑴=1.由/(%)的定義域為(0,+8),得lnx>0,得1>1,所以不等

式/(In%)>Inx+%可以變形為了(“')一-—>L即g(lnx)>g(l),所以lnx<l,即

Inx

x<e,所以l<xve.故選B.

二、多項選擇題

9.已知函數(shù)〃x)=2sin(0x」］的圖象的一條對稱軸為直線“兀，其中。為常數(shù)，

且①e(0,1),則以下結論正確的是()

A.函數(shù)/(%)的最小正周期為3兀

C.將函數(shù)/(%)的圖象向左平移四個單位長度所得的圖象關于原點對稱

6

D.函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,10071)上有67個零點

9.答案：ABD

解析：因為直線％=兀是/(x)圖象的一條對稱軸，所以m1-巴=左"+巴，keZ,所以

62

29

CD—k-\--,左￡Z.又因為69￡(0,1),所以G=—,所以

33

/(%)=2sinf—X--3兀，故A正確;

136J\co\2

3

=2sin巴=6,故B正確；/(x)的圖象向左平移工個單位長

36

度得到函數(shù)y=2sin12.「+0-m=2sin12%-2］的圖象，顯然不關于原點對稱,

_316J61318J

故C錯誤；當xe(0,100兀)時，令—2<也(空ksZ,則

3662J62

Q<k<66,左GZ,所以/(x)在(0,100兀)上有67個零點，故D正確.故選ABD.

10.已知拋物線C：V=2px(p>0)的焦點R到準線/的距離為2,貝1)()

A.焦點R的坐標為(1,0)

B.過點A(-1,0)恰有2條直線與C有且只有一個公共點

C.直線x+y-1=0與C相交所得弦長為8

D.C與圓好+9=5交于〃，N兩點，則肱V=4

10.答案：ACD

解析：由題可知拋物線C的方程為/=4x.焦點R的坐標為(1,0),故A正確.過點

A(-l,0)可作C的2條切線；直線y=0過點A且與C只有一個交點，所以共3條直線

與拋物線有且只有一個公共點，故B錯誤.設直線x+y-1=0與拋物線C交于

—l=得V+4y—4=0,A=42-4X(-4)=32>0,則

產(chǎn)(和％)，Q(w，%)，由,

[V=4x,

%+%=-4,必％=4PQ=I1+-^^X

%+%)"—4yly2=8，故c正確.由

無2+

'得％2+4X-5=0,解得x=l(l=—5舍去)，所以交點為(1,±2),所以

b=4x,

MN=4,故D正確.

11.設函數(shù)/(x)=2+x-e”，對于任意給定的實數(shù)K,定義函數(shù)

曾富，則下列結論正確的是()

14(x)="

A.函數(shù)y=/(x)的零點有3個B.3Ze(0,l),使得為⑺=0

C.若VxeR,人(X)=/(X),則K21D.若/K(X)存在最大值，則KNln2

11.答案：BCD

解析：/(x)=2+x-e\則/'(x)=l—e"令/'(%)=0,解得尤=0.當x<0時,

/'(x)>0,/(x)單調遞增；當x>0時，尸(幻<0,/(幻單調遞減.故/(x)在R上有最

大值，為/(0)=1.令g(x)=xe=ln2,則g，(x)=(x+l)e，,令g(x)=0,解得x=—1.當

x<-1時，g'(x)<0,g(x)單調遞減；當%>-1時，g'(x)>0,g(x)單調遞增.令

/(x)=g(x),則2+x—3=加工—ln2,即x+2+ln2=(x+l)e、，解得該方程的正根為

x=ln2,且/(In2)=g(ln2)=ln2.故作出函數(shù)/(x)與g(x)的大致圖象，如圖1.

當K=1時，人>)<1恒成立，故力(x)=/(x),由圖1得y=X(x)有2個零點，故A錯

誤.由圖1知在(0,1)上，f(x)>0,故4(x)=xe、-ln2,xe(0,l),又

啟0)=-ln2<0,4(l)=e-ln2>0,所以王e(0,l),使得人⑺=0,故B正確.因為

/。)<1恒成立，所以若X/xeR,/K(X)=/O)，則K21,故C正確.當K21時,

人(x)=/(x),故/K(X)有最大值，為1；當ln2<K<l時，人(x)的大致圖象如圖2所

示，人(x)有最大值；當K<ln2時，/K(X)的大致圖象如圖3所示，所以人(x)無最大

值.綜上，若人(刀)存在最大值，則K'ln2,故D正確.

三、填空題

12.已知｛%｝為等差數(shù)列，公差為-2,且耐=°3。9，則前10項和S10=.

12.答案：110

解析：依題意，有(a1+6d)-=(q+2d)(q+8d).因為d=-2,所以

(q—12)2=(q—4)(q—16),所以a；-24q+12?=a；-20q+64,解得q=20,所以

10x9

A。=104+(^4=10x20-90=110.

