2025年安徽省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題，本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.（5分）已知集合知=國丫=值（2尤-3）},N={y|y>l},則MCN=（）

333

A.（―L2）B.（1/2）C.（1,+8）D.（2/4~°°）

2.（5分）已知Q,b是相互垂直的單位向量.若向量。4=。一dOB=2a+b,則向量04在向量上的

投影向量為（）

IT2T2T2TL2-?L

A.—a+一bB.-zra—pbC.—a+一bD.-a—pb

55555555

3.（5分）記正項(xiàng)等差數(shù)列{劭}的前〃項(xiàng)和為品，520=100,則的最大值為（）

A.9B.16C.25D.50

4.（5分）已知雙曲線C：1的一條漸近線方程為y=2x,則"尸（）

A.1B.2C.8D.16

5.（5分）己知某圓錐的側(cè)面積為企明軸截面面積為1,則該圓錐的母線與底面所成的角為（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

6.（5分）2023年的五一勞動(dòng)節(jié)是疫情后的第一個(gè)小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費(fèi)旅游.除常見的五

個(gè)旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，山東也成為備選地之一.若每個(gè)

部門從六個(gè)旅游地中選擇一個(gè)旅游地，則甲、乙、丙、丁四個(gè)部門至少有三個(gè)部門所選旅游地全不相同

的方法種數(shù)共有（）

A.1800B.1080C.720D.360

7.（5分）已知尸為拋物線/=4y上的一點(diǎn)，過尸作圓/+（y-3）2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,

則cos/APB的最小值是（）

1237

A.—B.—C.—D.一

2349

8.（5分）已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,且/（x+1）為偶函數(shù)，f（x+2）-1為奇函數(shù)，若/（I）=0,

則2"上）=（）

A.23B.24C.25D.26

二、多選題，本題共3小題，每小題6分，共18分，每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.（6分）已知復(fù)數(shù)zi,Z2,下列說法正確的是（）

A.若|zi|=|z2|,則z￡=z/

B.\Z1Z2\=\Z1\\Z2\

C.|zi-Z2|W|zi|+|z2|

D.|zi+z2|W|zi|+|z2|

（多選）10.（6分）已知函數(shù)/（x）=ln（cosx）+sin2x,則（）

A.f（x）=f（-x）

B.f（x）在（一*，一/單調(diào)遞增

C./（x）有最小值

1—ITL'Z

D.f（無）的最大值為一y-

（多選）11.（6分）數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、

對(duì)稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物.關(guān)于曲線Cx2+/=W+|v|，則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形

B.曲線C關(guān)于x軸，y軸成軸對(duì)稱圖形

C.曲線C上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過2

D.曲線C所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于n

四、填空題，本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）若（1+久）5（a+苴）展開式中/的系數(shù)為30,則a=.

13.（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，0（0,0）,A（sina,cosa）,B（cos（a+^）,sin（a+分），當(dāng)NA02="

o63

時(shí)，寫出a的一個(gè)值為.

x2y2

14.（5分）已知雙曲線9=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,Fi,若過點(diǎn)尸2的直線與雙曲

線的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，且=IBF1I=2V5.又以雙曲線的頂點(diǎn)為圓心，半徑為2e的

圓恰好經(jīng)過雙曲線虛軸的端點(diǎn)，則雙曲線的離心率為.

五、解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知函數(shù)/（久）=a?（+a）

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）求證：當(dāng)4>0時(shí)，f（X）We2a-2.

16.（15分）已知橢圓E：各苓=l（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)分別為四，無，橢圓E的離心率為之，橢圓

E上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離為1.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若過右焦點(diǎn)尸2的直線/與橢圓E交于B,C兩點(diǎn)，E的右頂點(diǎn)記為A,AB〃CH,求直線/的方程.

17.（15分）如圖，已知四棱錐S-ABC。中，AB=BC=\,ZABC=120°,AB±AD,CD_L平面SAD,

（1）證明：BG〃平面SAD；

4

（2）已知銳二面角S-AC-Q的正弦值為g,求二面角C-SA-。的余弦值.

