第09講拓展四：三角形中周長（定值，最值，取值范圍）問題

目錄

第一部分：基礎知識..................................................1

第二部分：高頻考點一遍過............................................2

高頻考點一：周長（邊長）定值（求周長）...........................2

高頻考點二：周長（邊長）定值（求邊的代數(shù)和）.....................3

高頻考點三：周長（邊長）最值（周長最值）.........................4

高頻考點四：周長（邊長）最值（邊的代數(shù)和最值）..................6

高頻考點五：周長（邊長）取值范圍（周長取值范圍）.................7

高頻考點六：周長（邊長）取值范圍（邊的代數(shù)和取值范圍）.........31

頻考點七：周長（邊長）取值范圍（銳角三角形中周長（邊長）取值范圍）9

第一部分：基礎知識

1、基本不等式

核心技巧：利用基本不等式疝也，在結合余弦定理求周長取值范圍；

2

2、利用正弦定理化角

核心技巧：利用正弦定理a=2HsinA,b=2RsinB,代入周長（邊長）公式，再結合輔助角公式，根據(jù)

角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.

第二部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：周長（邊長）定值（求周長）

典型例題

例題1.（2024?全國?模擬預測）在ABC中，角A,民C所對的邊分別為aeGABC的外接圓半徑為R,且

cosB=-,a-y/2b=2RcosA.

⑴求sinA的值；

，一119

⑵若JlBC的面積為t二7,求一ABC的周長.

例題2.（2024?湖南常德?三模）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,且

sin2A+sin2B+sinAsin5=sin2C?

⑴求角C;

（2）若4，b,。成等差數(shù)列，且一MC的面積為"求」1BC的周長.

4

【答案】①g2兀

(2)15

練透核心考點

1.（23-24高一下?天津靜海?階段練習）在,ABC中，角A、8、C所對的邊分別為。、b、c,已知

asinB+yfibcosA=0.

（1）求角A的大小；

（2）若°=2/，且SMC=2百，求.ABC的周長.

2.（23-24高一下?云南昆明?階段練習）在中，角ABC所對的邊分別為a,反c,且加osC+也csinA=b+c.

（1）求A；

⑵已知一/WC的面積為延，設M為8c的中點，且AM=后，求一ABC的周長.

高頻考點二：周長（邊長）定值（求邊的代數(shù)和）

典型例題

例題：1.（2024?四川成都?模擬預測）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.ABC的面

工rca2sinBsinC

積$=----------.

cosA

⑴求tanA；

（2）^sinBsinC=~~>a=2,求Z^+c?.

例題2.（23-24高三下?重慶?階段練習）在一ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,_ABC的

面積為S,且4S+g伊_/“2）=0

⑴求角B的大??；

⑵若一ABC外接圓的半徑為1,邊AC上的高為3E=1,求a+c的值.

練透核心考點

1.（2024?四川成都,模擬預測）在，ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知.ABC的面積

a2sinBsinC

s=----------------.

cosA

⑴求tanA；

（2）若cos5cosc=—^^,。=2,求Z?2+02.

2.（23-24高三上?廣東湛江?期末）在，ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,a=3也,

asinB=Z7sinA+—.

I3j

⑴求角A；

⑵作角A的平分線與5C交于點。，且AD=6，求b+c.

高頻考點三：周長（邊長）最值（周長最值）

典型例題

例題L（2024?陜西寶雞?模擬預測）一ABC中，。為8C邊的中點，AD=1.

（1）若dSC的面積為2g,且ZWC=M，求sinC的值;

（2）若A82+AC2=IO,求一ABC的周長的最大值.

例題2.(2024高三?江蘇?專題練習)如圖，ABC中，角A、B、C的對邊分別為〃、b、c.

B

(1)若3a-c=3〃cosC,求角6的余弦值大小；

(2)己知6=3、B=p若。為ABC外接圓劣弧AC上一點，求八位)。周長的最大值.

練透核心考點

1.(23-24高三下廣東?階段練習)在一ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,A=j.

(1)若C=2ZJ,證明：(sinA+sin3)(sinA—sin3)=sinBsinC；

(2)若a=2,求一43c周長的最大值.

2.(23-24高三上?江蘇鹽城?階段練習)已知ABC的內(nèi)角A8,C的對邊分別為

a,b,c,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且_ABC的面積為

(1)求C;

(2)求一ABC周長的最小值.

