PAGE其次課時排列的綜合應用內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.進一步加深對排列概念的理解.2.駕馭幾種有限制條件的排列，能應用排列數(shù)公式解決簡潔的實際問題.利用數(shù)字抽象加強數(shù)學建模授課提示：對應學生用書第8頁[基礎相識]學問點一排列數(shù)公式學問梳理Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝eq\f(n！,n－m！).Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的階乘)．另外，我們規(guī)定0！＝1.學問點二排列應用問題學問梳理求排列應用題時，正確地理解題意是最關鍵的一步，要擅長把題目中的文字語言翻譯成排列的相關術語．正確運用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是非常重要的．分類時，要留意各類之間不重復、不遺漏．分步時，要留意依次做完各個步驟后，事情才能完成．假如不符合條件的狀況較少時，也可以采納解除法．解簡潔的排列應用問題首先必需仔細分析題意，看能否把問題歸結(jié)為排列問題，即是否有依次，假如是，再進一步分析這里n個不同的元素指的是什么，以及從n個不同的元素中任取m個元素的每一種排列對應的是什么事．[自我檢測]1．已知Aeq\o\al(2,n)＝132，則n等于()A．11 B．12C．13 D．14解析：Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1)＝132，解得，n＝12或－11(舍去)．答案：B2．北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應當有________種機票．解析：符合題意的機票種類有：北京廣州，北京南京，北京天津，廣州南京，廣州天津，廣州北京，南京天津，南京北京，南京廣州，天津北京，天津廣州，天津南京，共12種．答案：12授課提示：對應學生用書第9頁探究一無限制條件的排列問題[閱讀教材P18例3](1)從5本不同的書中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)從5種不同的書中買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？題型：無限制條件的排列問題方法步驟：(1)一種送法就是三本書的一個排列，故有Aeq\o\al(3,5)＝60種不同的送法．(2)從5種書中買3本送給3名同學，應分三步完成，共有5×5×5＝125種．[例1](1)有5個不同的科研小課題，從中選3個由高二(6)班的3個學習愛好小組進行探討，每組一個課題，共有多少種不同的支配方法？(2)12名選手參與校內(nèi)歌手大獎賽，競賽設一等獎、二等獎、三等獎各一名，每人最多獲得一種獎項，共有多少種不同的獲獎狀況？[解析](1)從5個不同的科研小課題中選出3個，由3個學習愛好小組進行探討，對應于從5個不同元素中取出3個元素的一個排列．因此不同的支配方法有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60(種)．(2)從12名選手中選出3名獲獎并支配獎次，共有Aeq\o\al(3,12)＝12×11×10＝1320種不同的獲獎狀況．方法技巧典型的排列問題，用排列數(shù)計算其排列方法數(shù)；若不是排列問題，需用計數(shù)原理求其方法種數(shù)．排列的概念很清晰，要從“n個不同的元素中取出m個元素”．即在排列問題中元素不能重復選取，而在用分步乘法計數(shù)原理解決的問題中，元素可以重復選取．跟蹤探究1.從1,2,3,4這四個數(shù)字中任選三個數(shù)字，共能排成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)．解析：從1,2,3,4這四個數(shù)字中任選三個數(shù)字，排成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，就是從這四個元素中任取三個式子的排列，所以共有Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)．探究二有限制條件的排列問題1．數(shù)字排列問題[閱讀教材P19例4]用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？題型：數(shù)字排列問題方法步驟：(1)特殊元素優(yōu)先法，分含0的三位數(shù)和不含0的三位數(shù)．含0的三位數(shù)共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,9)＝144，不含0的三位數(shù)共有Aeq\o\al(3,9)＝504，共有144＋504＝648.(2)特殊位置優(yōu)先法，分兩步：第一步，填百位有Aeq\o\al(1,9)種，其次步，填個位和十位有Aeq\o\al(2,9)種．共有Aeq\o\al(1,9)·Aeq\o\al(2,9)＝648.(3)間接法，Aeq\o\al(3,10)－Aeq\o\al(2,9)＝648.Aeq\o\al(2,9)表示0在百位的三位數(shù)．[例2]用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字：(1)能組成多少個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)？(2)能組成多少個無重復數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？(3)能組成多少個比1325大的四位數(shù)？