專題15反比例函數(shù)

一、反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)

【高頻考點精講】

1.反比例函數(shù)y=A（kWO,k為常數(shù)）的圖象是雙曲線，兩個分支無限接近x軸、y軸，但是與坐標(biāo)軸沒有交點。

X

yk>0yk<0

VJ

一,-2-1|;----,11234

―~~o\~~1234r^4-3-2-i0~~~~

2.反比例函數(shù)的性質(zhì)

（1）增減性

當(dāng)上>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，y隨x的增大而減小。

當(dāng)左<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，y隨x的增大而增大。

（2）軸對稱性

當(dāng)％>0時，雙曲線的兩支關(guān)于直線y=—x對稱。

當(dāng)上<0時，雙曲線的兩支關(guān)于直線y=x對稱。

（3）中心對稱性

雙曲線的兩個分支關(guān)于原點成中心對稱。

【熱點題型精練】

*的圖象為（）

1.（2022?賀州中考）已知一次函數(shù)y=Ax+b的圖象如圖所示，貝!Iy=-履+b上5y=

》［/y=kx-hb

事

.^UC.4

BD.\!

2.（2022?襄陽中考）二次函數(shù)y=a7+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=二bx+c和反比例函數(shù)尸三在同一平面

直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（)

3.（2022?上海中考）已知反比例函數(shù)y=5"W0）,且在各自象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則下列點可能在這個

函數(shù)圖象上的為（）

A.（2,3）B.（-2,3）C.（3,0）D.（-3,0）

4.（2022?荊門中考）如圖，點A,C為函數(shù)y=3（x<0）圖象上的兩點，過A,C分別作A3,無軸，CZ）心軸,

3

垂足分別為B,D,連接AC,03線段0C交AB于點E,且點E恰好為0C的中點.當(dāng)△AEC的面積為一時,

4

上的值為（）

5.（2022?成都中考）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，若反比例函數(shù)y=變的圖象位于第二、四象限，則4的取值范圍

是.

6.（2022?濟寧中考）如圖，A是雙曲線y=號（尤>0）上的一點，點C是。4的中點，過點C作y軸的垂線，垂足

為。，交雙曲線于點B,則△43。的面積是.

二、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征及系數(shù)k的幾何意義

【高頻考點精講】

1.圖象上點的坐標(biāo)特征

（1）圖象上的點（x,y）的橫、縱坐標(biāo)之積是定值上即孫=上。

（2）雙曲線的兩個分支關(guān)于原點對稱，兩個分支上的點也關(guān)于原點對稱。

2.比例系數(shù)上的幾何意義

（1）在反比例函數(shù)圖象上任取一點，過此點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積是可。

（2）在反比例函數(shù)圖象上任取一點，過此點向坐標(biāo)軸作垂線，此點和垂足以及坐標(biāo)原點構(gòu)成的三角形面積是工Wo

211

1>,

7.（2022?貴陽中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有P,Q,M,N四個點，其中恰有三點在反比例函數(shù)y=（（左>0）

的圖象上.根據(jù)圖中四點的位置，判斷這四個點中不在函數(shù)y=［的圖象上的點是（）

P

N

-----------------A

0x

A.點尸B.點QC.點MD.點N

8.（2022?長春中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P在反比例函數(shù)y=［（女>0,x>0）的圖象上，其縱坐標(biāo)為

2,過點P作軸，交x軸于點。，將線段QP繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段QM.若點M也在該反比

例函數(shù)的圖象上，則人的值為（)

A.—B.V3C.2V3D.4

2

9.（2022?日照中考）如圖，矩形0ABe與反比例函數(shù)戶=勺（依是非零常數(shù)，尤>0）的圖象交于點M,N,與反

比例函數(shù)”=§（七是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點8,連接OM,ON.若四邊形。的面積為3,則匕

-k2=（）

10.（2022?宿遷中考）如圖，點A在反比例函數(shù)y=|（x>0）的圖象上，以為一邊作等腰直角三角形。48,其

中/OAB=90°,AO=AB,則線段08長的最小值是（）

11.⑵22?郴州中考）如圖，在函數(shù)>=［（尤>0）的圖象上任取一點A,過點A作y軸的垂線交函數(shù)y=T（x<0）

的圖象于點8,連接。4,OB,則△A08的面積是（）

A.3B.5C.6D.10

12.（2022?深圳中考）如圖，己知直角三角形A3。中，49=1,將△A3。繞。點旋轉(zhuǎn)至△AE。的位置，且A在

一”

OB中點，月在反比例函數(shù)產(chǎn)卷上，則k的值

13.（2022?威海中考）正方形ABC￡）在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為（2,0）,點B的坐標(biāo)為

（0,4）.若反比例函數(shù)y=［（左W0）的圖象經(jīng)過點C,則左的值為.