高頻考點四：周長(邊長)最值(邊的代數(shù)和最值)

典型例題

sinC-sinAsinB

例題(23-24高三上?安徽?階段練習)記的角A,8,C的對邊分別為a,6,c,且

1.?c-bc+a

(1)求A；

(2)若6=2/，求"的最小值.

例題2.(23-24高三上?福建福州?期中)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設

(sinB+sinC)-=sin2A+sinBsinC.

(1)求A

(2)若A。為NA4C的角平分線，且AD=1,求46+c的最小值.

練透核心考點

b

1.(23-24高三上?廣東廣州?階段練習)已知ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,且三

cosCcos8

(1)求角8的大小；

⑵若3C的中點為。且4。=若，NBAD=9,請寫出。與。的關系式，并求出a+2c的最大值.

3

2.(22-23高一下?安徽六安?期末)從條件①b—CCOSA=Q(石sinC—1卜②sin（A+5）

Me用中4任

選一個，補充在下面問題中，并加以解答.在4ABe中：內(nèi)角A,民C的對邊分別為a,b,c,,

(1)求角C的大??；

2

⑵設。為邊A2的中點，求梟CD的最大直

高頻考點五：周長(邊長)取值范圍(周長取值范圍)

典型例題

例題1.(23-24高一下?河南商丘?階段練習)設銳角三角形ABC的內(nèi)角A氏C的對邊分別為。，b,c,已

知2ccosB=a(2-/?),且C=■1.

(1)求。的值；

(2)若。為3c的延長線上一點，且=求三角形AC。周長的取值范圍.

6

例題2.(23-24高三上?河南新鄉(xiāng)?階段練習)ABC的三個內(nèi)角A,B,。所對邊的長分別為。，b9c,設向

量/?=(a+c,sin5),q=(b-a,sinC-sinA),p//q.

(1)求角C的大??；

(2)若c=2,求一ABC周長的取值范圍.

例題2.(23-24高一下?浙江寧波?階段練習)在銳角,ABC中，已知6=2百,2a-c=2bcosC.

⑴求3；

⑵求3a+2c的取值范圍.

例題3.(23-24高一上?浙江紹興?期末)在,ABC中，內(nèi)角A民C對應的邊分別為。，b,c,^2c2=a2+b2.

112

⑴證明：--+―-=;

tanAtanBtanC

(2)求:的取值范圍.

b

練透核心考點

1.(23-24高一下?上海?假期作業(yè))在ABC中，已知"=———,且cos(A-B)+cosC=l-cos2C.

asinB-sinA

(1)試確定的形狀；

(2)求牛的值.

b

2.(22-23高一下?江蘇?階段練習)在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

A/3(ocosC+ccosA)=2Z?sinB.

⑴求角8的值；

(2)若6=2百，求片+°2的取值范圍.

3.（23-24高三上?黑龍江牡丹江?階段練習）已知，ABC的內(nèi)角A,&C的對邊分別為a,b,c,且

ccosB-2acosA=bcosAcosB-asin2B-

（1）求A；

（2）若。=也，。為ABC的內(nèi)心，求303+2OC的取值范圍.

頻考點七：周長（邊長）取值范圍（銳角三角形中周長（邊長）取值范圍）

典型例題

例題1.（23-24高一下?河南洛陽?階段練習）在一ABC中，角的對邊分別為a,b,c,且

sinBa

=1.

sinA+sinC------b+c

（1）求角c的大??；

（2）若ASC為銳角三角形，且〃=4,求ABC周長的取值范圍.

例題2.（23-24高三下?黑龍江?階段練習）已知在銳角三角形AfiC中，邊a,b,c對應角A,B,C,向量

機=（2cosA,百），=^sinA-,cos2,且加與〃垂直，c=2.

⑴求角A；

（2）求〃+b的取值范圍.

例題3.(2023?四川成都一模)已知函數(shù)/(x)=26sinxcosx+2cos2%-1.在銳角ABC中，角A,B,C的

對邊分別是a,b,c,且滿足〃A)=L

(1)求A的值；

(2)若6=1,求a+c的取值范圍.

練透核心考點

1.(2023?全國?模擬預測)在銳角A5C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosB=b(l+cosA).

