專題09線段上的動點問題

類型一、求線段長度問題

例1.數(shù)軸上有4,B,C三點，A,8表示的數(shù)分別為加，"（加<"）,點C在2的右側(cè)，AC-AB=2.

-1---------------1----

ABC

圖1

AEF5C-

圖2

—1----------1--------->

AB

備用圖

⑴如圖1,若多項式（"-1）犬-2針加+3工-1是關(guān)于x的二次三項式，請直接寫出相，〃的值：

⑵如圖2,在（1）的條件下，長度為1的線段E尸（E在下的左側(cè)）在/,2之間沿數(shù)軸水平滑動（不與力,

8重合），點M是EC的中點，N是3尸的中點，在E尸滑動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化，請判斷

并說明理由；

⑶若點。是/C的中點.

①直接寫出點。表示的數(shù)（用含加，〃的式子表示）；

②若/D+2AD=4,試求線段4s的長.

例2.已知在數(shù)軸上點/、B、C對應(yīng)的數(shù)分別為a、b、

ACB>ABC

圖2圖3

⑴如圖1是一個正方體的表面展開圖，已知正方體的每一個面都有一個有理數(shù)，其相對面上的兩個數(shù)互為

相反數(shù)，并且圖2中，點C為線段的中點，貝1］。=,b=

⑵如圖3,若a,b,c滿足|a+5|+2|b+4|+(c-3)~=0,

①吟,b=,c=；

②若點/、3沿數(shù)軸同時出發(fā)向右勻速運動，點A速度為2個單位長度/秒，點B速度為1個單位長度/秒.設(shè)

運動時間為f秒，運動過程中，當(dāng)/為3C的中點時，求才的值.

例3.已知：如圖1,M是定長線段N8上一定點，C、。兩點分別從M、8出發(fā)以lcm/s、3cm/s的速度沿直

線A4向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段上，。在線段3M上）

?----<----------,

11111

ACMDB

圖1

I__________i_______________________l

AMB

圖2

⑴若4B=llcm,當(dāng)點C、。運動了Is,求/C+M）的值.

⑵若點C、。運動時，總有MO=3/C,直接填空：AM=BM.

2MN

⑶在（2）的條件下，N是直線48上一點，且AN-BN=MN,求----的值.

3AB

【變式訓(xùn)練1】【新知理解】

如圖①，點M在線段上，圖中共有三條線段N3、和若其中有一條線段的長度是另外一條線

段長度的2倍，則稱點M是線段的"和諧點”.

AMBCD

圖①圖②

"圖③B

⑴線段的中點()這條線段的“和諧點"(填"是"或"不是")；

(2)【初步應(yīng)用】如圖②，若CD=12cm,點N是線段。的和諧點，則CN=()cm；

(3)【解決問題】如圖③，已知48=15cm,動點P從點/出發(fā)，以lcm/s速度沿48向點2勻速移動：點

。從點3出發(fā)，以2%/s的速度沿8/向點N勻速移動，點P、。同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，運動

停止，設(shè)移動的時間為3請直接寫出/為何值時，/、P、0三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段

的和諧點.

【變式訓(xùn)練2】已知：如圖1,M是定長線段48上一定點，C、。兩點分別從M、3出發(fā)以lcm/s、3cm/s

的速度沿直線8/向左運動，運動方向如箭頭所示(C在線段上，。在線段上)

<----<---------,

11111

ACMDB

圖1

I____________?__________________________I

AMB

圖2

(1)若4g=11cm,當(dāng)點C、。運動了Is,求/C+A?的值.

(2)若點C、。運動時，總有ML>=3/C,直接填空：AM=BM.

2MN

⑶在(2)的條件下，N是直線N8上一點，旦AN-BN=MN,求----的值.

3AB

【變式訓(xùn)練3】已知點C在線段上，/C=28C,點。、E在直線上，點。在點E的左側(cè).若/2=18,

DE=8,線段DE在線段上移動.

DCE_BACB

圖1備用圖

(1)如圖1,當(dāng)E為5c中點時，求的長；

⑵點尸(異于A,B,C點)在線段上，AF=3AD,CE+EF=3,求4D的長.