18.（17分）樹人中學(xué)高三（1）班某次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（滿分150分）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:

參加考試人數(shù)平均成績標(biāo)準(zhǔn)差

在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為XI,X2,尤3,…，XN其平均數(shù)

記為元，方差記為sf；把第二層樣本記為yi,>2,”，…，ym,其平均數(shù)記為歹，方差記為受；把總樣本

數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為,，方差記為S2.

1

（1）證明：S?=和元也歸：+（元-2）2]+m[s：+（歹一2）2";

（2）求該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到1）；

（3）假設(shè)全年級(jí)學(xué)生的考試成績服從正態(tài)分布N（山。2）,以該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)

差分別作為U和。的估計(jì)值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例將考試成績從高分到低分依次劃

分為A,B,C,。四個(gè)等級(jí)，試確定各等級(jí)的分?jǐn)?shù)線（精確到1）.

附：P（H-OWXWn+。）=0.68,V302?17,V322?18,V352?19.

19.（17分）數(shù)列｛即｝的前“項(xiàng)m,ai,???,an（neN*）組成集合4=｛ai,ai,???,an],從集合4中任

取左（％=1,2,3,…，w）個(gè)數(shù)，其所有可能的上個(gè)數(shù)的乘積的和為九（若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為

此數(shù)本身)，例如：對(duì)于數(shù)列{2"-1},當(dāng)”=1時(shí)，Ai={l},Ti=l；"=2時(shí)，&2={1,3},乃=1+3,

72=P3；

(1)若集合A〃={1,3,5,In-1},求當(dāng)〃=3時(shí)，乃，T1,乃的值；

(2)若集合4={1,3,7,2n-1},證明：〃=%時(shí)集合4的%與〃=葉1時(shí)集合4+1的方”(為

+1

了以示區(qū)別，用力，表示)有關(guān)系式力，=(2*-1)Tm-\+Tm,其中也，在N*,2WmWk；

(3)對(duì)于(2)中集合4.定義8=八+乃+…+〃，求S”(用〃表示).

2025年安徽省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題，本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.(5分)已知集合M={x|y=/g(2x-3)},N={y\y>l},則MAN=()

333

A.(―L1)B.(LC.(1,+8)D.(|,+8)

【解答】解：???”=｛%|2%—3>0｝=（尹+oo),N={y\y>l}=(1/+oo),

故MnN=G,+00).

故選：D.

TTT—>TT—?—>

2.（5分）已知a.b是相互垂直的單位向量.若向量。4=a—b,OB—2a+bf則向量04在向量4B上的

投影向量為（)

IT2T]t2T2TL—>—>

A.一a+一匕B.一1a一可bC.—a+~bD.--pa—rb

5555

TT

【解答】解：因?yàn)閍,6是相互垂直的單位向量,

一一TT->—

所以a-/?=0/a2=b2=1.

—>—>—>_?—>

AB=OB-OA=a+2b,

所以|—陰>=

jG+2^)2。2+4。?b+4b2=V5,

TTT-TT-S—T-

又。/?AB=(a—b)(a+2b)=a2+a-b-2b2=-1,

—>—>OAABABOAABTITT1T2-

所以向量。4在向量上的投影向量為—?=---AB=--(a+2b)=--a—-b.

\AB\\AB\|4B|2555

故選：B.

3.（5分）記正項(xiàng)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為品，520=100,則〃io?mi的最大值為（）

A.9B.16C.25D.50

【解答】解：正項(xiàng)等差數(shù)列｛劭｝的前〃項(xiàng)和為S,520=100,

-20

(。10+。11)=100

a10>0，解得Qio+〃u=lO,

。11〉0

(-----------)=25,

2

則aio*an的最大值為25.

故選：C.

4.（5分）已知雙曲線C：1的一條漸近線方程為y=2x,則，片（）

A.1B.2C.8D.16

【解答】解：???曲線?！兑弧?1是雙曲線，

qTIT

Am>0,雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，

止匕時(shí)。=2,b=4m,漸近線方程為y=±焉％,

又雙曲線。號(hào)-第=1的一條漸近線方程為y=2x,

2

：?-P^=1,即m=1.

7m

故選：A.