[解析](1)符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：第一類：當0在個位時，有Aeq\o\al(3,5)個；其次類：當2在個位時，千位從1,3,4,5中選定1個(Aeq\o\al(1,4)種)，十位和百位從余下的數(shù)字中選(有Aeq\o\al(2,4)種)，于是有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)個；第三類：當4在個位時，與其次類同理，也有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)個．由分類計數(shù)原理知，符合題意的四位偶數(shù)共有Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝156(個)．(2)是5的倍數(shù)的五位數(shù)可分為兩類：個位數(shù)字是0的五位數(shù)有Aeq\o\al(4,5)個；個位數(shù)字是5的五位數(shù)有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)個．故滿意條件的五位數(shù)共有Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)＝216(個)．(3)比1325大的四位數(shù)可分為三類：第一類，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)個；其次類：形如14□□，15□□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)個；第三類：形如134□，135□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)個．由分類加法計數(shù)原理知，比1325大的四位數(shù)共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)＝270(個)．方法技巧用分步排位的方法計算排列數(shù)，必需留意三個方面(1)在題設條件的限制下，依據(jù)哪些元素可取、哪些元素不行取，對每一步排位；(2)在某一步排位后，下一步排位可取元素的個數(shù)，應視詳細狀況而定；(3)若某一步必需分類，則分類后各步都必需按各類分別計算．2．排隊問題[例3]3名男生，4名女生，依據(jù)不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數(shù)：(1)選5名同學排成一行；(2)全體站成一排，其中甲只能在中間或兩端；(3)全體站成一排，其中甲、乙必需在兩端；(4)全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全體站成一排，男生、女生各站在一起；(6)全體站成一排，男生必需排在一起；(7)全體站成一排，男生不能排在一起；(8)全體站成一排，男生、女生各不相鄰；(9)全體站成一排，甲、乙中間必需有2人；(10)全體站成一排，甲必需在乙的右邊；(11)全體站成一排，甲、乙、丙三人自左向右的依次不變；(12)排成前后兩排，前排3人，后排4人．[解析](1)無限制條件的排列問題，只要從7名同學中任選5名即可，則共有N＝Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520種不同的排隊方案．(2)(干脆分步法)先考慮甲有Aeq\o\al(1,3)種方案，再考慮其余6人全排有Aeq\o\al(6,6)種方案，故共有N＝Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160種不同的排隊方案．(3)(干脆分步法)先支配甲、乙有Aeq\o\al(2,2)種方案，再支配其余5人全排有Aeq\o\al(5,5)種方案，故共有N＝Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240種不同的排隊方案．(4)(法一：干脆分類法)按甲是否在最右端分兩類．第1類，甲在最右端有N1＝Aeq\o\al(6,6)種不同的排隊方案；第2類，甲不在最右端時，甲有Aeq\o\al(1,5)個位置可選，而乙也有Aeq\o\al(1,5)個位置可選，而其余全排，有N2＝Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)種不同的排隊方案．故共有N＝N1＋N2＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720種不同的排隊方案．(法二：間接法)無限制條件的排列數(shù)共有Aeq\o\al(7,7)種，而甲或乙在左端(右端)的排法有Aeq\o\al(6,6)種，甲在左端且乙在右端的排法有Aeq\o\al(5,5)種，故共有N＝Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720種不同的排隊方案．(5)相鄰問題(捆綁法)男生必需站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法，女生必需站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，將男生、女生各視為一個元素，有Aeq\o\al(2,2)種排法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝288種不同的排隊方案．(6)(捆綁法)把全部男生視為一個元素，與4名女生組成5個元素并全排，故共有N＝Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝720種不同的排隊方案．