第二章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)模型的基本概念1、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。

靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。

12、建立數(shù)學(xué)模型的方法

解析法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。

實(shí)驗(yàn)法23、數(shù)學(xué)模型的形式

時(shí)間域：微分方程（一階微分方程組）、差分方程、狀態(tài)方程

復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖

頻率域：頻率特性3動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有多種表達(dá)形式，可以是馬上討論的微分方程，也可以是狀態(tài)方程、傳遞函數(shù)模型。微分方程描述的系統(tǒng)模型，通過(guò)求解微分方程，可以得到系統(tǒng)隨時(shí)間變化的規(guī)律，比較直觀。但是當(dāng)微分方程階次較高時(shí)，微分方程的求解變得十分困難，不易實(shí)現(xiàn)，而采用拉氏變換就能把問(wèn)題的求解從原來(lái)的時(shí)域變換到幅頻域，把微分變成代數(shù)方程，而代數(shù)方程的求解通常是比較簡(jiǎn)單的。二、拉普拉斯變換41、定義函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換定義為：式中：s=

+j

（

，

均為實(shí)數(shù)）稱為拉普拉斯算子；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號(hào)。5f（0）極限值錯(cuò)誤！6

4、實(shí)微分定理

11、初值定理

12、終值定理7表2-3常用函數(shù)的拉氏變換s-a8原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過(guò)程三、拉普拉斯反變換9由F(s)求f(t)常用部分分式法

如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)10在控制理論中，通常：將F(s)的分母多項(xiàng)式A(s)進(jìn)行因式分解得A(s)=(s-s1)(s-s2)…(s-sn)式中，si(i=1,2,…,n)為A(s)=0的根。下面分兩種情況討論。111、

A(S)=0有n個(gè)不等根，此時(shí)F(s)可分解為：式中，Ci為待定系數(shù)

由拉氏變換表2-3查得的反變換為，然后相加得（2-16）待定系數(shù)ci可按下式求得,即（2-14）12例2-5

求的原函數(shù)f(t)

由式2-14計(jì)算，得所以

由式2-16，求得原函數(shù)

解：將F(s)分解為分式132、A(S)=0有重根設(shè)s1為r階重根，sr+1,sr+2,…,sn為單根，則F(s)可展成如下部分分式式中cr+1,cr+2,…,cn為單根部分的待定系數(shù)由式（2-14）計(jì)算。而重根部分的計(jì)算公式如下（2-17）14將諸待定系數(shù)求出后，帶入F(s)取反變換即求得原函數(shù)f(t)15例2-7求的原函數(shù)f(t)

根據(jù)式（2-17）可求得：c1=-0.75