5.（5分）已知某圓錐的側(cè)面積為迎TT,軸截面面積為1,則該圓錐的母線與底面所成的角為（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【解答】解：設(shè)圓錐的母線為/>0,底面半徑為廠>0,高為/1>0,

nrl=V2TT

|x2rxh=1-解得Q二,/

{Z2=r2+h2

設(shè)該圓錐的母線與底面所成的角為e,則0。<0<90°,

可得t（me=[=l,所以該圓錐的母線與底面所成的角為9=45°.

故選：C.

6.（5分）2023年的五一勞動(dòng)節(jié)是疫情后的第一個(gè)小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費(fèi)旅游.除常見的五

個(gè)旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，山東也成為備選地之一.若每個(gè)

部門從六個(gè)旅游地中選擇一個(gè)旅游地，則甲、乙、丙、丁四個(gè)部門至少有三個(gè)部門所選旅游地全不相同

的方法種數(shù)共有（）

A.1800B.1080C.720D.360

【解答】解：①恰有2個(gè)部門所選的旅游地相同，

第一步，先將選課相同的2個(gè)部門選出，有底=6種可能；

第二步，從6個(gè)旅游地中選出3個(gè)排序，有短=120,

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，方法有6X120=720種；

②4個(gè)部門所選的旅游地全不相同的方法有黑=360種，

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，

則甲、乙、丙、丁四個(gè)部門至少有三個(gè)部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有360+720=1080種.

故選：B.

7.（5分）已知P為拋物線/=4y上的一點(diǎn)，過尸作圓/+（y-3）2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,

則cos/APB的最小值是（）

亡2亡2y.4u.21

設(shè)P(t,—?jiǎng)t|PC|2=p+(―-3)三第一號(hào)+9=/(？-4)2+8,

當(dāng)P=4時(shí)，|PC|取得最小值2VL此時(shí)，/APB最大,cos/APB最小,

且(cosZAPS)，”加=1-2sii?/APC=l-2X(―)2=

2V24

故選：C.

8.（5分）已知函數(shù)了（無）的定義域?yàn)镽,且/（尤+1）為偶函數(shù)，f（x+2）-1為奇函數(shù)，若/（I）=0,

則2t"（k）=（）

A.23B.24C.25D.26

【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)?(x+l)為偶函數(shù)，所以/(X)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱，即有/(1+X)

=f(1-x),變形可得f(x)=f(-x+2)①.

又由/(%+2)-1為奇函數(shù)，所以/(x+2)-1=-/(-x+2)+1,變形可得/(x+2)4/(-x+2)=2

②.

由①，②得f(x)+f(x+2)=2,f(x+2)+fCx+4)=2,

故有/(%)=/(x+4),

由/(x)+f(x+2)=2,得/(0)+f(2)=2,又/(x)=f(-x+2),可得/(0)=f(2)=1,

/(1)4/(3)=2,f(2)V(4)=2,由/(I)=0,得/(3)=2,

故/(I)4/(2)+-+/(26)=6|/(1)+f(2)+f(3)4/(4)]+/(1)+f(2)=6X4+0+1=25.

故選：C.

二、多選題，本題共3小題，每小題6分，共18分，每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

(多選)9.(6分)已知復(fù)數(shù)zi,Z2,下列說法正確的是()

A.若|Z1|=|Z2|,則呼=z：

B.|Z1Z2|=|Z1||Z2|

C.Izi-Z2|W|zi|+|z2|

D.|zi+Z2|W|zi|+|z2|

【解答】解：對(duì)于A,設(shè)Z1=1+21,z2=2+i,顯然|Z1|=|Z2|,

但=-3+4iWz：=3+4i,故A錯(cuò)；

對(duì)于5,設(shè)Zl=〃+4，Z2=c+成，

貝I]ziz2=ac-bd+(ad+bc)i,

2222222222

\zrz2\=J(etc—bd)+(ad+be)=Vac+ad+bc+ddf

|zi|,21=Va2+b2-Vc2+d2=Va2c2+a2d2+b2c2+d2d2,

所以|Z1Z2|=|Z1||Z2|,故5對(duì);

->

對(duì)于CD根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)zi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量OZi，

復(fù)數(shù)Z2對(duì)應(yīng)向量0云，復(fù)數(shù)加減法對(duì)應(yīng)向量加減法，

—>—>

故⑶-Z2|和|Z1+Z2|分別為OZi和。Z2為鄰邊構(gòu)成平行四邊形的兩條對(duì)角線的長度，

所以|zi-Z2|W|zi|+|z2|,|zi+Z2|W|zi|+|z2|,故以對(duì),。對(duì).

