第3章勾股定理全章復(fù)習(xí)與測(cè)試1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)．2.掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問題．3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題．4.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．5.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.6.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.一．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．三．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．四．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)解決問題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．五．勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說明：①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…六．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．一．直角三角形的性質(zhì)（共1小題）1．（2020秋?蘇州期中）在△ABC中，有下列條件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．勾股定理（共10小題）2．（2022秋?南京期末）如圖，已知點(diǎn)P是射線OM上一動(dòng)點(diǎn)（P不與O重合），∠AOM＝45°，OA＝2，當(dāng)OP＝時(shí)，△OAP是等腰三角形．3．（2021秋?新吳區(qū)校級(jí)期中）已知一直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則第三邊的長(zhǎng)為．4．（2022秋?句容市期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊向兩側(cè)作正方形．設(shè)AB＝6，兩個(gè)正方形的面積和S1+S2＝20，則圖中△BCD的面積為．5．（2022秋?邳州市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么點(diǎn)D到直線AB的距離是cm．6．（2022秋?海陵區(qū)校級(jí)期末）我國(guó)三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，繪制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖所示．在圖2中，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為14，正方形IJKL的邊長(zhǎng)為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為．7．（2023?盱眙縣模擬）在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，連接AC，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接BE，DE．若，BC＝12，則△ABE的周長(zhǎng)為．8．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期末）直角三角形紙片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分線，則BD＝．9．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期末）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AD＝8．則邊BC的長(zhǎng)為．10．（2022秋?太倉(cāng)市期末）已知直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為1，2，則這個(gè)直角三角形的斜邊的長(zhǎng)為．11．（2022秋?亭湖區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則點(diǎn)C到AB的距離是．三．勾股定理的證明（共1小題）12．（2022秋?阜寧縣期中）勾股定理是數(shù)學(xué)史上非常重要的一個(gè)定理，古今中外已有幾百種證明方法．2002年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，大會(huì)的會(huì)標(biāo)選用驗(yàn)證勾股定理的“弦圖”，它標(biāo)志著我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就．“弦圖”由4個(gè)全等的直角三角形拼成大正方形（如下圖示）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a、b（a＜b），斜邊為c，請(qǐng)你利用“弦圖”驗(yàn)證勾股定理．四．勾股定理的逆定理（共15小題）13．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，下列所給數(shù)據(jù)中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 C．a(chǎn)2+b2＝c2 D．a(chǎn)：b：c＝3：4：514．（2022秋?溧陽(yáng)市期中）如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（）A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH15．（2022秋?東臺(tái)市期中）在△ABC的三邊分別是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論．16．（2022秋?徐州期中）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD．（1）若∠B＝50°，求∠DCA度數(shù)；（2）若點(diǎn)E是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段CE的最小值為．17．（2022秋?興化市期中）如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．（1）求△ABC的面積；（2）△ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)說明理由．18．（2022秋?無(wú)錫期末）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．5，7，9 C．6，8，10 D．7，8，919．（2022秋?建湖縣期中）以下四組代數(shù)式作為△ABC的三邊：①3n，4n，5n（n為正整數(shù)）；②n，n+1，n+2（n為正整數(shù)）；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n為正整數(shù)）；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n為正整數(shù)）．其中能使△ABC為直角三角形的有（）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組20．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為5，9，12，13，15，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（）A． B． C． D．21．（2022秋?