第2章球面和球面系統(tǒng)

2.1光線經(jīng)單個折射球面的折射

2.2單個折射球面成像放大率及拉赫不變量

2.3共軸球面系統(tǒng)

2.4球面反射鏡

2.1光線經(jīng)單個折射球面的折射2.1.1符號規(guī)則如圖2－1所示，折射球面OE為兩種介質(zhì)n和n′的分界面，C為折射球面的球心，CO為球面曲率半徑，以字母r表示。通過球心的直線為光軸，光軸與球面的交點O稱為頂點。圖2－1光線經(jīng)過單個折射球面的折射

從光軸上一物點A發(fā)出一條光線，經(jīng)球面折射后交光軸于A′點，則稱A′點為A點的像。所以，成像問題實質(zhì)上就是光線的傳播問題，只要能求得物點發(fā)出的光線的光路，就能知道物經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)所成的像。

如圖2－1所示，在子午面內(nèi)入射到球面的光線，其位置可由兩個參量來確定：一個是頂點O到光線與光軸交點A的距離，以L表示，稱為截距；另一個是入射光線與光軸的夾角∠EAO，以U表示，稱為孔徑角。光線AE經(jīng)球面折射后，交光軸于A′點。光線EA′的確定也和AE相似，以相同字母表示兩個參量，僅在字母右上角加“′”以示區(qū)別，即L′=OA′和U′=∠EA′O，也稱為截距和孔徑角。為了區(qū)別，L和U稱為物方截距和物方孔徑角，L′和U′稱為像方截距和像方孔徑角。為了確切地描述光路中各種量值和光組的結(jié)構(gòu)參量，并使以后導(dǎo)出的公式具有普遍適用性，必須對各種量值作符號上的規(guī)定。幾何光學(xué)中的符號規(guī)定如下：

（1）沿軸線段：如L、L′和r，以球面頂點O為原點，如果由原點到光線與光軸的交點的方向和到球心的方向與光線的傳播方向相同，則其值為正；反之為負(fù)。光線的傳播方向規(guī)定為自左向右。

（2）垂軸線段：如y和y′，在光軸之上者為正，在光軸之下者為負(fù)。

（3）光線與光軸的夾角U和U′：以光軸為起始邊，從銳角方向轉(zhuǎn)向光線，順時針為正，逆時針為負(fù)。

(4)光線和法線的夾角I和I′：以光線為起始邊，從銳角方向轉(zhuǎn)向法線，順時針為正，逆時針為負(fù)。

(5)光軸與法線的交角φ：以光軸為起始邊，從銳角方向轉(zhuǎn)向法線，順時針為正，逆時針為負(fù)。

（6）折射面之間的間隔d：折射面之間的間隔指由前一面的頂點到后一面的頂點之間的距離。若其方向與光線傳播方向相同，則為正；反之，則為負(fù)。在純折射系統(tǒng)中，d恒為正值。2.1.2光線經(jīng)單個折射球面的實際光路的計算公式

光線經(jīng)單個折射球面的光路計算，是指在給定單個折射球面的結(jié)構(gòu)參量n、n′和r時，由已知入射光線的坐標(biāo)L和U，求出出射光線的坐標(biāo)L′和U′。

如圖2－1所示，在△AEC中，應(yīng)用正弦定理可得或

（2－1）

由折射定律得

（2－2）

由圖2－1可知

所以

（2－3）

同樣，在△A′EC中應(yīng)用正弦定理有

整理得像方截距為

（2－4）

式（2－1）～（2－4）就是子午面內(nèi)光線光路的基本計算公式，也稱為實際光路的計算公式。當(dāng)n、n′、r和入射光線的參量L、U已知時，即可求出相應(yīng)的L′和U′。

由式(2－1)～(2－4)可知，當(dāng)L為定值時，L′是角U的函數(shù)。在圖2－2中，若軸上物點A發(fā)出同心光束，由于各光線具有不同的U角值，所以光束經(jīng)球面折射后，將有不同的L′值，也就是說，在像方的光束不和光軸交于一點，即失去了同心性。因此，當(dāng)軸上一寬光束經(jīng)球面折射成像時，所成的像一般是不完善的，這種現(xiàn)象稱為“球差”。

圖2－2軸上點成像的不完善性

若物點位于物方光軸上無限遠(yuǎn)處，此時它發(fā)出的光束可認(rèn)為是平行于光軸的平行光束，即L=-∞,U=0，如圖2－3所示，此時，光線的入射角可按下式計算：

