第1頁/共1頁2024北京牛欄山一中高一（上）期中數學一、單選題（每小題4分，共40分）1.若集合，，則（）A. B. C. D.2.如果，那么下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.3.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，4.下列函數中，既是其定義域上的單調函數，又是奇函數的是（）A. B. C. D.5.已知，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.7.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.8.已知，則下列不等式一定成立的是（）.A. B. C. D.9.已知函數在定義域上是單調函數，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.10.對于函數，若，則稱x為的“不動點”，若，則稱x為的“穩(wěn)定點”，記，，則下列說法錯誤的是（）A.對于函數，有成立B.若是二次函數，且A是空集，則B為空集C.對于函數，有成立D.對于函數，存在，使得成立二、填空題（每小題5分，共25分）11.函數的定義域為_____________.12.函數的值域為_____.13.已知，則__________．14.函數（且）的圖象必過定點的坐標是______.15.設函數.給出下列四個結論：①函數的值域是；②，有；③，使得；④若互不相等的實數滿足，則的取值范圍是.其中所有正確結論的序號是_________.三、解答題（共85分）16.已知集合，集合，集合.（1）求；（2）若，求的取值范圍.17.某公司計劃投資A，B兩種金融產品，根據市場調查與預測，A產品的利潤與投資金額x的函數關系為，B產品的利潤與投資金額x的函數關系為（注：利潤與投資金額單位：萬元）．現在該公司有100萬元資金，并全部投入A，B兩種產品中且均有投，其中x萬元資金投入A產品．（1）請把A，B兩種產品利潤總和y表示為x的函數，并直接寫出定義域；（2）在（1）的條件下，當x取何值時才能使公司獲得最大利潤？18.已知函數是定義在R上的奇函數，且當時，.（1）已知函數的部分圖象如圖所示，請根據條件將圖象補充完整，并寫出函數的解析式和單調遞減區(qū)間；（2）若關于的方程有個不相等的實數根，求實數的取值范圍．（只需寫出結論）（3）寫出解不等式的解集．19.已知（1）若當時，恒成立，求實數的取值范圍；（2）求關于的不等式的解集.20.已知函數是定義域為的奇函數.（1）求函數的解析式；（2）用定義證明在定義域上是增函數；（3）求不等式的解集.21.已知集合（1）分別判斷、、是否屬于集合；（2）寫出所有滿足集合的不超過的正偶數；（3）已知集合，證明：“”是“”的充分不必要條件.

參考答案一、單選題（每小題4分，共40分）1.【答案】A【分析】根據并集運算直接求得結果.【詳解】因為，所以.故選：A.2.【答案】D【分析】特殊值判斷A、B、C；由不等式性質判斷D.【詳解】若時，，，，即A、B、C錯；由，則恒成立，D對.故選：D3.【答案】C【分析】通過修改量詞和否定結論，即可得到命題的否定.【詳解】修改量詞，否定結論，可得原命題的否定為：.故選：C.4.【答案】D【分析】A選項，定義法得到不為奇函數；B選項，不滿足在定義域上單調；C選項，為非奇非偶函數；D選項，滿足在定義域上為單調函數，又是奇函數，D正確.【詳解】A選項，定義域為R，且，故不是奇函數，A錯誤；B選項，的定義域為，而在上單調遞減，故不在定義域上單調，B錯誤；C選項，的定義域為，不關于原點對稱，故為非奇非偶函數，C錯誤；D選項，的定義域為R，且，故為奇函數，且當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞增，又，故在定義域上單調遞增，為單調函數，D正確.故選：D5.【答案】B【分析】根據集合的包含關系判斷可得出結論.【詳解】因為，因此，是的必要不充分條件.故選：B.6.【答案】C【分析】將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為，，且，則，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故選：C.7.【答案】A【分析】由題意首先確定函數的奇偶性，然后考查函數在特殊點的函數值排除錯誤選項即可確定函數的圖象.【詳解】由函數的解析式可得：，則函數f(x)為奇函數，其圖象關于坐標原點對稱，選項CD錯誤；當時，，選項B錯誤.故選：A.【點睛】函數圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．8.【答案】D【分析】利用不等式的性質進行推理分析即可.【詳解】由，兩邊同時除以得：，故A錯誤；由，兩邊同時乘以得：，故B錯誤；由，兩邊同時平方得：，故C錯誤；由，兩邊同時乘以得：，故D正確；故選：D.9.【答案】B【分析】根據分段函數和單調性相關知識直接求解.