(7)即不相鄰問題(插空法)，先排女生共有Aeq\o\al(4,4)種排法，男生在4個女生隔成的5個空當中進行排列，有Aeq\o\al(3,5)種排法，故共有N＝Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440種不同的排隊方案．(8)對比(7)讓女生插空，共有N＝Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144種不同的排隊方案．(9)(捆綁法)任取2人與甲、乙組成一個整體，與余下3人全排，故共有N＝Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝960種不同的排隊方案．(10)甲與乙之間的左右關系各占一半，故N＝eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520種不同的排隊方案．(11)甲、乙、丙自左向右的依次保持不變，即為全部甲、乙、丙排列的eq\f(1,A\o\al(3,3))，故共有N＝eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840種不同的排隊方案．(12)干脆分步完成，共有Aeq\o\al(3,7)Aeq\o\al(4,4)＝5040種不同的排隊方案．方法技巧1.處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應遵循“先整體，后局部”的原則．元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個元素內(nèi)部全排列．元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“一般”元素全排列，然后在“一般”元素之間及兩端插入不相鄰元素．2．“在”與“不在”排列問題解題原則及方法(1)原則：解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時，可以從元素入手也可以從位置入手，原則是誰特殊誰優(yōu)先．(2)方法：從元素入手時，先給特殊元素支配位置，再把其他元素支配在其他位置上，從位置入手時，先支配特殊位置，再支配其他位置．提示：解題時，或從元素考慮，或從位置考慮，都要貫徹究竟．不能一會考慮元素，一會考慮位置，造成分類、分步混亂，導致解題錯誤．3．在有些排列問題中，某些元素有前后依次是確定的(不肯定相鄰)，解決這類問題的基本方法有兩種：(1)整體法，即若有m＋n個元素排成一列，其中m個元素之間的先后依次確定不變，先將這m＋n個元素排成一列，有Aeq\o\al(m＋n,m＋n)種不同的排法；然后任取一個排列，固定其他n個元素的位置不動，把這m個元素交換依次，有Aeq\o\al(m,m)種排法，其中只有一個排列是我們須要的，因此共有eq\f(A\o\al(m＋n,m＋n),A\o\al(m,m))種滿意條件的不同排法．(2)逐一插空法，即m個元素之間的先后依次確定不變，因此先排這m個元素，只有一種排法，然后把剩下的n個元素分類或分步插入由以上m個元素形成的空隙中．跟蹤探究2.用1,2,3,4,5,6,7這7個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)．(1)假如組成的四位數(shù)必需是偶數(shù)，那么這樣的四位數(shù)有多少個？(2)假如組成的四位數(shù)必需大于6500，那么這樣的四位數(shù)有多少個？解析：(1)第一步排個位上的數(shù)，因為組成的四位數(shù)必需是偶數(shù)，個位數(shù)字只能是2,4,6之一，所以有Aeq\o\al(1,3)種排法；其次步排千、百、十這三個數(shù)位上的數(shù)字，有Aeq\o\al(3,6)種排法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，符合條件的四位數(shù)的個數(shù)是Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,6)＝3×6×5×4＝360.故這樣的四位數(shù)有360個．(2)因為組成的四位數(shù)要大于6500，所以千位上的數(shù)字只能取7或6.排法可以分兩類．第一類：千位上排7，有Aeq\o\al(3,6)種不同的排法；其次類：若千位上排6，則百位上可排7或5，十位和個位可以從余下的數(shù)字中取2個來排，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,5)種不同的排法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，符合條件的四位數(shù)的個數(shù)是Aeq\o\al(3,6)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,5)＝160.故這樣的四位數(shù)有160個．授課提示：對應學生用書第10頁[課后小結(jié)]求解排列問題的主要方法：干脆法把符合條件的排列數(shù)干脆列式計算優(yōu)先法優(yōu)先支配特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時留意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法[素養(yǎng)培優(yōu)]多種方法解決排列問題有4名男生、5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間，也不在兩端；(2)甲、乙兩人必需排在兩端；(3)男女相間．審題視點：這是一個排列問題，一般狀況