14.（2022?株洲中考）如圖所示，矩形A8CD頂點A、。在y軸上，頂點C在第一象限，x軸為該矩形的一條對稱

軸，且矩形A3。的面積為6.若反比例函數(shù)y=］的圖象經(jīng)過點C,貝隈的值為.

lkL___

15.（2022?包頭中考）如圖，反比例函數(shù)y=~（左>0）在第一象限的圖象上有A（1,6）,B（3,b）兩點，直線

AB與x軸相交于點C,D是線段。4上一點.若AD-BC=AB-DO,連接CD,記△ADC,ADOC的面積分別為

16.（2022?煙臺中考）如圖，A,B是雙曲線產(chǎn)微（x>0）上的兩點，連接。4,OB.過點A作ACLx軸于點C,

交于點。.若。為AC的中點，△A。。的面積為3,點8的坐標(biāo)為（〃32）,則機的值為

17.（2022?玉林中考）如圖，點A在雙曲線尸/1>0,尤>0）上，點B在直線/：y^im-2b（根>0,b>0）上,

A與8關(guān)于無軸對稱，直線/與y軸交于點C,當(dāng)四邊形AOCB是菱形時，有以下結(jié)論：

①A（6,V3ft）；②當(dāng)b=2時，Z:=4V3；

Jo

@m=-y；@S四邊形AOCB=2/?2

則所有正確結(jié)論的序號是.

18.（2022?金華中考）如圖，點A在第一象限內(nèi)，軸于點8,反比例函數(shù)>=1（4#0,x>0）的圖象分別交

AO,A8于點C,D.已知點C的坐標(biāo)為（2,2）,BD=1.

（1）求左的值及點D的坐標(biāo).

（2）已知點尸在該反比例函數(shù)圖象上，且在△AB。的內(nèi)部（包括邊界），直接寫出點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍.

三、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

【高頻考點精講】

1.反比例函數(shù)y=k與一次函數(shù)y=Ex+b交點坐標(biāo)的求解方法

X

把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解，則兩者有交點；若方程組無解，則兩者無交點。

2.反比例函數(shù)y=k與一次函數(shù)y=+b在同一直角坐標(biāo)系中交點個數(shù)的判斷方法

X

（1）當(dāng)左1與比同號時，兩個函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中有2個交點。

（2）當(dāng)h與后異號時，兩個函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中可能有0、1或2個交點。

【熱點題型精練】

19.（2022?東營中考）如圖，一次函數(shù)yi=Gix+6與反比例函數(shù)的圖象相交于A,8兩點，點A的橫坐標(biāo)為2,

點B的橫坐標(biāo)為-1,則不等式kix+bV與的解集是（）

A.-l<x<0或x>2B.%<-1或0<x<2

C.%<-1或無>2D.-l<x<2

20.（2022?無錫中考）一次函數(shù)y=wu+”的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A、B,其中點A、8的坐標(biāo)為A

1

（—賓，-2加、B（m,1）,則△。48的面積是（）

13715

A.3B.—C.一D.—

424

21.（2022?懷化中考）如圖，直線交x軸于點C,交反比例函數(shù)y=?（〃>1）的圖象于A、5兩點，過點8

作8。，了軸，垂足為點。，若SABCD=5,則〃的值為（）

A.8B.9C.10D.11

22.（2022?隨州中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+l與x軸，y軸分別交于點A,B,與反比例函數(shù)尸1的

圖象在第一象限交于點C,若AB=3C,則左的值為.

23.（2022?內(nèi)江中考）如圖，已知一次函數(shù)>=履+6的圖象經(jīng)過點尸（2,3）,與反比例函數(shù)y=（的圖象在第一象

限交于點。6"，"）.若一次函數(shù)y的值隨x值的增大而增大，則根的取值范圍是.

24.（2022?巴中中考）將雙曲線y=”向右平移2個單位，再向下平移1個單位，得到的新雙曲線與直線>=左（尤-

2）-1（k>0,i=l,2,3,1011）相交于2022個點，則這2022個點的橫坐標(biāo)之和為.

25.（2022?綿陽中考）如圖，一次函數(shù)尸依x+6與反比例函數(shù)尸?在第一象限交于M（2,8）、N兩點，乂4垂直

x軸于點A,O為坐標(biāo)原點，四邊形O4W的面積為38.

（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式；

（2）點P是反比例函數(shù)第三象限內(nèi)的圖象上一動點，請簡要描述使△PMN的面積最小時點尸的位置（不需證

明），并求出點尸的坐標(biāo)和面積的最小值.

26.（2022?樂山中考）如圖，已知直線/：>=尤+4與反比例函數(shù)（x<0）的圖象交于點A（-bn）,直線/'

經(jīng)過點A,且與/關(guān)于直線x=-1對稱.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求圖中陰影部分的面積.

四、反比例函數(shù)的應(yīng)用

【高頻考點精講】

1.利用反比例函數(shù)解決實際問題

（1）把實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。

（2）注意自變量和函數(shù)值的實際意義。

2.跨學(xué)科的反比例函數(shù)應(yīng)用題

熟練掌握物理或化學(xué)中的一些具有反比例函數(shù)關(guān)系的公式。

3.反比例函數(shù)中的圖表信息題

正確認識圖象，找到關(guān)鍵點，運用數(shù)形結(jié)合。

【熱點題型精練】

27.（2022?麗水中考）已知電燈電路兩端的電壓U為220匕通過燈泡的電流強度/（A