高新區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判斷∠D是否是直角，并說明理由．（2）求四邊形ABCD的面積．22．（2021秋?沭陽(yáng)縣期末）如圖，在四邊形ABCD地塊中，AB＝6，AD＝8，BC＝26，CD＝24，∠A＝90°，求該四邊形ABCD地塊的面積．23．（2022秋?邗江區(qū)期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，請(qǐng)解決下列問題．（1）若∠C＝90°，，求b；（2）若a、b、c三邊滿足|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，試判斷△ABC的形狀．24．（2022秋?建湖縣期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，AC及BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且CB2＝AE2﹣CE2．（1）求證：∠ACB＝90°；（2）若AC＝12，BC＝9，求CE的長(zhǎng)．25．（2022秋?南京期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°．求證：∠C＝90°．26．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD為BC邊上的中線，且AD＝8，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．請(qǐng)求出線段DE的長(zhǎng)．27．（2022秋?濱海縣期中）如圖所示的一塊土地，測(cè)量得AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，∠ABC＝90°，求這塊土地的面積．五．勾股數(shù)（共1小題）28．（2022秋?江都區(qū)期末）下面各組數(shù)中，勾股數(shù)是（）A．0.3，0.4，0.5 B．1，1， C．5，12，13 D．1，，2六．勾股定理的應(yīng)用（共7小題）29．（2021秋?洪澤區(qū)校級(jí)期中）如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行（）米．A．7 B．8 C．9 D．1030．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，將長(zhǎng)為8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定兩端A和B，然后把中點(diǎn)C垂直向上拉升3cm至點(diǎn)D，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm31．（2022秋?金湖縣期中）將一根24cm的筷子置于底面直徑為12cm，高為5cm的圓柱形水杯中，如圖，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為hcm，則h的取值范圍是（）A．h≤19 B．11≤h≤19 C．12≤h≤19 D．13≤h≤1932．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）放學(xué)以后，小紅和小穎從學(xué)校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，若小紅和小穎行走的速度都是100米/分，小紅用3分鐘到家，小穎4分鐘到家，則小紅和小穎家的直線距離為（）A．300米 B．400米 C．500米 D．700米33．（2022秋?惠山區(qū)期中）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．在《九章算術(shù)》中的勾股卷中有這樣一道題：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．問折者高幾何？意思為：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處B離遠(yuǎn)處竹子C的距離BC為3尺，則折斷后的竹子AC＝尺．（注：1丈＝10尺．）34．（2022秋?江陰市期中）如圖1，蕩秋千是中國(guó)古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運(yùn)動(dòng)．有一天，小明在公園里游玩，如圖2，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送6m（水平距離BC＝6m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長(zhǎng)度？35．（2022秋?錫山區(qū)期中）新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識(shí)，很多地方的宣講車開起來(lái)了，大喇叭響起來(lái)了，宣傳橫幅掛起來(lái)了，電子屏亮起來(lái)了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標(biāo)語(yǔ)、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅(jiān)定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．（1）請(qǐng)問村莊A能否聽到宣傳？請(qǐng)說明理由；（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽到多長(zhǎng)時(shí)間的宣傳？一．選擇題（共7小題，滿分21分，每小題3分）1．（3分）如圖所示的2×4的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)三角形，則點(diǎn)A到BC的距離等于（）A． B．2 C． D．2．（3分）下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．6，7，8 B．1，，5 C．6，8，10 D．，2，3．（3分）若三角形三條邊的長(zhǎng)分別是7，24，25，則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角是（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．（3分）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．4，5，65．（3分）下列各組數(shù)中，可以構(gòu)成勾股數(shù)的是（）A．13，16，19 B．5，13，15 C．18，24，30 D．12，20，376．（3分）邊長(zhǎng)為a的正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為（）A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．2a D．a(chǎn)7．（3分）我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成，若a＝3，b＝4，則該矩形的面積為（）A．20 B．24 C． D．二．填空題（共9小題，滿分27分，每小題3分）8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝2，BC＝，∠ABD+∠BDC＝60°，則四邊形ABCD的面積是．9．（3分）若△ABC的三邊長(zhǎng)分別是1、、，則最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)為．10．（3分）有一組勾股數(shù)，最大的一個(gè)是37，最小的一個(gè)是12，則另一個(gè)是．11．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，則AD的長(zhǎng)度為．12．（3分）若三角形的兩邊長(zhǎng)為6和8，要使其成為直角三角形，則第三邊的長(zhǎng)為．13．（3分）附加題：觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：