第三章光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性習(xí)題[3.1]/一個(gè)衍射屏具有下述圓對(duì)稱的振幅透過函數(shù)：SKIPIF1<0式中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓形衍射屏的半徑。問：這個(gè)屏的作用在什么方面像一個(gè)透鏡？給出此屏的焦距的表達(dá)式。若用它做成像元件，有什么缺點(diǎn)？解：(1)此衍射屏的復(fù)振幅如附圖3.1所示，也可把它表示為如下的直角坐標(biāo)形式：SKIPIF1<0式中，中括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)僅僅是使直接投射光的振幅衰減，其他兩個(gè)指數(shù)項(xiàng)與透鏡相位變換因子SKIPIF1<0比較，形式相同。當(dāng)用平面波垂直照射時(shí)，這兩項(xiàng)的作用是分別產(chǎn)生會(huì)聚球面波和發(fā)散球面波。因此在成像性質(zhì)和傅里葉變換性質(zhì)上該衍射屏都類似于透鏡。因子SKIPIF1<0表明，該屏具有半徑為SKIPIF1<0的圓形孔徑。(2)把衍射屏復(fù)振幅透過率中的復(fù)指數(shù)項(xiàng)與透鏡的位相變換因子SKIPIF1<0作比較，便得相應(yīng)的焦距，即對(duì)于SKIPIF1<0項(xiàng)，令SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，相當(dāng)于會(huì)聚透鏡。對(duì)于SKIPIF1<0項(xiàng)，令SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，相當(dāng)于發(fā)散透鏡。對(duì)于SKIPIF1<0這一項(xiàng)，平行光直接透過，僅振幅衰減，可視為SKIPIF1<0。(3)由于該衍射屏具有三重焦距，當(dāng)用作成像裝置時(shí)，便可對(duì)同一物體形成三個(gè)像。例如對(duì)無窮遠(yuǎn)的點(diǎn)光源，將分別在屏的兩側(cè)對(duì)稱位置形成實(shí)像和虛像，而另一個(gè)像在無窮遠(yuǎn)（直接透射光）。當(dāng)觀察者觀察其中一個(gè)像時(shí)，會(huì)同時(shí)看到另外的離焦像，無法分離開。若用接收屏來接收，則在任何一個(gè)像面上都會(huì)有離焦像形成的背景干擾。此外，對(duì)于多色物體來說，嚴(yán)重的色差也是一個(gè)重要的限制，因?yàn)榻咕喽寂c波長SKIPIF1<0成反比。若用白光作光源，則在像面上可以看到嚴(yán)重的色散現(xiàn)象。附圖3.1習(xí)題[3.1]圖示[3.2]試由式（3.1.10）直接導(dǎo)出式（3.1.11）。解：令P(x,y）=1,將式（3.1.10）積分號(hào)內(nèi)各指數(shù)因子展開，利用SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0后，有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0并應(yīng)用公式：SKIPIF1<0及縮放定理，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0再令SKIPIF1<0即得式（3.1.11）。[3.3]/用一束單位振幅的平面波垂直入射照明一個(gè)透鏡。透鏡直徑為5cm，焦距為20cm，在透鏡后面10cm的地方，以透鏡軸為中心放著一個(gè)物體，其振幅透過率為：SKIPIF1<0假定L=1cm,SKIPIF1<0,大致畫出焦平面上沿x軸的強(qiáng)度分布，標(biāo)出各個(gè)衍射分量之間的距離和各個(gè)分量的寬度（第一個(gè)零點(diǎn)之間的距離）的數(shù)值。解：/由附圖3.2可知，物平面被照明光斑的直徑為2.5cm。物體是一個(gè)正弦振幅光柵，其附圖3.2習(xí)題[3.3]圖示最大線度（對(duì)角線方向）為SKIPIF1<0，故物體可以被完全照明。后焦面上的復(fù)振幅分為：SKIPIF1<0強(qiáng)度分布為：SKIPIF1<0這里因SKIPIF1<0，故未考慮3個(gè)SKIPIF1<0函數(shù)間的重疊。代入題設(shè)數(shù)據(jù)，得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0的單位取為cm。在SKIPIF1<0軸上兩個(gè)一級(jí)分量中心離原點(diǎn)距離為：SKIPIF1<0；零級(jí)分量第一個(gè)零點(diǎn)的位置為SKIPIF1<0；兩個(gè)一級(jí)分量與中央亮斑的的寬度相同，都是SKIPIF1<0而其幅值只為零級(jí)分量的SKIPIF1<0。