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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精2.1數(shù)列知識(shí)梳理1.數(shù)列的有關(guān)概念(1)數(shù)列的定義:按一定次序排列起來(lái)的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式:如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)函數(shù)式an=f(n)來(lái)表示,那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看,數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})的函數(shù),即當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值。數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。2.數(shù)列的表示(1)數(shù)列作為一種特殊的函數(shù),也可用圖象法和列表法來(lái)表示.以項(xiàng)數(shù)n為橫坐標(biāo),相應(yīng)的項(xiàng)an為縱坐標(biāo),即以(n,an)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn),它們的圖象是相應(yīng)曲線(或直線)上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一群孤立的點(diǎn).圖象位于y軸右側(cè)。(2)解析法:用通項(xiàng)公式表示數(shù)列。(3)遞推法:如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前n項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示,那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式也是表示數(shù)列的一種重要方法.3。數(shù)列的分類(1)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù),可以把數(shù)列分為有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列.(2)根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)的大小關(guān)系可以把數(shù)列分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。知識(shí)導(dǎo)學(xué)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是高考的重點(diǎn).主要涉及兩方面的內(nèi)容:第一,數(shù)列的基本概念;第二,數(shù)列的基本運(yùn)算。由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù),所以與前面學(xué)習(xí)過(guò)的集合知識(shí)、函數(shù)知識(shí)有著密切的聯(lián)系,在學(xué)習(xí)本節(jié)前要先對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行全面復(fù)習(xí),為本節(jié)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)中要注意:由數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的某些項(xiàng),并猜出通項(xiàng)公式是高考中常出現(xiàn)的題型;數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究數(shù)列的關(guān)鍵,它體現(xiàn)了數(shù)列的本質(zhì),即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.疑難突破1。根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。剖析:通項(xiàng)公式是一個(gè)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系,可以用一個(gè)公式an=f(n)來(lái)表示,當(dāng)用確定的序號(hào)代替通項(xiàng)公式中的n,可以求出數(shù)列的各項(xiàng).數(shù)列的通項(xiàng)公式確定了,數(shù)列也就確定了.(1)對(duì)于通項(xiàng)公式,應(yīng)該注意:①不是所有的數(shù)列都能寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式,如π精確到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值構(gòu)成的數(shù)列,即3,3.1,3.14,3.141就沒(méi)有通項(xiàng)公式;②同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定是唯一的,如數(shù)列—1,1,-1,1,…的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成an=(—1)n,也可以寫(xiě)成an=—sin()π,n∈N+,等等,所以僅由前幾項(xiàng)可以歸納出無(wú)限多個(gè)“通項(xiàng)公式";③對(duì)某些數(shù)列,通項(xiàng)公式可寫(xiě)成一個(gè)式子也可用分段式表達(dá),如數(shù)列—1,1,-1,1,…的通項(xiàng)公式還可以寫(xiě)成:an=(2)求通項(xiàng)公式時(shí),要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)的變化關(guān)系,在所給數(shù)列的前幾項(xiàng)中,看看哪些部分是變化的,哪些是不變的,再探索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)間的關(guān)系,由此歸納出構(gòu)成的規(guī)律,寫(xiě)出通項(xiàng)公式.那么在給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)時(shí),主要從哪幾個(gè)方面來(lái)考慮呢?①有時(shí)將數(shù)列的各項(xiàng)結(jié)構(gòu)形式加以變形,將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個(gè)基本數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的“和”“差”“積”“商"后再進(jìn)行分析歸納.這就要求我們熟練掌握一些基本數(shù)列,如{}、{n2}、{2n±1}、{(—1)n}等。②負(fù)號(hào)用(—1)n或(—1)n+1來(lái)調(diào)節(jié),如-1,2,-3,4,—5,…的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)為an=(—1)nn。③分式形式的數(shù)列,分子找通項(xiàng),分母找通項(xiàng),要充分借助于分子、分母的關(guān)系,如1,,,,,…,可以寫(xiě)為,,,,,…,所以通項(xiàng)公式為an=.④此類問(wèn)題沒(méi)有固定模式,主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知的數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列)等方法找出規(guī)律。⑤對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式,有時(shí)要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法來(lái)解決,這些都將在以后的學(xué)習(xí)中陸續(xù)接觸到.2。遞推公式與通項(xiàng)公式,都可以用來(lái)寫(xiě)出數(shù)列中的任意項(xiàng),都是給出數(shù)列的一種方法,那么它們究竟還有什么不同?剖析:根據(jù)這兩個(gè)公式都可以寫(xiě)出數(shù)列的任意項(xiàng)。遞推公式:已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an—1(或前n項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示,那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.通項(xiàng)公式:一個(gè)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系,如果可以用一個(gè)公式an=f(n)來(lái)表示,我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.仔細(xì)體會(huì)定義它們也是有很大的不同,主要如下:通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系,而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或n項(xiàng))之間的關(guān)系。對(duì)于通
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