第10講拓展四：空間中距離問(wèn)題（等體積法與向量法）一、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)01：用向量法求空間距離1、點(diǎn)到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長(zhǎng)度.二、題型精講題型01利用向量法求點(diǎn)到直線的距離【典例1】（2023春·四川雅安·高二雅安中學(xué)?？计谥校┲本€的方向向量為，且l過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）已知，，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，若點(diǎn)和點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)__________.【變式1】（2023秋·天津·高二校聯(lián)考期末）已知空間內(nèi)三點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線的距離是（

）．A． B．1 C． D．【變式2】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_________．題型02點(diǎn)到平面的距離等體積法【典例1】（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直三棱柱的體積為6，的面積為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C．2 D．【典例2】（2023春·四川德陽(yáng)·高二德陽(yáng)五中校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一點(diǎn)．

(1)若平面，證明：是的中點(diǎn)．(2)線段上存在點(diǎn)，使得，求到平面的距離．【典例3】（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間幾何體中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，，，，．

(1)作出平面與平面的交線，并說(shuō)明理由；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【典例4】（2023春·陜西商洛·高二鎮(zhèn)安中學(xué)校考期中）如圖,在四棱錐中,已知棱兩兩垂直且長(zhǎng)度分別為1,1,2,,．(1)若中點(diǎn)為,證明:平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離．【變式1】（2023春·重慶·高一重慶一中?？计谥校┤鐖D所示，在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，.

(1)證明：平面：(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.【變式2】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，已知，是的中點(diǎn).(1)求直線與所成的角正切值(2)求證：平面平面，并求點(diǎn)到平面的距離.【變式3】（2023·河南·許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考二模）在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，．(1)證明：平面平面．(2)若，，求點(diǎn)到平面的距離．【變式4】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，且E為中點(diǎn)．求到平面的距離．題型03點(diǎn)到平面的距離的向量法【典例1】（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中為線段的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)求到平面的距離.【典例2】（2023春·高二單元測(cè)試）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，,，平面平面，為棱上一點(diǎn)（不與重合），平面交棱于點(diǎn).

(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【典例3】（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）在正方體中，為的中點(diǎn)，過(guò)的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，為直線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)點(diǎn)在棱上，當(dāng)時(shí)，平面，試確定動(dòng)點(diǎn)在直線上的位置，并說(shuō)明理由；(2)若為底面的中心，求點(diǎn)到平面的最大距離.【變式1】（2023春·江西宜春·高二江西省清江中學(xué)?？计谥校┰诶忾L(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)P在棱上，且．(1)求直線與平面所成的角的正弦值大??；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【變式2】（2023春·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱，點(diǎn)是半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），為弧的中點(diǎn)，.

(1)證明：；(2)若平面與平面所成的銳二面角的平面角為，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.【變式3】（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點(diǎn)，為底面的圓心，(1)求證:⊥平面;(2)求與平面所成角的正弦值;(3)在線段上是否存在點(diǎn),使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，.(1)若，求證：平面；(2)若，是棱上的一動(dòng)點(diǎn).試確定點(diǎn)的位置，使點(diǎn)到平面的距離等于.

第10講拓展四：空間中距離問(wèn)題（等體積法與向量法）一、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)01：用向量法求空間距離1、點(diǎn)到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長(zhǎng)度.二、題型精講題型01利用向量法求點(diǎn)到直線的距離【典例1】（2023春·四川雅安·高二雅安中學(xué)?？计谥校┲本€的方向向量為，且l過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，，∴，又，∴在方向上的投影，∴P到l距離.故選：C【典例2】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）已知，，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，，，可得，則向量在方向上的投影為，所以點(diǎn)A到直線的距離．故選：B.【典例3】（2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，若點(diǎn)和點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)__________.【答案】/【詳解】由題意知，點(diǎn)，，，可得，則，所以，可得，所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.【變式1】（2023秋·天津·高二校聯(lián)考期末）已知空間內(nèi)三點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線的距離是（