(1)證明：A=2B；

⑵求￡的取值范圍.

a

2.(23-24高三上?安徽?階段練習)在銳角WC中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,且4=/+慶.

(1)證明：A=2B；

(2)若c=2,求ABC的周長的取值范圍.

3.(22-23高三上?浙江麗水?期末)已知銳角ABC內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c.若

bsinB-csinC=(b-a)sinA.

(1)求C;

(2)若c=6，求a-b的范圍.

第09講拓展四：三角形中周長（定值，最值，取值范圍）問題

目錄

第一部分：基礎知識..................................................1

第二部分：高頻考點一遍過............................................2

高頻考點一：周長（邊長）定值（求周長）...........................2

高頻考點二：周長（邊長）定值（求邊的代數(shù)和）.....................3

高頻考點三：周長（邊長）最值（周長最值）.........................4

高頻考點四：周長（邊長）最值（邊的代數(shù)和最值）..................6

高頻考點五：周長（邊長）取值范圍（周長取值范圍）.................7

高頻考點六：周長（邊長）取值范圍（邊的代數(shù)和取值范圍）.........31

頻考點七：周長（邊長）取值范圍（銳角三角形中周長（邊長）取值范圍）9

第一部分：基礎知識

1、基本不等式

核心技巧：利用基本不等式J法〈巴心，在結合余弦定理求周長取值范圍；

2

2,利用正弦定理化角

核心技巧：利用正弦定理a=2HsinA,b=2RsinB,代入周長（邊長）公式，再結合輔助角公式，根據(jù)

角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.

第二部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：周長（邊長）定值（求周長）

典型例題

例題1.（2024?全國?模擬預測）在ABC中，角A,民C所對的邊分別為aeGABC的外接圓半徑為R,且

3

cosB=-,a-y/2b=2RcosA.

⑴求sinA的值；

，一119

⑵若JlBC的面積為tn，求一ABC的周長.

【答案】⑴述

10

（2）260+20

【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)輔助角公式結合已知即可得解；

（2）由（1）求出sinC,再根據(jù)正弦定理可得出4c的關系，再根據(jù)三角形的面積公式求出邊長，即可得

解.

nb

【詳解】（1）由a—后=2HcosA,結合正弦定理「=—^=2R,

sinAsinB

得sinA—&sinB=cosA,化簡得sin（A-1]=sinB,

因為A,5?0,7i）,且AB不同時為鈍角，則A-：號],

TT

所以4一；=8,

4

XcosB=1,所以sinB=3,因止匕sinA=sin（B+無]=2^；

5514）10

（2）由（1）矢口sinA=^^,cosA=cos（3+/]=一^^,

10I4）10

則sinC=sin（8+A）=sinBcosA+sinAcosB=，

由正弦定理得a:b:c=sinA:sinB:sinC=35直:40:17^2，

令a=35同化＞0）,貝1」。=40左,0=17岳，

則S^ABC=-absinC」x35后x40左x小色=—,解得k=^~,

△Me22502510

因此?ABC的周長為35忘+4。+17應=26.+20

105

例題2.（2024?湖南常德?三模）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,且

sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C?

⑴求角C;

⑵若“，b,c成等差數(shù)列，且,ABC的面積為M,求一ABC的周長.

4

【答案】⑴與2兀

（2）15

【分析】（1）先利用正弦定理角化邊得出6+〃+"=。2；再結合余弦定理得出cosC=-J即可求解.

（2先根據(jù)“，b,c成等差數(shù)列得出a+c=26；再利用三角形的面積公式得出必=15；最后結合⑴中的

a2+b2+ab=c2,求出。，b,。即可解答.

【詳解】（1）因為sin?A+sin?5+sinAsin3=sin?。，

由正弦定理==可得：a1-^-b2+ab=c2.

sinAsinBsinC

a2+b2-c2a2+b2-(a2+b2+ab)

由余弦定理可得：cosC=

2ab2ab2

又因為Ce（0,兀）,

所以C=g.

（2）由b/成等差數(shù)列可得：a+c=2b?.

因為三角形ABC的面積為身叵

43

/.iabsinC=f即aZ?=15②.

由⑴知：a1+b1+ab=c1?

由①②③解得：a=3,b=5,c=l.

「.Q+Z?+C=15,

故三角形ABC的周長為15.