類型二、定值問題

例.如圖1,線段AB長為24個單位長度，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，

M為AP的中點，設(shè)P的運動時間為X秒.

~AMPB-

圖1

~~AMBNP-

圖2

(1)P在線段AB上運動，當(dāng)P8=24W■時，求x的值.

⑵當(dāng)P在線段AB上運動時，求(22"-液)的值.

⑶如圖2,當(dāng)P在AB延長線上運動時，N為BP的中點，MN的長度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長

度.如變化，請說明理由.

【變式訓(xùn)練1】如圖，數(shù)軸上點A,3表示的有理數(shù)分別為-6,3,點尸是射線N5上的一個動點（不與點A,

B重合），”是線段4P靠近點A的三等分點，N是線段8P靠近點B的三等分點.

AB

------???----?------->

-6013

（1）若點P表示的有理數(shù)是0,那么MN的長為；若點P表示的有理數(shù)是6,那么MN的長為

（2）點P在射線上運動（不與點A,3重合）的過程中，兒W的長是否發(fā)生改變？若不改變，請寫出

求的長的過程；若改變，請說明理由.

【變式訓(xùn)練2】如圖，點尸是定長線段上一點，C、。兩點分別從點P、B出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/

秒的速度沿直線向左運動（點C在線段4P上，點。在線段8P上）.

（1）若點C、。運動到任一時刻時，總有尸。=2/C,請說明點P在線段上的位置；

（2）在（1）的條件下，點。是直線上一點，且/。-2。=尸0,求當(dāng)?shù)闹担?/p>

（3）在（1）的條件下，若點C、。運動5秒后，恰好有此時點C停止運動，點。繼續(xù)運動

2

（點。在線段P8上），點M、N分別是C。、尸。的中點，下列結(jié)論：①的值不變；②出的值

一AB

不變.可以說明，只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值.

1111I

ACPDB

【變式訓(xùn)練3】(1)如圖1,在直線上，點尸在A、3兩點之間，點/為線段PB的中點，點N為線段4P

的中點，若AB=n,且使關(guān)于x的方程(〃-4)x=6-〃無解.

①求線段N3的長；

②線段的長與點尸在線段上的位置有關(guān)嗎？請說明理由；

(2)如圖2,點C為線段N5的中點，點P在線段C8的延長線上，試說明的值不變.

IIIII

ANPMB

圖1

，?1A

ACBP

圖2

類型三、數(shù)量關(guān)系

例.已知線段/￡點C在直線48上，D為線段的中點.

------------------------?-------------------?--------

AB

AB

(備用圖)

⑴若AB=8,/C=2,求線段CD的長.

⑵若點E是線段/C的中點，請寫出線段。￡和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

4

【變式訓(xùn)練1】如圖，已知線段延長線段9至C,使反

AB

AT

（1）請根據(jù)題意將圖形補充完整.直接寫出去=；

AB-------

（2）設(shè)45=9cm，點。從點5出發(fā)，點￡1從點4出發(fā)，分別以3cm/s,lcm/s的速度沿直線45向左運

動.

①當(dāng)點。在線段上運動，求券的值；

②在點。，￡沿直線N8向左運動的過程中，M,N分別是線段N8的中點.當(dāng)點C恰好為線段BD的

三等分點時，求的長.

【變式訓(xùn)練2】已知代數(shù)式M=（a-16）/+20/+10工+9是關(guān)于x的二次多項式，且二次項系數(shù)為6.如圖，

在數(shù)軸上有/、B、C三個點，且/、B、C三點所表示的數(shù)分別是a、b、c,已知/C=6/8.

（1）直接依次寫出a、b、c的值：,，；

（2）若動點尸、。分別從C、。兩點同時出發(fā)，向右運動，且點。不超過點/.在運動過程中，E為線段

/尸的中點，歹為線段8。的中點，若動點尸的速度為每秒2個單位長度，動點。的速度為每秒3個單位長

度，則BP'Q的值是；

（3）若動點尸、。分別從/、8兩點同時出發(fā)，都以每秒2個單位長度的速度向左運動，動點M從點C出

發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，設(shè)運動時間為/秒，若動點尸、0