）．A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】空間內(nèi)三點(diǎn)，，，所以，，，，由，所以，所以點(diǎn)A到直線的距離.故選：A.【變式2】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_________．【答案】【詳解】，,，，設(shè)點(diǎn)A到直線的距離為，則.故答案為：.題型02點(diǎn)到平面的距離等體積法【典例1】（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直三棱柱的體積為6，的面積為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【詳解】由直三棱柱的體積為6，可得，設(shè)到平面的距離為，由，，，解得，即到平面的距離為.故選：B.【典例2】（2023春·四川德陽(yáng)·高二德陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一點(diǎn)．

(1)若平面，證明：是的中點(diǎn)．(2)線段上存在點(diǎn)，使得，求到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，因?yàn)锳BCD是正方形，所以O(shè)是BD的中點(diǎn)，又平面ACE，平面PBD，平面平面ACE＝EO，所以，因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，所以E是PB的中點(diǎn)．

（2）平面,平面,所以,又平面,所以平面,平面,故,因?yàn)?，即BE＝2PE，且PC＝BC＝1，則，，E到平面ABCD的距離為，到平面PCD的距離為．設(shè)E到平面PAD的距離為h．，，，，，所以．【典例3】（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間幾何體中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，，，，．

(1)作出平面與平面的交線，并說(shuō)明理由；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）如圖所示，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，

則即為平面與平面的交線.

理由如下：因?yàn)椋?，，，四點(diǎn)共面，又，則，交于點(diǎn)．由，平面，得平面；由，平面，得平面．所以是平面與平面的公共點(diǎn)，又也是平面與平面的公共點(diǎn)，所以即為平面與平面的交線.（2）連接交于點(diǎn)，

因?yàn)?，，所以，則點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的2倍．

因?yàn)?，，所以，又，，，平面，所以平?/p>

同理可證平面．所以三棱錐的體積

因?yàn)槭茄L(zhǎng)為2的等腰三角形，所以．所以，同理

又已知，故的面積．

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，解得．故點(diǎn)到平面的距離為．【典例4】（2023春·陜西商洛·高二鎮(zhèn)安中學(xué)?？计谥校┤鐖D,在四棱錐中,已知棱兩兩垂直且長(zhǎng)度分別為1,1,2,,．(1)若中點(diǎn)為,證明:平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明:取中點(diǎn)為,連接,如圖所示:分別為中點(diǎn),,且,,,,故四邊形為平行四邊形,故,不含于平面,平面,故平面;（2）連接,兩兩垂直且長(zhǎng)度分別為1,1,2,且,,,將底面拿出考慮如下:,,,,,,記到平面的距離為,則,解得:,故到平面的距離為.【變式1】（2023春·重慶·高一重慶一中?？计谥校┤鐖D所示，在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，.

(1)證明：平面：(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）四邊形為等腰梯形，，過(guò)點(diǎn)C作于E，如圖所示，

則，可知，由余弦定理知，則，所以，又，平面，，所以平面.（2）連接BD，如圖所示,

由（1）可知平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，，平面，又，，所以，在中，由，得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，則，，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.【變式2】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，已知，是的中點(diǎn).(1)求直線與所成的角正切值(2)求證：平面平面，并求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正三棱柱結(jié)構(gòu)特征可知：，平面，為等邊三角形；直線與所成角即為，平面，，在中，，即直線與所成角的正切值為（2）作，垂足為，平面平面，平面平面，平面，，平面，點(diǎn)到平面的距離即為的長(zhǎng)，由（1）知：，，，即，點(diǎn)到平面的距離為.【變式3】（2023·河南·許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考二模）在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，．(1)證明：平面平面．(2)若，，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，，過(guò)點(diǎn)C作于E，則，，，所以，則，所以．又，，BC，平面PBC，所以平面PBC，又平面ABCD，所以平面平面PBC；（2）連接BD，由（1）知平面平面PBC，因?yàn)椋矫嫫矫?，平面，所以平面BCD．又，所以，所以三棱錐的體積．在中，因?yàn)?，所以．設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為d，所以三棱錐的體積．由，得，解得．【變式4】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，且E為中點(diǎn)．求到平面的距離．【答案】．【詳解】由題意，可得長(zhǎng)方體中，，，所以．設(shè)到平面的距離為，則．在直角中，由勾股定理得，所以，所以，解得，即到平面的距離為．題型03點(diǎn)到平面的距離的向量法【典例1】（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中為線段的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)求到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槭钦襟w，所以平面，所以.又，，所以平面，平面，所以平面平面.（2）在正方體中，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，.由令，則，，即.設(shè)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為.