練透核心考點

1.（23-24高一下?天津靜海?階段練習）在&ABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、。，已知

asin3+6bcosA=0.

⑴求角A的大小;

（2）若a=2/，且SMC=2百，求.ABC的周長.

【答案】（l）A=g

（2）2員26

【分析】（1）根據(jù)正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值求解即可；

（2）根據(jù)三角形面積公式和余弦定理求解6+c=2如，即可求解三角形的周長.

【詳解】（1）由正弦定理得sinAsinBu-5/^sinBcosA,

因為3e（0,兀），則sin3>0,所以sinA=-若cosA,所以tanA=-L，

因為Ae（O,兀），所以A=g；

（2）因為〃=2括，且5ABe=gbcsing=2』，所以慶=8,

由余弦定理可得12=/=從+<?—2Z?ccos727r=/++%。=s+32一人。，

所以（6+c）2=12+bc=20,解得b+c=2君,

因此—ASC周長為a+b+c=26+26.

2.（23-24高一下,云南昆明,階段練習）在^ABC中，角A,8,C所對的邊分別為a,b,c，且℃osC+V^csinA=b+c.

⑴求A；

（2）已知,ABC的面積為土叵，設/為8C的中點，且40=后，求.ABC的周長.

【答案】（1"三；

⑵回+痘.

【分析】（1）由正弦定理及三角恒等變換化簡即可得解；

（2）由中線的向量表示平方后化簡，由三角形面積公式可求出6+c/c,再由余弦定理求出。即可.

【詳解】（1）由題意知“ABC中，acosC+y/3csinA=b+c,

由正弦定理邊角關系得：sinAcosC4-VSsinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC

=sinAcosC+cosAsinC+sinC,

所以GsinAsinC=cosAsinC+sinC,

因。￡（0,兀），所以sinCVO,

所以6sinA-cosA=1,所以2sin[A—d）=Lsin[A—q]=5,

又Ae（O,兀），等],

0^007

所以=即4=弓.

663

(2)在ABC中，AM為中線，；.2AM=AB+AC，

.-.4|AAf|2=(AB+AC)2=|AB|2+2AB-AC+|AC|2

=|AB|2+2網(wǎng)|AC|cos/BAC+|AC|2=c2+b2+bc,

:.b~+C1+6c=88,

空,3^3

*^AABC

4234~4~

.\bc=3,b2+02=88-Z?c=85,/.b+c=J/+02+2bc=791,

jr

a2=Z?2+c2-2bccos—=(/?+c)2-3Z?c=82,

:.a;底,ABC的周長為回+庖.

高頻考點二：周長（邊長）定值（求邊的代數(shù)和）

典型例題

例題L（2024?四川成都?模擬預測）在一ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知-ABC的面

工匚csinBsinC

積5=----------------.

cosA

⑴求tanA；

（2）若sin5sinC=,a=2,求Z^+c'.

【答案】（l）tanA=/；

（2）20.

【分析】（1）由三角形的面積公式和正弦定理求解即可.

（2）由同角三角函數(shù)的基本關系求出sinAcosA,再由正弦定理求出反=4百，最后由余弦定理求解即可.

【詳解】（1）由題意可知，S」"sinC="Fin'sinC,

2cosA

由sinCwO,得bcosA=2asin_B,

由正弦定理可知，sinBcosA=2sinAsinB,

sinA1

由sinB>0,得cosA=2sinA,BPtanA=-------=—

cosA2

/—c1,.,a2sinBsinC

（或S=—besmA=-----------------

2cosA

百十力士工用r/rrt1?n.「?4SiYASill3SillC

由正弦定理可矢口：一sin5sinCsinA=--------------，

2cosA

sin八1

因為sinAsin5sinCwO，所以tanA=----=—.)

cosA2

(2)由tanA=z，可知角A為銳角，

2

sinA_1rr-

所以<cosA2，得sinA=—,cosA=?3,

sin2A+cos2A=1'5

因為sin8sinC=，

5

由正弦定理得一--=—二，所以6c=4石，

sinBsinCsin'A

由余弦定理a2=b2+c2-26ccosA,

R

22

得從+。2=a+2bccosA=4+8y/5x^-=20

例題2.(23-24高三下?重慶?階段練習)在」IBC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,_ABC的

面積為S,且4S+"\/§'伊-a--c-)=0.