（2－5）

其中，h為光線的入射高度。

圖2－3無限遠(yuǎn)軸上點經(jīng)單個折射面折射

2.1.3光線經(jīng)單個折射球面的近軸光路的計算公式

上節(jié)的討論表明，軸上物點以寬光束經(jīng)單個折射球面折射所成的像是不完善的，也就是說，一個物點經(jīng)折射球面折射所成的像不是一個點，而是一個彌散斑。

在實際光路的計算公式中，若以細(xì)光束成像，即U角非常小，其相應(yīng)的I、I′和U′也非常小，則這些角的正弦值可以近似地用弧度來代替，這時相應(yīng)的角度以小寫字母u、i、i′和u′來表示，這種很靠近光軸的光線稱為近軸光線，光軸附近的這個區(qū)域稱為近軸區(qū)。

近軸光線的光路計算公式可通過將式(2－1)～(2－4)中角度的正弦直接以弧度代替而獲得，其中的有關(guān)量用小寫字母表示，具體如下：（2－6）

當(dāng)光線平行于光軸時，對應(yīng)于式（2－5）有

（2－7）

由式（2－6）可以看出，不論u為何值，l′都為定值，這表明由軸上點以細(xì)光束成像時，其像是完善的，常稱為高斯像，高斯像的位置由l′決定。通過高斯像點而垂直于光軸的像面稱為高斯像面，構(gòu)成物像關(guān)系的一對點稱為共軛點。

對于近軸光而言，存在下列關(guān)系式：(2-8)由式（2－6）還可推出以下公式：

（2－9）

（2－10）

（2－11）

式（2-9）具有不變量形式，稱為阿貝不變量，用字母Q表示。它表明，單個折射球面物方和像方的Q值相等，其大小與物像共軛點的位置有關(guān)。式（2-10）表示近軸光經(jīng)球面折射前后的孔徑角和的關(guān)系；式（2-11）表示折射球面成像時物像位置的關(guān)系。已知物或像的位置，便可求出相應(yīng)的共軛的像或物的位置。2.2單個折射球面成像放大率及拉赫不變量

2.2.1垂軸放大率如圖2－4所示，在折射球面的近軸區(qū)，垂軸小線段（用以表示垂軸小面積）AB通過折射球面所成的像為A′B′，AB用y表示，A′B′用-y′表示，則像的大小與物的大小之比稱為垂軸放大率或橫向放大率，以希臘字母β表示：（2－12）

由圖中△ABC和△A′B′C相似可得

由式（2－9）和上式可將式（2－12）改寫為

（2－13）

上式表明，折射球面的垂軸放大率僅取決于介質(zhì)的折射率和物體的位置，而與物體的大小無關(guān)。在n、n′一定的條件下，當(dāng)物體的位置改變時，像的位置和大小也隨著改變。當(dāng)β<0時，l和l′異號，表示物和像處于球面的兩側(cè)，此時物體成倒像，像的虛實與物體一致，即實物成實像，虛物成虛像。當(dāng)β>0時，l和l′同號，表示物和像位于球面的同一側(cè)，此時物體成正像，像的虛實與物體相反，即實物成虛像，虛物成實像。當(dāng)|β|>1時，為放大像，即像比物大；當(dāng)|β|<1時，為縮小像，即像比物小。

圖2－4近軸區(qū)有限大物體經(jīng)單個折射球面的成像

2.2.2軸向放大率

上面討論的是垂軸物體的放大率問題。通常物體沿光軸方向也有一定的大小，故它經(jīng)球面成像后還有一個軸向放大率的問題。設(shè)物點沿光軸方向移動一微小距離dl，相應(yīng)的像

移動dl′，則軸向放大率定義為dl′與dl的比值，以希臘字母α表示：（2-14）

對于單個折射球面，軸向放大率公式可由（2-11）微分并整理得到

（2－15）

（2-16）

兩邊同乘以，經(jīng)整理得

上式表明了垂軸放大率與軸向放大率之間的關(guān)系。它表明，如果物體為一立方體，由于垂軸放大率β與軸向放大率α不同，其像就不再是立方體。此外，還可以看出，對折射球面而言，軸向放大率永遠(yuǎn)為正，這表示物點沿軸移動，其像點以同方向沿軸移動。

必須指出，式(2－15)和式(2－16)只有在dl很小時才適用。在圖2－5中，若物點沿軸移動的有限距離可以用始末兩點A1和A2的截距差l2-l1來表示，相應(yīng)的像點移動的距離用