如附圖3.3所示。附圖3.3歸一化強(qiáng)度分布[3.4]將面積為10mmSKIPIF1<010mm的透射物體置于一傅里葉變換透鏡的前焦面上作頻譜分析。用波長SKIPIF1<0的單色平面波垂直照明，要求在頻譜面上測得的強(qiáng)度在頻率140線/mm以下能準(zhǔn)確代表物體的功率譜。并要求頻率為140線/mm與20線/mm在頻譜面上的間隔為30mm,問該透鏡的焦距和口徑各為多少？解：取面積為SKIPIF1<0的透射物體的對(duì)角線方向?yàn)镾KIPIF1<0軸。因要求在140線/mm以下的空間頻率成分不受到有限孔徑的漸暈效應(yīng)的影響，故透鏡的口徑SKIPIF1<0應(yīng)滿足條件：SKIPIF1<0①按題意，要求：SKIPIF1<0②綜合式①、②求得：SKIPIF1<0[3.5]/一菲涅耳波帶片的復(fù)振幅透過率為：SKIPIF1<0如附圖3.4所示。證明它的作用相當(dāng)于一個(gè)有多重焦距的透鏡，并確定這些焦距的大小。SKIPIF1<0附圖3.4習(xí)題[3.5]圖示解：/由SKIPIF1<0函數(shù)的定義可知：SKIPIF1<0①式中SKIPIF1<0為整數(shù)。令SKIPIF1<0，顯然上式是SKIPIF1<0的周期函數(shù)，周期為SKIPIF1<0，故可展成傅里葉級(jí)數(shù)：SKIPIF1<0其中，SKIPIF1<0遂有：SKIPIF1<0②上式表示一個(gè)方波函數(shù)，最后求得復(fù)振幅透過率為：SKIPIF1<0或以直角坐標(biāo)表示成：SKIPIF1<0③上式中的指數(shù)因子類似于透鏡的位相變換因子，遂有：SKIPIF1<0④換言之，可以把該衍射屏看作一個(gè)具有多重焦點(diǎn)的透鏡，焦距由式④確定。當(dāng)SKIPIF1<0偶數(shù)時(shí)（零除外），SKIPIF1<0，故當(dāng)用單色平面光波垂直照明時(shí)，透射光中不包含SKIPIF1<0為偶數(shù)的成分。對(duì)于SKIPIF1<0為奇數(shù)的情況，透射光中包含有無窮多個(gè)球面波。當(dāng)SKIPIF1<0取負(fù)值時(shí)，SKIPIF1<0為正，是會(huì)聚球面波，它可得到實(shí)焦點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0取正值時(shí)，SKIPIF1<0為負(fù)，是發(fā)散球面波，它可得到虛焦點(diǎn)。[3.6]一物體的振幅透過率為一方波，如附圖3.5所示，通過一光瞳為圓形的透鏡成像。透鏡的焦距為10cm，方波的基頻是1000線/cm，物距為20cm，波長為SKIPIF1<0cm。問在以下兩種情況下：（1）物體用相干光照明時(shí)；（2）物體用非相干光照明時(shí)；透鏡的直徑最小應(yīng)為多少，才會(huì)使像平面上出現(xiàn)強(qiáng)度的任何變化？附圖3.5習(xí)題[3.6]圖示解：按題意，系統(tǒng)的截止頻率應(yīng)大于物函數(shù)的基頻SKIPIF1<0。遂得：(1)相干照明時(shí)，SKIPIF1<0。由透鏡定律算得SKIPIF1<0。故由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0。(2)非相干照明時(shí)，SKIPIF1<0故求得SKIPIF1<0。[3.7]一個(gè)衍射受限成像系統(tǒng)，其出射光瞳是邊長為SKIPIF1<0的正方形，若在光瞳中心嵌入一個(gè)邊長為SKIPIF1<0的正方形不透明屏，試畫出SKIPIF1<0的函數(shù)圖像。解：由OTF的幾何解釋，有：SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0為光瞳面積，SKIPIF1<0為光瞳重疊面積。SKIPIF1<0，光瞳重疊面積則應(yīng)分5個(gè)區(qū)間來考察，參閱附圖3.6。①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0③SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0④SKIPIF1<0(見附圖3.6(d))SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0這時(shí)SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0。綜合上述5個(gè)區(qū)間的情況，畫出SKIPIF1<0的函數(shù)圖形如附圖3.6(e)所示。附圖3-6習(xí)題[3.7]圖示[3.8]一個(gè)衍射受限成像系統(tǒng)，其出射光瞳是直徑為SKIPIF1<0的圓，在出瞳面上用不透明的半圓嵌入光瞳，求此系統(tǒng)的SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的表達(dá)式。