【詳解】因為函數在定義域上是單調函數，顯然函數在定義域上單調遞減，則，解得.故選：B10.【答案】D【分析】根據所給定義結合函數的性質一一判斷即可；【詳解】解：對于A：函數，，故A正確.對于B：若A是空集，則恒成立或恒成立.若恒成立，用代替x可得，同理可得，所以無解，即B為空集，故B正確.對于C：函數，設方程的解為，則，，即，因為函數在R上單調遞減，且，所以函數在R上單調遞增，且.又因為，所以是方程的唯一解，則，故C正確.對于D：函數，，，，故D錯誤.故選：D二、填空題（每小題5分，共25分）11.【答案】【分析】由函數有意義，列出不等式組求解即得.【詳解】函數有意義，則，解得且，所以函數的定義域為.故答案為：12.【答案】【分析】先求解出的值域，然后結合指數函數的單調性可求的值域.【詳解】令，則，因為在上單調遞減，所以，且當時，，所以的值域為，故答案為：.13.【答案】【分析】在等式中，令可得的值.【詳解】在等式中，令，可得.故答案為：.14.【答案】【分析】令，計算出對應的，則定點坐標可知.【詳解】令，則，所以，所以圖象所過定點坐標為.故答案為：.15.【答案】①③④【分析】對于①，利用二次函數與反比例函數的圖像性質畫出函數圖1，結合圖像即可判斷；對于②，舉反例排除即可；對于③，將問題轉化為與有交點，作出圖2即可判斷；對于④，結合圖1對進行分析即可.【詳解】對于①，因為，所以由二次函數與反比例函數的圖像性質可畫出函數圖象，如圖1，由的圖像易知的值域是，故①正確；對于②，易得，，顯然在上并不單調遞增，所以②說法不成立，故②錯誤；對于③，假設存在，，則，即，即與有交點，作出圖像，如圖2，顯然假設成立，故③正確；對于④，由圖1易知，則，因為，所以，即，解得，所以，即的取值范圍是，故④正確；綜上：①③④正確.故答案為：①③④.三、解答題（共85分）16.【答案】（1）（2）或【分析】（1）先求解出一元二次不等式的解集為集合，再根據補集運算求解出，最后根據交集運算可求；（2）先根據條件分析出，然后討論和兩種情況，列出對應不等式組，求解出結果.【小問1詳解】因為，解得或，所以或x>5，所以，因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，當時，成立，此時，即；當時，若，則需，解得，綜上所述，的取值范圍是或.17.【答案】（1）（2）時，利潤最大.【分析】（1）A，B對于投資金額下的利潤求和得到總利潤的函數關系式即可；（2）結合函數式特點利用均值不等式求函數最值.【小問1詳解】由題意，萬元投入A產品，則萬元投入B產品，則，.【小問2詳解】由（1）得，，當且僅當，即時等號成立，所以當時，公司利潤最大.18.【答案】（1）答案見解析（2）（3）【分析】（1）利用奇函數的性質，即可畫出函數的圖象，再根據圖象求函數的單調遞增區(qū)間；利用函數是奇函數，求函數的解析式；（2）利用數形結合，轉化為y=fx與的圖象有個交點，從而得解；（3）分，兩種情況，數形結合可得出原不等式的解集.【小問1詳解】解：因為是定義在R上的奇函數，其圖象關于原點對稱，則補充圖象如圖，結合圖象可知，函數的單調遞減區(qū)間為和1,+∞．因為當時，，所以當時，，所以，因為是定義在R上的奇函數，所以，所以當時，，故的解析式為.【小問2詳解】解：因為有個不相等的實數根，等價于y=fx與的圖象有個交點，結合（1）中y=fx的圖象可知，當時，y=fx與的圖象有個交點，所以.【小問3詳解】解：當時，可得，結合圖象可得；當時，可得，結合圖象可得.綜上所述，不等式的解集為.19.【答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）將問題轉化為“x∈2,4時，”，利用基本不等式求解出最小值，由此可求的范圍；（2）先化簡不等式，然后根據與的關系進行分類討論，由此求解出不等式的解集.【小問1詳解】因為x∈2,4時，恒成立，所以x∈2,4時，恒成立，所以x∈2,4時，即可，因為，當且僅當時取等號，所以，所以，所以的取值范圍是.【小問2詳解】，當，即時，此時不等式為和，解集為；當或時，此時，的解集為；當或時，此時，的解集為；綜上所述，時，解集為；時，解集為；時，解集為.20.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）由奇偶性的函數的定義域關于0對稱求得，由奇函數的性質求得得解析式；（2）根據單調性的定義證明；（3）由單調性的性質及定義域列不等式組求解．【小問1詳解】由題意，，，又，滿足題意．所以；【小問2詳解】設任意的且，，又，所以，所以，，所以在定義域上是增函數；【小問3詳解】由（2）得，解得．解集為．21.【答案】（1）、、都屬于集合，理由見解析（2）、、（3）證明見解析【分析】（1）根據集合中元素的特征判斷即可；（2）由集合的描述：，討論、同奇或同偶、一奇一偶，即可確定的奇偶性，進而寫出所有滿足集合的不超過的正偶數；（3）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判斷必要性不成立.【小問1詳解】解：因為，，，所以，、、都