老黃學(xué)高數(shù)第109講無窮小量階的比較f為g的高階無窮小量，或稱g為f的低階無窮小量，1、若=0，則稱當(dāng)x→x0時，記作f(x)=o(g(x))(x→x0).注：

o(g(x))=f(x)=o(g(x))，即f(x)∈定義設(shè)x→x0時，f與g均為無窮小量，2、若存在正數(shù)K和L，使得在某U0(x0)上有：K≤≤L或=c≠0，則稱f與g為當(dāng)x→x0時的同階無窮小量.當(dāng)≤L時,x∈U0(x0).記作f(x)=O(g(x))(x→x0).當(dāng)f(x)=o(g(x))(x→x0)時，也有f(x)=O(g(x))(x→x0).定義設(shè)x→x0時，f與g均為無窮小量，例證明下列兩組無窮小量是同階無窮小量.(1)當(dāng)x→0時，1-cosx與x2；(2)當(dāng)x→0時，x與x

.證：(1)∵

∴1-cosx與x2為當(dāng)x→0時的同階無窮小量.(2)∵

∴x與x為當(dāng)x→0時的同階無窮小量.記作f(x)~g(x)(x→x0).3、若=1，則稱f與g為當(dāng)x→x0時的等階無窮小量.定義設(shè)x→x0時，f與g均為無窮小量，注：不是任何兩個無窮小量階都可以進(jìn)行比較，如：當(dāng)x→0時，x和x2sin都是無窮小量，但它們的比所以不能進(jìn)行階的比較?；虍?dāng)x→0時，都不是有界量，練習(xí)1、證明下列各式：解：(1)當(dāng)|x|<1時，1<(2x-x2)/x=2-x<3，(1)2x-x2=O(x)(x→0)；(2)xsin=O()(x→0+)；∴2x-x2=O(x)(x→0).(2)∵xsin=O()(x→0+).∴練習(xí)1、證明下列各式：(4)當(dāng)n=1時，(1+x)n-(1+nx)=0；(3)-1=o(1)(x→0)；(3)得證！(4)(1+x)n=1+nx+o(x)(x→0)(n為正整數(shù))；當(dāng)n>1時，=0.∴(1+x)n=1+nx+o(x)(x→0)(n為正整數(shù)).練習(xí)1、證明下列各式：(5)x3=o(2x3+x2)(x→0)；(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)；∴2x3+x2=O(x3)(x→∞).∴o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0).(6)∵=0，(5)∵練習(xí)1、證明下列各式：(7)o(g1(x))·o(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0).∴o(g1(x))·o(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0).(7)∵=0，=練習(xí)2、設(shè)f(x)~g(x)(x→x0)，證明：證：由f(x)~g(x)

(x→x0),知