(1)求角8的大??；

(2)若-ABC外接圓的半徑為1,邊AC上的高為跖=1,求a+c的值.

【答案】①三

（2）3

【分析】（1）利用三角形面積公式與余弦定理的邊角變換即可得解；

（2）利用正弦定理求得b,再利用三角形面積公式求得ac,從而利用整體法，結合余弦定理即可得解.

【詳解】（1）4S+百（/一片―。2）=。，

即4?gacsin5=6(a?+，一82)=26accosB即sinB=^3cosB，

所以tanB=y/39又0<5<兀，則3=

(2)由4BC外接圓的半徑為1,得目=三=上丁2,b=5

sinAsinCsinB

邊AC上的jWj為_B￡=1,所以一BE?b=—acsinB,

22

則工xlxg=—acx^~,所以ac=2,

222

Z?2=々2+/-2QCCOS3,/.(<7+c)2—3ac=3,BP(tz+c)2-6=3,

故a+c=3.

練透核心考點

1.（2024?四川成都,模擬預測）在，ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知.ABC的面積

a2sinBsinC

S=-----------

cosA

（1）求tanA；

（2）若cosBcosC==2,求

【答案】⑴3

⑵12

【分析】（1）由三角形面積公式、正弦定理及同角三角函數(shù)基本關系得解;

（2）根據(jù)三角恒等變換化簡后由正余弦定理求解即可.

【詳解】（1）由題意可知，S^-absmC=CrsinBsinC,

2cosA

百丁力士工用市"1.”/sin2AsinBsinC

由正弦定理可矢口：一smBsinCsinA=---------------------,

2cosA

oiti2^1

因為sinAsinBsinC^O,所以tanA=-------=—.

cosA2

（2）由tanA=g,可知角A為銳角,

sinA_1

r8sA坐

所以cosA2,得sinA=——,

sin2A+cos2A=l5

所以cos（5+。）=-cosA=-2f

275

由cos（B+C）=cosBcosC—sinBsinC=

V5得sinBsinC=^-,

5^,cosBcosC-----，

55

由正弦定理得而—=總’所以小45

22

由余弦定理〃2=Z?+C-2Z?CCOSA,

得/+/=+2bccosA=4+4A/5X-12.

2.（23-24高三上?廣東湛江?期末）在，ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,a=3五,

asinB=Z7sinA+—.

I3j

⑴求角A；

（2）作角A的平分線與3c交于點￡>,且AD=退，求6+c.

【答案】（嗚

⑵6

【分析】（]）由正弦定理邊角互化，化簡后利用正切值求角即得；

（2）充分利用三角形的角平分線將三角形面積進行分割化簡得b+c="，再運用余弦定理解方程即得.

【詳解】（1）因asin5=bsin[A+]],由正弦定理可得：sinB^sinA+^-cosA-sinAsinB=0,

即sinBcosA-sinA=0.

因Be（0,兀），故sinBwO,則有^^cosA=^sinA,即tanA=6,

22

因人￡（0,兀），故

（2）因為AD為角平分線，所以S.+SDAC=SABC，

所以』A3.A。sinNDAB+-ACADsinADAC=-AB-ACsinABAC.

222

因NBAC=巴，ZDAB=ZDAC=y,AD=^3,則由AB+立AC=,

36444

即AF+AC=AB-AC,所以b+c=cb.

又由余弦定理可得：a2^b2+c2-2bccos-=（b+4—36c,

把o=30，人+c=必分別代入化簡得：（6+C）2-3（6+C）-18=0,

解得：〃+c=6或6+c=-3（舍去），所以>+c=6.

高頻考點三：周長（邊長）最值（周長最值）

典型例題

例題1.（2024?陜西寶雞?模擬預測）..ABC中，。為8C邊的中點，AD=1.

⑴若一至。的面積為2百，且44叱==，求sinC的值;

（2）若AB^+AC?=10,求ABC的周長的最大值.

【答案】⑴也；

14

(2)4+275.

【分析】

(1)根據(jù)三角形的面積之和等于,MC的面積，求得5C,結合余弦定理求得AC,再由正弦定

理即可求得sinC；

(2)根據(jù)cos/ADB+cos/ADC=兀，結合已知條件求得8C,再利用不等式即可求得三角形ABC周長的最

大值.