故選：BCD.

(多選)10.(6分)已知函數(shù)/(%)=ln(cosx)+sin2x,貝()

A.f(%)=f(-x)

B.7(x)在(一9-令單調(diào)遞增

C./(x)有最小值

1—

D.f(x)的最大值為一y-

【解答】解：令cosx>0,得(2kn-冬2hr+^)(ZcZ),

故/(x)=ln(cosx)+sin2%的定義域?yàn)?2內(nèi)i—2E+1)(%EZ)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且/(-x)=/"[cos(-x)]+sin2(-x)=ln(cosx)+sin2x=/(x),故A正確；

令尸cosx(0V/W1),

則原式可轉(zhuǎn)化為/z(t)=lnt-?+l(0?),

???〃⑺=>2/=曜=(1+國)￡一&(。<0),

.,.當(dāng)0<fV考時(shí)，h'(t)>0,①

叵

又當(dāng)xe(——/)時(shí)，f=cosx單調(diào)遞增，且re(0,—),h'(r)>0,

V2

：.h(t)在(0,—)上單調(diào)遞增，

2

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，/(%)在(一*，單調(diào)遞增，B正確；

又/(x)=ln(cosx)+1-cos2x,

當(dāng)COSXf。+時(shí)，f(x)f-8,f(x)無最小值，C錯(cuò)誤；

V2_

又當(dāng)工-V/V1時(shí)，h'(/)<0,②

由①②知，當(dāng)t=噂時(shí)，h(t)取得極大值，即h(x)極大值=。(-)=ln—+-=一加2-Zn2+i=

D正確.

故選：ABD.

(多選)11.(6分)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、

對(duì)稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物.關(guān)于曲線cx2+/=W+ly|)則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形

B.曲線C關(guān)于x軸，y軸成軸對(duì)稱圖形

C.曲線C上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過2

D.曲線C所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于n

【解答】解：根據(jù)題意，將曲線C:/+/=園+|>|轉(zhuǎn)化為方程組：

\x-1)2+(y-1)2=1,(x>0,y>0)

111

(無一2)2+(y+z)2=2，(x>0.y<0)

111

(%+2)2+(y-2)2=2(久<°，y>°)

<(%+21)2+(y+1])2=21,(%VO,yVO)

x=0且y—0

%=0_Sy=±1

、y=0且x=±1

如圖，圖象由四個(gè)圓的部分圖像和原點(diǎn)組成，且四個(gè)圓都可過原點(diǎn)，

對(duì)于A,將(-x,-y)代入(-x)2+(-y)2=|-x|+|-j|,整理得f+y2=|x|+|y|,所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

故A正確；

對(duì)于8,將(7,y)代入(-x)2+y2=|-x|+|y|-整理得/+/=|x|+|y|,所以關(guān)于y軸對(duì)稱，

將(x,-j)代入/+(-y)2=kl+|-y\,整理得/+y2=|x|+|y|,所以關(guān)于x軸對(duì)稱，故8正確；

對(duì)于C,如圖，曲線上任意兩點(diǎn)距離范圍為(0,4R),即兩點(diǎn)距離范圍為(0,2夜)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D曲線C所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域可看成四個(gè)半圓和一個(gè)正方形組成，

設(shè)它的面積為S,S=4X5TR2+(27?)2=豆+2>江，故。正確.

故選：ABD.

四、填空題，本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)若(1+久)5(a+苴)展開式中/的系數(shù)為30,則a=2

【解答】解：若（a+以）（1+%），=（〃+以）（1+5x+1+1）的展開式中/的系數(shù)為10Q+5Q

=30,

則a=2.

故答案為：2.

