4.4.3不同函數(shù)增長的差異學習目標1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)(一次函數(shù))的增長差異；2.理解對數(shù)增長、直線上升、指數(shù)爆炸；3.了解函數(shù)的建模過程.新課講授在前面的學習中我們看到，一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長方式存在很大差異.事實上，這種差異正是不同類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反映.因此，如果把握了不同函數(shù)增長方式的差異，那么就可以根據(jù)現(xiàn)實問題的增長情況，選擇合適的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)律.下面就來研究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長方式的差異.

不同函數(shù)的增長差異交點、區(qū)間、圖象位置、增長速度不同函數(shù)的增長差異

不同函數(shù)的增長差異不同函數(shù)的增長差異歸納總結(jié)三種常見函數(shù)模型的增長速度比較

函數(shù)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在(0，+∞)上的增減性

圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定增長速度不變形象描述指數(shù)爆炸對數(shù)增長直線上升增長速度y=ax(a>1)的增長速度最終會大大超過

的增長速度;總存在一個x0，當x>x0時，恒有

增長結(jié)果存在一個x0，當x>x0時，有

增函數(shù)

增函數(shù)

增函數(shù)

y=kx(k>0)logax<kxax>kx>logax例1(1)下列函數(shù)中，增長速度最快的是()A.y=2021x B.y=x2021C.y=log2021x D.y=2021x(2)四個自變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表:x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907則關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是

.

Ay2歸納總結(jié)(1)線性函數(shù)模型:線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變.(2)指數(shù)函數(shù)模型:能用指數(shù)型函數(shù)f(x)=abx+c(a，b，c為常數(shù)，a>0，b>1)表達的函數(shù)模型，其增長特點是隨著自變量x的增大，函數(shù)值增長的速度越來越快，常稱之為“指數(shù)爆炸”.(3)對數(shù)函數(shù)模型:能用對數(shù)型函數(shù)f(x)=mlogax+n(m，n，a為常數(shù)，m>0，x>0，a>1)表達的函數(shù)模型，其增長的特點是開始階段增長得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數(shù)值變化得越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”.(4)冪函數(shù)模型:能用冪型函數(shù)f(x)=axα+b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠1)表達的函數(shù)模型，其增長情況由a和α的取值確定.常見的函數(shù)模型及增長特點例2

已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖，設(shè)兩個函數(shù)的圖象相交于點A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)哪一個函數(shù);(2)若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并說明理由.解:(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長速度知:C1對應(yīng)函數(shù)g(x)=x3，C2對應(yīng)函數(shù)f(x)=2x.(2)依題意知x1和x2是使兩個函數(shù)的函數(shù)值相等的自變量x的值.當x<x1時，2x>x3，即f(x)>g(x);當x1<x<x2時，f(x)<g(x);當x>x2時，f(x)>g(x).因為f(1)=2，g(1)=1，f(2)=22=4，g(2)=23=8，所以x1∈[1，2]，即a=1.又因為f(8)=28=256，g(8)=83=512，f(8)<g(8)，f(9)=29=512，g(9)=93=729，f(9)<g(9)，f(10)=210=1024，g(10)=103=1000，f(10)>g(10)，所以x2∈[9，10]，即b=9.綜上可知，a=1，b=9.練1.函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示.(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)以兩圖象的交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進行比較.解:(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1；C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當x<x1時，g(x)>f(x)；當x1<x<x2時，f(x)>g(x)；當x>x2時，g(x)>f(x)；當x＝x1或x＝x2時，f(x)＝g(x).例3

汽車制造商在2022年年初公告：公司計劃2022年的生產(chǎn)目標為43萬輛.已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如表所示：年份(年)201920202021產(chǎn)量(萬輛)81830如果我們分別將2019，2020，2021，2022定義為第一、二、三、四年.現(xiàn)在有兩個函數(shù)模型：二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)型函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪個模型能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系？解：建立年產(chǎn)量y與年份x的函數(shù)，可知函數(shù)圖象必過點(1，8)，(2，18)，(3，30).①構(gòu)造二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將點的坐標代入，則f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，與計劃誤差為1萬輛.②構(gòu)造指數(shù)型函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，與計劃誤差為1.4萬輛.由①②可得，二次函數(shù)模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系.練2.某債券市場發(fā)行三種債券，A種面值為100元，一年到期本息和為103元;B種面值為50元，半年到期本息和為51.4元;C種面值為100元，但買入價為97元，一年到期本息和為100元.作為購買者，分析這三種債券的收益，如果只能購買其中的一種債券，你認為應(yīng)購買哪種?課堂總結(jié)三種函數(shù)模型：線性函數(shù)增長模型、指數(shù)型函數(shù)增長模型、對數(shù)型函數(shù)增長模型的增長差異.當堂檢測1.某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)作了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，若要建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系，可選用(

)A.一次函數(shù) B.冪型函數(shù)C.指數(shù)型函數(shù) D.對數(shù)型函數(shù)2.函數(shù)y=x2與函數(shù)y=l