【詳解】(1)設BC=a,由gsinZADCxADx(BZ)+OC)=26,即:*當、卜0=26，解得a=8；

在△ADC中，OC=4,由余弦定理得，AC2=AD2+DC2-2ADxDCxcosZADC,

即AC?=1+16-2xlx4x［一；］=21,解得村=回

ACAD1H

由正弦定理得：.即碇一再，解得sinC=當.

sinZ.ADCsinC—14

2

(2)設NA￡)C=。,6?G(O,JI),

貝/ADB中，AB2=BD2+l-2-BD-l-cos(it-0)=BD2+l+2BDcosO,

△ADC中，AC2^CD2+l-2CDlcos0^CD2+l-2BDcos0,

因為AB'+ACZ=io,BD=CD,所以BD=2,即3c=4：

由Afi2+AC2=io得(AB+AC)2W2(AB2+AC2)=2O,當且僅當AB=AC=指時取得等號；

所以AB+ACW2如，當且僅當AB=AC=括時取得等號，

即..ABC的周長的最大值為4+26.

例題2.(2024高三?江蘇?專題練習)如圖，一ABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c.

⑴若3a-c=3bcosC,求角5的余弦值大小;

(2)已知人=3、B=j,若。為_ABC外接圓劣弧AC上一點，求△ADC周長的最大值.

【答案】⑴g

(2)3+2g

【分析】(1)由正弦定理化邊為角，利用三角形內(nèi)角和定理與和角的正弦公式化簡即得；

(2)由余弦定理得到的關系式ALP+oc?=9_仞.℃,利用基本不等式求得人。+oc42遭，即

得周長的最大值.

【詳解】(1)在‘ABC中，由3“-c=3bcosC及正弦定理，得3sinA-sinC=3sin8cosC,即

3sin(B+C)-sinC=3sin5cosC,

則3(sinBcosC+cosBsinC)-sinC=3sinBcosC,整理得5111。(3以)58-1)=0,而sinCwO,即cosB=；.

27r

(2)在AADC中，/AOC=—,AC=3,,

3

27r

由余弦定理得AC2=AD-+DC2-2AD-DCcos—,即4^+=9一人。.oc,

于是(A￡>+DC)2=9+孫女9+⑷丁。，解得AD+DCV2VL當且僅當AD=￡>C=g時取等號，

所以當AD=OC=舊時，△ADC周長取得最大值3+2?.

練透核心考點

1.(23-24高三下?廣東?階段練習)在-ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,A=g.

(1)若C=2ZJ,證明：(sinA+sin3)(sinA-sinB)=sinBsinC；

(2)若a=2,求一ABC周長的最大值.

【答案】①證明見解析

(2)6

【分析】(1)利用余弦定理結合題設可得"一尸=根，再利用正弦定理邊化角，即可證明結論；

(2)由/=爐+o2一火可推出他+c)2-36c=4,利用基本不等式可推出b+c44,即可求得/由C周長的最

大值.

【詳解】⑴證明：由余弦定理知〃=廿+02-2慶期4和4=1，

得/=b2+c2—be,

又c=2b,貝!)々2一/=2/?2=6。，

結合正弦定理得sit?A-sin2B=sinBsinC,

(sinA+sinB)(sinA-sinB)=sinBsinC；

(2)由(1)矢口/=/+/—oc,又〃=2,

故〃+。2—歷=4,即伍+c)2-3Z?c=4,

6>0,c>0,所以3A+4=(6+C)2+4,

^^2|^^2——c—

{b,即b=c=2時取等號，

故a+b+c46,即ABC周長的最大值為6.

2.(23-24高三上?江蘇鹽城?階段練習)已知ABC的內(nèi)角A民C的對邊分別為

a,b,c,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且.ABC的面積為

(1)求C;

(2)求ABC周長的最小值.

【答案】(嗚

⑵3相

【分析】(1)已知條件結合余弦定理求出cosC,得角C；

(2)由一ABC的面積求出瑟=3,余弦定理得c=J/+吹-日，由基本不等式求_ABC周長的最小值.

【詳解】(1)由(a+A+c)(a+b-c)=3仍，+b2+2ab—c2=3ab,

“2右2_2i

即a1+/一$=",則cosC=--------------=—,

lab2

由。?0,兀)，得C=(

(2)SARC=LabsinC=B-ab=,得"=3,

ABC244

由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2—ab^得c=J〃2+b?-ab，

ABC周長/=〃+/?+y/a2+/?2-ab>2yfab+N2ab-ab=2g+A/3=36，

當且僅當〃=b=6時取等號，所以“IBC周長的最小值為33.