13.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0),A(sina,cosa),B(cos(a+看),sin(a+蕓)，當(dāng)乙4。8=等

71

時(shí)，寫出a的一個(gè)值為一萬（答案不唯一）

【解答】解：(0(0),A(Sina,cosa),B(cos(a+第,sin(a+g

t—717T

0A=(sina,cosa),OB=(cos(a+7)，sin(a+下))，

6o

O~A~-OB~=sinacos(a+6)+cosasin(a+.)=sin(2a+：),

—?

又,.,|。2|=y/sin2a+cos2a=1,\OB\=cos2(a+,)+sin2(a+看)=1,

T

cosZAOB=Y"=sin(2a+5),

\OA\\OB\b

當(dāng)NA03=等時(shí)，cos—=sin(2a+1)=—

.?加+髀羊+2時(shí)或2a+*半+2吐回

即a=2+Zn或a--g—Fkn,ZcZ,

71

的一個(gè)值為5（答案不唯一）.

71

故答案為：-（答案不唯一）.

%2y2

14.（5分）已知雙曲線＞一公=l（a〉0,b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為R,Fi,若過點(diǎn)尸2的直線與雙曲

z

ab乙

線的左、右兩支分別交于A,8兩點(diǎn)，且|4&|=田&|=2V5.又以雙曲線的頂點(diǎn)為圓心，半徑為2段的

圓恰好經(jīng)過雙曲線虛軸的端點(diǎn)，則雙曲線的離心率為2.

【解答】解：如圖，=\BF1\=2V5,\AF2\-|AFi|=|BFi|-\BF2\=2a9

：.\AF2\=2V5+2a,\BF2\=2V5-2a,得|AB|=|AF2|TBF2|=4q.

1/以雙曲線的頂點(diǎn)為圓心，半徑為的圓恰好經(jīng)過雙曲線虛軸的端點(diǎn),

：.a2+b2=(2V2)2=c2,即C2=8,則IF/2I=4V2.

(2圖2+(2回2a)2(4A⑵2_88倔t+4a2

在尸2中，COS乙FIBFz=

2x2V5x(275-2a)-4西(2西—2a)'

2aV5

在△AF18中,cosZ-ABF=

1泰=甘心

***ZFiBF2=n-ZABFi,/.COSZFIBF2=-cosZABFi,

.8-8\/5a+4a2V5

解得/=2,

,*475(275-20)-5

故答案為：2.

五、解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已矢口函數(shù)/（X）=成仇：+砌

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)了（無）的單調(diào)區(qū)間；

（2）求證：當(dāng)〃>0時(shí)，f（X）We?。一2.

【解答】解：（1）當(dāng)。=1時(shí)，/（乃=筆見，函數(shù)定義域?yàn)椋?,+8）,

可得/（%）=-鬟，

當(dāng)0<%<1時(shí)，f（x）>0,f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時(shí)，f（x）<0,f（x）單調(diào)遞減，

則當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)/（%）的增區(qū)間為（0,1）,減區(qū)間為（1,+8）；

（2）證明：當(dāng)。>0時(shí)，

可得（（久）=就1一了嗎,

當(dāng)0<x<e「。時(shí)，f（尤）>0,f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)。時(shí)，f（x）<0,f（x）單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/（%）在（0,/"）上單調(diào)遞增，在（e="，+8）上單調(diào)遞減,

a

此時(shí)了(%)勺

e1-a

要證/(%)

需證為We2”2

即證6-1三0,

不妨設(shè)g(a)=e"ra,函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

可得g'(a)=eaX-1,

當(dāng)0<〃<1時(shí)，g'(a)<0,當(dāng)Q>1時(shí)，g'(a)>0,

所以函數(shù)g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

此時(shí)g(a)2g(1)=0,

即g(a)20恒成立,

故ea'l^a.

16.(15分)已知橢圓E；:l(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為人，尸2,橢圓E的離心率為右橢圓

E上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離為1.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若過右焦點(diǎn)尸2的直線/與橢圓￡交于3,C兩點(diǎn)，E的右頂點(diǎn)記為A,A8〃CH,求直線/的方程.