13.已矢口e[+，兀],sin(tz+^)=--|,sin1,—,則

cosa+—\-.

I4J

13.答案:

65

解析：-兀)，

.-.?+^e—,2K,4,2E.又.sin(a+尸)=—1,sin/?--

cos[a+：]=cos=cos(tz+cos+sin(tz+,)sin一：

31256

=-Xx—=------

1365

14.把6張座位編號分別為1,2,3,4,5,6的電影票全部分給4個人，每個人至少

分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法共有種.

(用數(shù)字作答)

14.答案：144

解析：根據(jù)題意，可分為兩步進行：

①先將票分為符合條件的4份，4人分6張票，且每人至少1張，至多2張，則有2個

人各1張,2個人各2張，且分得的票必須連號，相當于將1,2,3,4,5,6這6個

數(shù)字用3個板子隔開，分為四部分且不存在三連號，即在其中的5個空隙中插入3個

板子，有C；=10種情況，

其中出現(xiàn)三連號的有123,4,5,6；1,234,5,6；1,2,345,6；1,2,3,456,

共4種情況不滿足題意，所以有10-4=6種情況；

②再將分好的4份全排列，對應到4個人，有A：=24種情況.由分步乘法計數(shù)原理可

得共有6義24=144種不同的分法.

四、解答題

15.在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,^.acosC--c=b.

2

(1)求A；

(2)點。在線段BC上，ADVAC,—求tan。的值.

CD4

15.答案：(1)A=—

3

(2)tanC=—

5

解析：(1)由acosC—=b結合正弦定理可得sinAcosC-工sinC=sin_B.

因為A+_B+C=7i,所以sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosA-sinC,

所以sinAcosC——sinC=sinAcosC+cosAsinC,即——sinC=cosAsinC.

|0TT

因為sinC/0,所以cosA=—土，因為Ae(0/),所以A=e.

23

(2)如圖，在RtZVLCD中，AD=CDsinC=4BDsmC,

63

BD4BDsinC

由正弦定理可得破=但故----=——

?兀

simsin3sin—sin

66

即^^cosC-LsinC=2sinC,所以tanC=^^

225

16.已知函數(shù)/(x)的導函數(shù)為/'(x),且/(x)=e*+/'(0)cosx.

(1)求函數(shù)/(x)的圖象在x=0處的切線方程；

(2)證明：/(x)在(-兀,+8)上僅有一個零點X。，且1<何伉)〈喧.

16.答案：(1)x-y+2=0

(2)證明見解析

解析：(1)由/(x)=e*+/，(0)cosx,得尸(x)=e*-jT(0)sinx,

所以/'(。)=1一/'(O)sinO=l,

所以/(x)=e*+cosx,即/(0)=1+1=2,

所以所求切線方程為y—2=%—0,即x—y+2=0.

(2)由(1)知/(x)=e*+cosx,則尸(x)=e*-sinx.

當了之0時，ex>1,sinx<l,所以/'(x)=e'-sinxN0,

所以函數(shù)/(x)在(0,+oo)上單調遞增，

當一兀<%<0時，eT>0,sinx<0,所以/'(x)=e*-sinx〉0,

所以函數(shù)/(x)在(-兀,0)上單調遞增,

所以函數(shù)/⑴在(-兀,+oo)上單調遞增.

3兀71

所以函數(shù)/（X）在（-兀,+oo）上存在唯一零點/,且不￡

T，-2

所以/（%o）=e與+cos/=0,即e"=-cosx0,

所以/'（%）=e殉-sinx0=-cos^0-sinx0=-A/2sin^x0.

.（3兀兀［4日兀（兀兀）

由毛€［一7,一5＞倚/+了€「5,一］，

所以sin［Xo+：］e-1,一與,

所以/'（七）=—\/^sin［xo+；］e（L后），得證.

17.［2024屆?江蘇南通?模擬考試］如圖，圓柱上、下底面圓的圓心分別為。，。「

該圓柱的軸截面為正方形，三棱柱ABC-4用G的三條側棱均為圓柱的母線，且

（1）證明：不論尸在何處，總有BCLPA；

（2）當尸為的中點時，求平面4尸5與平面用PB夾角的余弦值.

17.答案：（1）證明見解析

⑵叵

11

解析：（1）證明：連接08,OC,。14，且連接A。并延長，交3c于點M,交圓柱

側面于點N,如圖所示.

因為AB=AC,OB=OC,所以AAO6g△AOC,所以ZfiL4M=NC4M,

所以所以航為BC中點，所以。4,5c.

又在圓柱OOi中，平面ABC,BCu平面ABC,所以AAjLBC.

又AO蝴二人，AO,441cz平面AOOJA，所以BC,平面AO^A.

因為不論尸在何處，總有P^U平面AoaA，所以Be，%.