【典例2】（2023春·高二單元測(cè)試）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，,，平面平面，為棱上一點(diǎn)（不與重合），平面交棱于點(diǎn).

(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)闉榫匦危?，又平面，平面，所以平面，又平面平面，AD在面AEFD內(nèi)，所以.（2）取的中點(diǎn)，連，取的中點(diǎn)，連，則，因?yàn)閭?cè)面為正三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?且側(cè)面為正三角形，所以，又，所以，，，，，設(shè)，顯然，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，則，取平面的一個(gè)法向量為，則，得，解得.所以，所以，，所以點(diǎn)到平面的距離為.

【典例3】（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）在正方體中，為的中點(diǎn)，過(guò)的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，為直線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)點(diǎn)在棱上，當(dāng)時(shí)，平面，試確定動(dòng)點(diǎn)在直線上的位置，并說(shuō)明理由；(2)若為底面的中心，求點(diǎn)到平面的最大距離.【答案】(1)為的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）設(shè)平面與平面的交線為，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所?由正方體知，平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，所以，取的中點(diǎn)，連接，易知，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn).

（2）法一：以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，其中，

設(shè)平面的法向量為，則有即，不妨取，，則，所以點(diǎn)到平面的距離當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，d取到最大值為.綜上，點(diǎn)到平面的最大距離為【變式1】（2023春·江西宜春·高二江西省清江中學(xué)?？计谥校┰诶忾L(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)P在棱上，且．(1)求直線與平面所成的角的正弦值大?。?2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)(2)【詳解】（1）連接，由正方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)易知面，為垂足，所以即為所求的線面角，∵，∴，由勾股定理知，，∴．（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知，，，，，所以，，，設(shè)面的法向量為，故有，令，則，故，故點(diǎn)P到平面的距離．【變式2】（2023春·重慶·高三重慶一中校考階段練習(xí)）如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱，點(diǎn)是半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），為弧的中點(diǎn)，.

(1)證明：；(2)若平面與平面所成的銳二面角的平面角為，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連接BP，在半圓柱中，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)锽C是直徑，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以.（2）依題意可知，以線段BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，連接OP，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，則，令，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，，所以，令，則，所以，因?yàn)槠矫鍼CA與平面所成的銳二面角的平面角為，所以，令，則，平方化簡(jiǎn)得，即，又由，可解得或（舍去），所以，所以平面PCA的一個(gè)法向量，且，所以點(diǎn)D到平面PCA的距離.【變式3】（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點(diǎn)，為底面的圓心，其母線長(zhǎng)為6，邊長(zhǎng)為的等邊內(nèi)接于圓錐底面，且.

(1)證明：平面平面；(2)若為中點(diǎn)，射線與底面圓周交于點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)闉閳A錐的頂點(diǎn)，為底面的圓心，所以面.又因?yàn)槊?，所以，?因?yàn)闉橥饨訄A圓心，且為正三角形，所以.又因?yàn)榍?，面，所以面，因?yàn)槊?，所以面?（2）作交于，取中點(diǎn)為.因?yàn)?，，所?因?yàn)槊?，，面，所以?如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，所以，，所以，，，?由，得，，，，.設(shè)面的法向量為，則，取，則，，所以.設(shè)面的法向量為，則,取，則，，所以.由，且，解得，所以，.又因?yàn)?，所以，所以到面的距離.

題型04點(diǎn)到平面的距離的探索性問(wèn)題【典例1】（2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱錐的底面是以為底邊的等腰直角三角形，且，各側(cè)棱長(zhǎng)均為3.(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，線段上是否存在一點(diǎn)，使得到平面的距離與到直線的距離之比為？