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文檔簡介

洛

必

達

法

則高中必會系列之洛必達法則：若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與F(x)可導且F′(x)≠0；高數(shù)原概念若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與F(x)可導且F′(x)≠0；高數(shù)原概念我們把分子，分母同時趨近于0的分式結構稱為

型，比如：當x→0時，

的極限即為

型，兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．例如：則

概念補充練習2注意：1.將上面公式中的x→a，x→∞換成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必達法則也成立.1.已知函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2，當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.當x≥0時，f(x)≥0，即x(ex－1)≥ax2.當x＝0時，a∈R；記h(x)＝(x－1)ex＋1，x∈(0，＋∞)，則h′(x)＝xex>0，因此h(x)＝(x－1)ex＋1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，即當x→0時，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.綜上所述，當a≤1，x≥0時，f(x)≥0成立.2

已知函數(shù)

f(x)＝ax－a－xlnx.若當x∈(0,1)時，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.依題意，ax－a－xlnx≥0恒成立，即a(x－1)≥xlnx恒成立，令g(x)＝x－1－lnx，x∈(0,1)，∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，∴g(x)>g(1)＝0，∴φ′(x)>0，即φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.∴φ(x)>0，故a≤0，綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0].

【分析】當a<0時顯然不成立；當a≥0時，若x=0，則a∈R，若x>0，原不等式等價于，利用導數(shù)可得

在(0,+∞)上單調(diào)遞減，利用洛必達法則求x→0時的值即可.

跟蹤訓練

已知函數(shù)f(x)＝2ax3＋x.當x∈(1，＋∞)時，恒有f(x)>x3－a，求a的取值范圍.當x∈(1，＋∞)時，f(x)>x3－a恒成立，即2ax3＋x

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