則A3=AC=?a.

(2)設00］="=AN=a(a〉0),

6

\r51

在ZVIBC中，AM=ACcosZCAM=AC--=-a,則0M=—a.

AN63

所以CN?==》.

如圖，以a為原點，aa，孰。所在直線分別為丁軸，z軸建立空間直角坐標系

Oxxyz,

其中3G//X軸，y軸是在平面44cl內3c的垂直平分線,

、

則A(0,—ga,。］,B1

}a,—a,0,Ba.—a.a9pf0,0,-62

3J

、7

5,A戶=1)，BB=(0,0,6?),(V?ii

所以45=a.—a.a{B\P=------a,—a,——

6I632

77

A^B-m=0,

設平面AXPB的法向量為/w=(x,y,z),則有＜

A^P-m=0,

［際50

—axH—uy+az—0,

即466'取x=l,得m=布).

11八

—uyH—az—0,

、22

設平面與的法向量為〃=（b,c,d）,則有?'."

B]P?n=0,

ad=0,

即,A/511取Z?=2，得zi=（2,-6,0）.

----cib—cicH—ad—0,

I632

設平面APB與平面與P5的夾角為0,

則cos0=|cos〈九n）\=1'〃,

\m\\n\11

所以平面A.PB與平面B]PB夾角的余弦值為洋.

18.[2024秋?高二?江西宜春?月考?？糫“英才計劃”最早開始于2013年，由中

國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質的優(yōu)秀

中學生.為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學里挑選優(yōu)秀學生參加數(shù)學、物理、

化學學科夏令營活動.

（1）若數(shù)學組的7名學員中恰有3人來自A中學，從這7名學員中選取3人，&表

示選取的人中來自A中學的人數(shù)，求&的分布列和數(shù)學期望.

（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活動，規(guī)則如下：兩

人一組，每一輪競答中，每人分別答2道題，若小組答對題數(shù)不小于3,則取得本輪

勝利.已知甲、乙兩位同學組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為必?假設

甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響.當p+P2=，時，求甲、乙兩位同學在每

輪答題中取勝的概率的最大值.

Q

18.答案：（1）分布列見解析，數(shù)學期望為N

7

⑵If

解析：（1）由題意知，J的可能取值為0,1,2,3,

仁。)=*[%=1)=害=||

23

PC=2)=Zc'^c=—12,。6=3)c===1一

C；35C；35

所以J的分布列為

0123

418121

P

35353535

E(^)=Ox—+lx—+2x—+3x—=-

353535357

(2)因為甲、乙兩人每次答題相互獨立，設甲答對題數(shù)為力，則力?5(2,pj,

設乙答對題數(shù)為7，貝切?6(2,02).

設4="甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝”，

則P(A)=P(Z=1)P(7=2)+P(X=2)P(7=1)+P(X=2)P(rj=2)

=CM(i—口)GE+cM2cp2(i—0?)+Gp；c券；

=2p/l—〃i)p；+202(l—2)P；+P；P；

228

=-3〃ip2+飛PR.

4i

由。VP]<1,0<P2<1R,Pi+P2~~93VP]<1,

則〃…唔一

1「14-

又所以8幺€?

8「14一

設1=P]P2，則尸(A)=-3〃,tG—,—.

易知當”[時，P(A)取得最大值

所以甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值為竺.

27

2222

19.在平面直角坐標系中，已知雙曲線G：?-、=1與橢圓02：2+]=1，A,

3分別為G的左、右頂點，點尸在雙曲線G上，且位于第一象限.

(1)直線0P與橢圓。2相交于第一象限內的點”，設直線以，PB,MA,MB的斜率

分別為6,k2,k3,k4,求左+42+%+%的值；

（2）直線AP與橢圓。2相交于點N（異于點A）,求AP-AN的取值范圍.

19.答案：（1）0

(2)(16,+oo)

解析：（1）方法一：設直線=（左＞0）,

y=kx.

k>0,解得0小冬

由＜22T得（1-2左2卜2=4,所以.

，X一y萬1-2F>0,

2

1，廠所以p(22k)

設P(%,%)(%!>o,%>o),貝Uv

2kU1-2k2Yl-2k2「

yyji-2k2'

y=kx,

[得(1+2左?=4,

由＜x2y2

U—+—2=

2

2Jl+2%2所以股(22k}

設（%2＞0，上,。），則

2k71+2k2'ql+2k2;

11+2/'

因為A(—2,0),3(2,0),

8k

2%弘1—2公_1

所以匕=19

國+2再一2才-4_4k

1-2F

8k

%_2々為一1+2公

上3+kq~

%2+2%2—2%-44

1+242

以k]+女2+%3+*4=-----1"0.

k

方法二：設P（%,yJ（西〉0,%〉0）,M(x2,y2)(x2>0,%>0),

%