1

【解答】解：(1)因?yàn)闄E圓E的離心率為5,橢圓E上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離為1,

所以

a—c=1

Va2=b2+c2

解得〃=2,b=V3,

22

則橢圓E的方程為x了+白y=1；

(2)因?yàn)锳B〃CPi,

BF_AF2__I

所以2

CF2F1F2_2,

不妨設(shè)直線/方程為x=zny+l,B(xi,yi),C(X2,”),

x=my+1

聯(lián)立2,消去X并整理得(3優(yōu)2+4)y2+6〃zy-9=0,

(T+yT=1

此時(shí)△>0,

6m-9

由韋達(dá)定理得yi+%=-赤石？"=赤彳，

所以y2=~2yi,

此時(shí)為=_^,%=二^,

713m2+4723m2+4

又為為二忌，

-72m2-9

、（3m2+4）237n2+4，

整理得病=（，

解得租=±4^.

故直線/方程為X土竽-1=0.

17.（15分）如圖，已知四棱錐S-ABC。中，AB=BC=i,ZABC=120°,AB±AD,CD_L平面SAD,

T2T

且SG=^SC.

(1)證明：3G〃平面SAD-,

4

(2)已知銳二面角S-AC-。的正弦值為g,求二面角C-SA-。的余弦值.

【解答】解：(1)證法一：如圖1,延長8c和D4相交于點(diǎn)E,連接SE,

/.ZAB￡=60°,

,：AB1AD,

：.ZBAE=9Q°,則8E=2AB,

又*：AB=BC,

；?BE=2BC,

'：STG=|2SCT,

；.SG=2GC,

則BG//SE,

平面SA。，SEu平面SAD,

；.8G〃平面SAD.

證法二：如圖2,過G作G尸平行SA交AC于點(diǎn)R

S

9

：AB^BC=lfZABC=120°,

.1.TIC=V3,貝1|2尸=孥，

9T1T2T

：BF=^BA+^BCf

142

fj44+--V3

：.BF=gBA?+^BC2+^BA-BC-COS120。=--93

\99999

VBA=1,

22

：.B^+BF=AFf

：.BALBF,

9：BALAD,

：.BF//AD,

9

：SA//GFfBF//AD.

：.GF,5廠均平行于平面SAD,且3尸，G廠是平面3G尸內(nèi)的兩條相交直線,

，平面8G/〃平面SA。，

又平面GBF,

；.BG〃平面SAD.

證法三：如圖2,過8作平行交AC于點(diǎn)「連接GF,

：A8=BC=1,ZABC=120°,

：.ZBAC=ZBCA=30°,且AC=舊，

"：AB±AD,8/平行A。，

則.=瑞=孚=/，

...GP平行于SA,

'：SA//GF,BF//AD,

,:GF,均平行于平面SA。，且BRGF是平面BGF內(nèi)的兩條相交直線,

平面BGE〃平面SAD,

又：8Gu平面GBF,

；.BG〃平面SAD.

(2)解法一：；Cr)_L平面SAD,CZ)u平面A2CD

平面ABC￡)_L平面SAD,

如圖3,過點(diǎn)S作SM_LAO交于M,

平面SADn平面ABCD^AD,

S

圖3

平面ABC。，

：ACu平面ABCD,

：.AC±SM.

過點(diǎn)M作跖V_LAC交AC于M又MNCSM=M,且MN,SMu平面SMN,

；.AC_L平面SMN,

：.ZSNM為二面角S-AC-D的平面角，貝b譏NSNM=瑞=季

設(shè)SAf=a,則SN=1a,

：CO_L平面SA。，ADu平面SAD

：.CD.LAD,

又TAB_LAD,

：.AB//CDf

VZABC=120°,AB=BC,

：.ZBCA=30°,

F5

???白△AO。中，AACD=30%AC=也,則ZD=今，

過點(diǎn)。作。尸，SA交SA于點(diǎn)P,連接。尸，

則NCPD為二面角C-SA-。的平面角，

rDnDP券袈SM-AD4坐2

cosMPD=國=me=SAMC=5X7T=5'