來表示，則此時的軸向放大率以α表示，有（2－17）

因為

變化上式，并代入（2-17）得

（2－18）

其中，和分別為物在和兩點的垂軸放大率。

圖2－5物點沿軸移動有限距離的軸向放大率

2.2.3角放大率

在近軸區(qū)以內(nèi)，通過物點的光線經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后，必然通過相應(yīng)的像點，這樣一對共軛光線與光軸的夾角u′和u的比值，稱為角放大率，以希臘字母γ表示，即（2－19）

將lu=l′u′=h代入式（2－19）得

（2－20）

兩邊同乘以，并利用（2-13）得

(2-21)2.2.4三種放大率之間的關(guān)系

由式（2－16）和式（2－21）可得到垂軸放大率β、軸向放大率α以及角放大率γ三者之間的關(guān)系為（2-22）

2.2.5拉赫不變量

將（2-8）代入（2-13）又可得出

變換上式得：

（2-23）

上式稱為拉赫公式，稱為拉赫不變量。它說明了實際光學(xué)系統(tǒng)在近軸區(qū)內(nèi)成像時，在一對共軛平面內(nèi)，物高、孔徑角和介質(zhì)折射率的乘積為一常數(shù)。

2.3共軸球面系統(tǒng)

2.3.1轉(zhuǎn)面公式由k個面組成的共軸球面光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，可由下列結(jié)構(gòu)參數(shù)來確定(圖2－6所示為由3個面組成的共軸球面光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，由k個面組成的可根據(jù)該系統(tǒng)來拓展)：

(1)各球面的曲率半徑r1，r2，…，rk；

(2)各表面頂點之間的間隔d1，d2，…，dk-1(k個面之間共有k-1個間隔)；

(3)各表面間介質(zhì)的折射率n1，n2，…，nk+1(k個面共隔開k+1種介質(zhì))。圖2－6由3個面組成的共軸球面光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

在上述結(jié)構(gòu)參數(shù)給定后，即可進(jìn)行共軸球面系統(tǒng)的光路計算和其他有關(guān)的計算。顯然，第一個面的像空間就是第二個面的物空間。也就是說，高度為的物體用孔徑角為的光束經(jīng)過第一面折射成像后，其像就是第二個面的物，其像方孔徑角就是第二個面的物方孔徑角，其像方折射率就是第二個面的物方折射率。同樣，以此類推，第二個面到第三個面之間，第三個面到第四個面之間，…，第個面到第個面之間都有這樣的關(guān)系，即

（2-24）

各面截距的過渡公式，由圖2-6可直接求出：

（2-25）

上述轉(zhuǎn)面公式（2-24）和式(2-25)對近軸光適用，對遠(yuǎn)軸光也同樣適用，即

（2-26）

這就是式（2－1）～（2－4）光路計算公式的轉(zhuǎn)面公式。

當(dāng)用式（2－10）進(jìn)行光路計算時，還必須求出光線在折射面上的入射高度h的過渡公式。利用式（2－24）的第二式和式（2－25）的對應(yīng)項相乘，可得故有

（2－27）

2.3.2共軸球面系統(tǒng)的拉赫公式

利用式（2－23）和式（2－24）可得整個系統(tǒng)的拉赫公式

(2－28)此式表明，拉赫不變量不僅對一個折射面的兩個空間是不變量，而且對整個光學(xué)系統(tǒng)的所有面的每一個空間都是不變量。拉赫不變量J是光學(xué)系統(tǒng)的一個重要特征量。J值大，表示系統(tǒng)對物體成像的范圍大，能對每一個物點以大孔徑角光束成像。這一方面表示光學(xué)系統(tǒng)能傳輸?shù)墓饽芰看?；另一方面，以后將會看到，成像光束的孔徑角還與光學(xué)系統(tǒng)的分辨率有關(guān)，孔徑角越大，分辨能力越強(qiáng)，從信息的觀點來看，就是傳遞的信息量更大。

2.3.3共軸球面系統(tǒng)的放大率公式

對于整個共軸球面系統(tǒng)的三個放大率，很容易證明系統(tǒng)的放大率等于各個折射面相應(yīng)放大率的乘積，即

（2－29）

將單個折射球面的放大率公式代入式(2－29)的第一式，即可求得

（2－30）

應(yīng)用公式（2－8）有

2.4

球面反射鏡

2.4.1球面反射鏡的物像位置公式將n′=-n代入式（2－11）中，可得