第01講空間向量及其運算目標導航目標導航課程標準課標解讀1．理解空間向量的概念，空間向量的共線定理、共面定理及推論.2．會進行空間向量的線性運算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關運算.1．理解空間向量的相關概念的基礎上進行與向量的加、減運算、數(shù)量積的運算、夾角的相關運算及空間距離的求解.2．利用空間向量的相關定理及推論進行空間向量共線、共面的判斷..知識精講知識精講知識點01空間向量的有關概念1．空間向量（1）定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．（2）長度或模：空間向量的大?。?）表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：，其模記為|a|或．2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－a的相反向量：相等向量相同相等a＝b【微點撥】解答空間向量有關概念問題的關鍵點及注意點（1）關鍵點：緊緊抓住向量的兩個要素，即大小和方向．（2）注意點：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點說明了共線向量不具備傳遞性．②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1．③兩個向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚炯磳W即練1】下列說法：若兩個空間向量相等，則表示它們有向線段的起點相同，終點也相同；若向量，滿足，且與同向，則；若兩個非零向量與滿足，則，為相反向量；的充要條件是A與C重合，B與D重合.其中錯誤的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【即學即練2】向量互為相反向量，已知，則下列結論正確的是（）A． B．為實數(shù)0C．與方向相同 D．知識點02空間向量的線性運算 （1）向量的加法、減法空間向量的運算加法a＋b減法a－b加法運算律①交換律：a＋b＝b＋a②結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)（2）空間向量的數(shù)乘運算①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向相反；當λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運算律a．結合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a．b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb．【微點撥】空間向量加法、減法運算的兩個技巧：（1）巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．（2）巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果．【即學即練3】若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對【即學即練4】．已知向量，且，，，則一定共線的三點是()A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D知識點03共線問題共線向量：（1）定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．（2）方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a．（3）共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb．（4）如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得＝λa．【微點撥】利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧（1）數(shù)形結合：利用數(shù)乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉(zhuǎn)化為已知向量．（2）明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質(zhì)．【即學即練5】如圖，已知平行六面體，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，記，則（）A． B．C． D．【即學即練6】設是空間兩個不共線的向量，已知，，，且A，B，D三點共線，實數(shù)k＝________．知識點04向量共面問題共面向量：（1）定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．（2）共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb．（3）空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使或?qū)臻g任意一點O，有．【微點撥】證明空間三點共線的三種思路：對于空間三點P，A，B可通過證明下列結論來證明三點共線．（1）存在實數(shù)λ，使成立．（2）對空間任一點O，有(t∈R)．（3）對空間任一點O，有(x＋y＝1)．解決向量共面的策略：（1）若已知點P在平面ABC內(nèi)，則有或，x＋y＋z＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．（2）證明三個向量共面或四點共面，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．【即學即練7】下列條件中，使點與三點一定共面的是（）A． B．C． D．知識點05空間向量數(shù)量積的運算空間向量的數(shù)量積：（1）定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0．（2）常用結論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0．②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2．③cos〈a，b〉＝．（3）數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c【微點撥】在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟：（1）首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．（2）利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積．（3）根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模．（4）代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．【即學即練8】三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則等于()A.－2 B.2 C. D.知識點06垂直問題、夾角問題、距離問題當時，．夾角公式：，向量的模：【微點撥】用向量法證明垂直關系的步驟（1）把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）用已知向量表示所證向量；（3）結合數(shù)量積公式和運算律證明數(shù)量積為0；（4）將向量問題回歸到幾何問題．利用向量數(shù)量積求夾角問題的思路（1）求兩個向量的夾角有兩種方法：①結合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意向量夾角的范圍；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后確定〈a，b〉的值．（2）求兩條異面直線所成的角，步驟如下：①根據(jù)題設條件在所求的異面直線上取兩個向量(即直線的方向向量)；②將異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題；③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大?。虎墚惷嬷本€所成的角為銳角或直角，利用向量數(shù)量積求向量夾角的余弦值時應將余弦值加上絕對值，從而求出異面直線所成的角的大?。髢牲c間的距離或線段長的方法（1）將相應線段用向量表示，通過向量運算來求對應向量的模．（2）因為a·a＝|a|2，所以|a|＝，這是利用向量解決距離問題的基本公式．另外，該公式還可以推廣為|a±b|＝．（3）可用|a·e|＝|a||cosθ|(e為單位向量，θ為a，e的夾角)來求一個向量在另一個向量所在直線上的投影．【即學即練9】如圖所示，已知是所在平面外一點，，求證：在平面上的射影是的垂心．【即學即練10】如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求異面直線OA與BC的夾角的余弦值．【即學即練11】如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,將△ACD沿對角線AC折起,使AB與CD成60°角,求B,D間的距離.能力拓展能力拓展考法01【典例1】給出下列命題：①零向量沒有確定的方向；②在正方體ABCD-A1B1C1D1中，；③若向量與向量的模相等，則，的方向相同或相反；④在四邊形ABCD中，必有.其中正確命題的序號是________.考法02【典例2】如圖所示，在三棱柱中，是的中點，化簡下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．考法03【典例3】已知，，，則________．【典例4】（多選題）在四面體中，以上說法正確的有（）A．若，則可知B．若為△的重心，則C．若，，則D．若四面體各棱長都為2，分別為的中點，則考法04【典例5】如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量方法證明：（1）E，F(xiàn)，G，H四點共面;（2）BD//平面EFGH．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．在下列結論中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則向量共面；④已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數(shù)x，y，z使得．其中正確結論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知為空間任意一點，若，則四點（）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．無法判斷3．已知與不共線，則存在兩個非零常數(shù)m，n，使是，，共面的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中點，則（）A．B．C．D．5.．如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，設＝，＝，＝，則下列與向量相等的表達式是（）A．B．C．D．6．已知非零向量不平行，且，則與之間的關系是（）A．垂直B．同向共線C．反向共線D．以上都可能7．已知向量，是平面α內(nèi)兩個不相等的非零向量，非零向量在直線l上，則，且是l⊥α的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8．若向量垂直于向量和，向量，則（）A．B．C．既不平行也不垂直D．以上三種情況都可能題組B能力提升練1．(多選)設是任意的非零向量，且它們相互不共線，下列命題正確的是（）A．B．C．D．2．在平行六面體中，下列各式中運算結果為的是（）A． B．C． D．3.若是空間任意三個向量，，下列關系中，不成立的是（）A． B．C． D．4.（多選）若不共面，則（）A．共面 B．共面C．共面 D．共面5.給出下列命題：①若，則或＝－；②若向量是向量的相反向量，則；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，；④若空間向量滿足，則．其中正確命題的序號是________．6.如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.7．已知是空間單位向量，，若空間向量滿足，，則的最大值是___________.8．如圖，四面體中，、分別是線段、的中點，已知，（1）；（2）；（3）；（4）存在實數(shù)，，使得．則其中正確的結論是______