綜上所述，二面角C-SA-D的余弦值為g

解法二：如圖4,在平面SAO內(nèi)過點(diǎn)。作4。的垂線于AS的延長線交于點(diǎn)。

圖4

過。作。尸_LAC交AC于P,連接。尸，

：CO_L平面SAD,CDu平面ABCD,

平面SAD_L平面ABCD,

:平面SADC平面ABCD=A。，QD±AD,QOu平面SA。，

.?.Q￡)_L平面ABC。，

:ACu平面ABCD,

：.QD±AC,

5L'：ACLDP,

平面QDP,即ZQPD為二面角S-AC-D的平面角,

：CO_L平面SA。，AOu平面SA。，

C.CDLAD,

5L'：AB±AD,

：.AB//CD,

VZABC=120°,AB=BC=1,

：.ZBCA=30°,

???及△ADC中，^ACD=30%AC=聒,則AD=學(xué)，CD=

133

-。D--r

24

4

/少叩

-?5_

-

4

Q也--

z.-3

QD=DP?tanZQPD=1,

為△QZM中，邊QA上的高九=縹怨

設(shè)二面角C-SA-D的平面角為6,

???CDJ_平面SAD.

2

綜上所述，二面角C-SA-D的余弦值為g.

解法三：如圖5,平面SAO,

???在平面內(nèi)過點(diǎn)。引AO的垂線記為z軸，以AD,CD所在直線為x軸，y軸如圖建立空間直角

坐標(biāo)系:

???。。，平面&4。，AOu平面&4。,

CDLAD,

XVABXAZ),

：.AB//CD,

VZABC=120°,AB=BC=1,

：.ZBCA=3Q°,

.?.RtAMJC中,Z.ACD=30°,AC=V3,則2D=孚,CD=|,

則。(0,0,0),A<fi,0,0),C(0,I，0),S(m,0,n),

設(shè)平面SAC的法向量為1=(x,y,z),

mx萬

d-■今今[V3+nz=30^取了=8，則丫=1，z=----薩,

Uc-n-o一下久+2y=°n

新=（?1,_粵）,

又平面AC。的法向量為I=（0,0,1）,

4

:二面角S-AC-。的正弦值為g,

.|n-nj|

1nlMi|

設(shè)二面角C-SA-D的平面角為0,平面SAD的法向量為玄=（0

->1=.回=1叫I，-等)e10)1

|cos6|=|cos<hi，r

2扇I忘IJ(V3)2+l2+(-^)2-l

代入②中，得cos。=弓，

2

綜上所述，二面角C-的余弦值為9

18.（17分）樹人中學(xué)高三（1）班某次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（滿分150分）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:

性別參加考試人數(shù)平均成績標(biāo)準(zhǔn)差

男3010016

女209019

在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為XI,X2,尤3,…，物其平均數(shù)

記為a方差記為S七把第二層樣本記為yi,”，”，…，yrn,其平均數(shù)記為％方差記為赍；把總樣本

數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為2,方差記為$2.

1

(1)證明：s2=+(x-z)2]+m[sj+Qz-z)2]｝；

(2)求該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差(精確到1)；

(3)假設(shè)全年級(jí)學(xué)生的考試成績服從正態(tài)分布N(u，。2),以該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)

差分別作為N和。的估計(jì)值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例將考試成績從高分到低分依次劃

分為A,B,C,。四個(gè)等級(jí)，試確定各等級(jí)的分?jǐn)?shù)線(精確到1).

附：P(H-OWXWn+。)=0.68,V302?17,V322-18,V352~19.

【解答】解：(1)證明：$2=焉[￡21(看一斤+比1(%—2溝

1

=而由E^i(%；-%+%-z)2+￡曙1(.yi-y+y-z)2]

=焉{2、J?_君2+(元一刃2+2(/一君(元,2)]+2￡][(%_y)2+(y-z)2+2(%—y)(y-

為"

因?yàn)镋Ni[2(%-x)(x-z)]=2(元—乃￡仁13-%)=2(%-2)(*1+x2+x3+-+xn-nx)=0,

同理2上1[2(%-9)(歹一幻]=0,

1

所以S2=而玩口白!+(元一2)2]+m[s3+(y-z)2]}.

(2)將該班參加考試學(xué)