高頻考點四：周長(邊長)最值(邊的代數(shù)和最值)

典型例題

例題1.(23-24高三上?安徽?階段練習)記一ABC的角A,民C的對邊分別為a,6,c,且‘唯一‘1nA=■

73c—bc+a

⑴求A；

(2)若Z?=2G，求。+|■的最小值.

【答案】(DA=m

6

(2)3

【分析】(1)利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；

(2)先利用正弦定理求出"，c,再根據(jù)二倍角公式和商數(shù)關系結合基本不等式即可得出答案.

sinC-sinA_sinBc-a_b

【詳解】(1)因為由正弦定理得:

拒c-bc+aV3c-bc+a

^b2+c2-a2=y/3bc,

b1+C1-〃6bc_6

由余弦定理得:cosA=

2bc2bc~~2

因為Ae(O,7i),所以A=2；

6

(2)由正弦定理：a=b=c.=6sinA=26x5=石,

sinAsinBsinC'sinBsinBsinB

26sme=2氐仁一修二瓜os3+3si=,

Z?sinC

sinBsinBsinBsinB

c_^3^cosB+3sinB_3FT2+COSB

aH—I—F-x/3x

2sinB2sinB22sinB

DD不BBy

又因為sinB=2sin—cosy=---------^-,cosB=cos9--sin7—=-----------看代入得:

1+tan2—22i+tai?一

22

1-tan2—

2+-----------1

?28Bc

1+tan—tan2—F3

a+—=—+\/3?__________223+3

22)B)B-B

4tan—4tan—4tan—1-

222)

1+tan2—

2

tanO

當且僅當—即tan白=6,B=?時取等號,

44tan—23

2

所以“十3的最小值為3.

例題2.(23-24高三上?福建福州?期中)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,設

(sinB+sinC)-=sin2A+sinBsinC.

(1)求A;

(2)若A。為NBAC的角平分線，且AD=1,求劭+c的最小值.

【答案】(1)A后

(2)9

【分析】(1)首先根據(jù)正弦定理將角轉化成邊，然后再根據(jù)余弦定理求解即可;

(2)首先根據(jù)已知條件結合等面積的關系求出6+c=bc,然后再根據(jù)均值定理進行求解即可.

【詳解】(1)(sinB+sinC)2=sin2B+2sinBsinC+sin2C=sin2A+sinBsinC,

即：sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2A，

由正弦定理可得：b2^c2+bc=a2,

所以cosA=咳土。^=」，

2bc2

又因為Ae(O,萬)，所以A=莖.

TT

（2）AO為NBAC的角平分線，ZBAD=ZCAD=-.

由sABD+S=S,得LcAO-sinZBAr>+L6AD-sin/C4D=工兒sinZBAC,

1ACDabc

1/ixjzyrivzy,rix?v17D,

又AE>=1,所以b+c=bc,故！+，=1,

bc

_c4b、「￡.竺=9,

所以4。+c=（4/?+c）?5+—+——25+2,

bcbc

c4-h

當且僅當7=—，即c=2b時，4b+c的最小值為9.

bc

練透核心考點

1.(23-24高三上?廣東廣州?階段練習)已知ABC的內(nèi)角4民C的對邊分別為“，b,c,且

cosCcosB

⑴求角8的大??；

⑵若BC的中點為。且AZ)=6，ZBAD=3,請寫出。與。的關系式，并求出a+2c的最大值.

【答案】（1）8=5

（2）a=4sin（9,473

1兀

【分析】(1)利用正弦定理及兩角和得正弦公式即可求得COSB=3,結合角的范圍可知8

(2)依題意在中由正弦定理可得3O=2sine,即可得a=4sin。，利用輔助角公式可知

a+2c=46sin[+m],結合角的范圍及三角函數(shù)單調(diào)性可得a+2c的最大值為4K.

b2sinA-sinCsin5

【詳解】(1)因為汜由正弦定理得

cosCcosBcosCcosB

即可得2sinAcosB=sinBcosC+sinCeosB,

所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA,

又0<A<7i,所以sinAwO,所以cos3=,，

2