第四單元高考專(zhuān)攻三函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題2025屆1利用導(dǎo)數(shù)研究高次式、分式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、三角式及絕對(duì)值式結(jié)構(gòu)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(或方程根的個(gè)數(shù))問(wèn)題的一般思路：

(1)可轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；(2)證明有幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)，確定函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上的極值(最值)、端點(diǎn)函數(shù)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，再利用零點(diǎn)存在性定理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)·f(b)＜0.01課堂突破

01課堂突破特訓(xùn)點(diǎn)1特訓(xùn)點(diǎn)2特訓(xùn)點(diǎn)3

特訓(xùn)點(diǎn)1數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)【師生共研類(lèi)】

卡殼點(diǎn)：極限思想的應(yīng)用．當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞，根據(jù)以上信息，畫(huà)出f

(x)的大致圖象，如圖．函數(shù)g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為y＝f(x)的圖象與直線y＝a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，若能分離參數(shù)，則可將參數(shù)分離出來(lái)后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍．

…………………練能力學(xué)方法

特訓(xùn)點(diǎn)2函數(shù)性質(zhì)法研究函數(shù)的零點(diǎn)【師生共研類(lèi)】

典例4

(2023·濟(jì)寧一模)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax＋e2，若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．[解題指導(dǎo)]f

(x)求導(dǎo)→分a≤0和a＞0討論→由幾何意義得a－alna＋e2＜0→構(gòu)造函數(shù)h(a)＝a－alna＋e2→對(duì)h(a)求導(dǎo)→利用導(dǎo)數(shù)得到h(a)的單調(diào)性進(jìn)而求得a的取值范圍．解：因?yàn)閒′(x)＝ex－a，當(dāng)a≤0時(shí)，有f′(x)＞0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)無(wú)兩個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)a＞0時(shí)，若x＜lna，f′(x)＜0，則f(x)單調(diào)遞減；若x＞lna，f′(x)＞0，則f(x)單調(diào)遞增．因?yàn)楫?dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→＋∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，所以要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，此時(shí)需f(x)min＝f(lna)＜0，即a－alna＋e2＜0.不妨設(shè)h(a)＝a－alna＋e2，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，可得h′(a)＝1－lna－1＝－lna，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h′(a)＞0，h(a)單調(diào)遞增，當(dāng)a＞1時(shí)，h′(a)＜0，h(a)單調(diào)遞減，且當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h(a)＝a(1－lna)＋e2＞0，又h(e2)＝0，所以當(dāng)a＞e2時(shí)，h(a)＜0.綜上，a的取值范圍為(e2，＋∞)．

利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號(hào)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此類(lèi)問(wèn)題在求解過(guò)程中可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點(diǎn)的條件．

…………………練能力學(xué)方法

特訓(xùn)點(diǎn)3構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)【師生共研類(lèi)】

涉及函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問(wèn)題，主要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍．

…………………練能力學(xué)方法解：(1)由題可知f′(x)＝x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－2，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化如表所示：(2)令g(x)＝f′(x)＋kex－1，若y＝g(x)的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

x(－∞，－2)－2(－2，－1)－1(－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

當(dāng)x∈(－2，1)時(shí)，h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