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文檔簡介

高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法

一、可降階的一些方程類型

n階微分方程的一般形式:

1不顯含未知函數(shù)x,或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到k-1(k>1)階導(dǎo)數(shù)的方程是若能求得(4.58)的通解對上式經(jīng)過k次積分,即可得(4.57)的通解即

解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:對上式求k次積分,即得原方程的通解例1

2不顯含自變量t的方程,

一般形式:因?yàn)橛脭?shù)學(xué)歸納法易得:將這些表達(dá)式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一階

解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解例2

3已知齊線性方程的非零特解,進(jìn)行降階的非零解令則代入(4.69)得即引入新的未知函數(shù)方程變?yōu)槭且浑A線性方程,解之得因而則因此

(4.69)的通解為

解題步驟:第一步:第二步:解之得即第三步:第四步:(4.69)的通解為注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)解這里由(4.70)得例3代入(4.2)得事實(shí)上若則即因此,對(4.67)仿以上做法,二、二階線性方程的冪級數(shù)解法對二階變系數(shù)齊線性方程其求解問題,歸結(jié)為尋求它的一個(gè)非零解.下面考慮該方程及初始條件用級數(shù)表示解?定理10定理11例4解設(shè)級數(shù)為方程的解,由初始條件得:故方程的解為例5解將方程改寫為易見,它滿足定理11條件,且將(4.75)代入(4.74)中,得由(4.76)得即從而可得因此(4.77)變?yōu)槿羧t可得(4.74)的另一個(gè)特解由達(dá)朗貝爾判別法,對任x值(4.77),(4.78)收斂.因而(4.74)的通解為因

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