解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0[3.9]/改變一維理想透鏡的光瞳函數(shù)，使它的振幅透過率從中心到邊緣線性地從1減小到0，求這種透鏡的光學(xué)傳遞函數(shù)。解：/設(shè)一維透鏡的口徑為SKIPIF1<0，按題設(shè)其光瞳函數(shù)可寫成:SKIPIF1<0根據(jù)光學(xué)傳遞函數(shù)的計(jì)算式(3.4.23),得SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的計(jì)算，可以分區(qū)間進(jìn)行，如下所述(參看附圖3.7)。附圖3.7SKIPIF1<0的計(jì)算當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0最后畫出光學(xué)傳遞函數(shù)的曲線如附圖3.8所示。附圖3.8SKIPIF1<0曲線[3.10]一個(gè)正弦物體的振幅透過率為：SKIPIF1<0用相干成像系統(tǒng)對(duì)它成像。設(shè)物的空間頻率SKIPIF1<0小于系統(tǒng)的截止頻率，并且忽略放大和系統(tǒng)的總體衰減。若系統(tǒng)無像差，求像平面上的強(qiáng)度分布；證明同樣的強(qiáng)度分布也出現(xiàn)在無窮多個(gè)未聚焦好的像平面上。解：（1）設(shè)用單位振幅單色平面波垂直照明，則透過物體的光場為SKIPIF1<0，由于物的空間頻率SKIPIF1<0足夠低，可以通過系統(tǒng)，且忽略放大和總體衰減，又不考慮像差，故得像平面上復(fù)振幅分布為：SKIPIF1<0強(qiáng)度分布為：SKIPIF1<0（2）如附圖3.9所示，設(shè)在像面與離焦面之間應(yīng)用菲涅耳衍射公式，則有：SKIPIF1<0附圖3.9習(xí)題[3.10]圖示應(yīng)用卷積定理，在頻域中求解上式，得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0再作逆傅里葉變換，便求得離焦面的光場分布為：SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,因而SKIPIF1<0SKIPIF1<0由此可見，同樣的強(qiáng)度分布也出現(xiàn)在SKIPIF1<0處。[3.11]/一個(gè)余弦型振幅光柵的振幅透過率為：SKIPIF1<0放在一個(gè)直徑為SKIPIF1<0的圓形會(huì)聚透鏡（焦距為SKIPIF1<0）之前，并且用平面單色光波傾斜照明。平面波的傳播方向在SKIPIF1<0平面內(nèi)，與SKIPIF1<0軸夾角為SKIPIF1<0，如附圖3.10所示。求通過物透射的光的振幅分布的頻譜。假定SKIPIF1<0，問像平面上會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)度變化的SKIPIF1<0角最大值是多少？假定用的傾斜角SKIPIF1<0就是這個(gè)最大值，求像平面上的強(qiáng)度分布。它與SKIPIF1<0時(shí)相應(yīng)的強(qiáng)度分布比較，情況如何？附圖3.10習(xí)題[3.11]圖示解：/（1）傾斜單色平面光波入射，在物平面上產(chǎn)生的入射光場為SKIPIF1<0，則物平面的透射光場為：SKIPIF1<0其頻譜為：SKIPIF1<0①由此可見，當(dāng)光波以SKIPIF1<0角傾斜入射時(shí)，物頻譜沿SKIPIF1<0軸整體平移了SKIPIF1<0距離。（2）物的空間頻譜僅包含3個(gè)頻譜分量，其中每一頻譜分量代表某一特定方向的平面波，如果只讓一個(gè)頻譜分量通過系統(tǒng)，像面是不會(huì)有強(qiáng)度變化的。欲使像面有強(qiáng)度變化，至少要有兩個(gè)頻譜分量通過系統(tǒng)。選擇最低的兩個(gè)頻譜分量使其在系統(tǒng)通頻帶內(nèi)，SKIPIF1<0角才能取盡量大的值（見附圖3.11）。于是要求：SKIPIF1<0附圖3.11習(xí)題[3.11]圖示上列兩式聯(lián)解得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（3）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，只有最高的那個(gè)頻譜分量不能通過系統(tǒng)，因而相干傳遞函數(shù)可寫成：SKIPIF1<0故像的頻譜為：SKIPIF1<0像面復(fù)振幅分布為：SKIPIF1<0光強(qiáng)分布為：SKIPIF1<0=2\*GB3②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由題設(shè)條件可知像與物的光場分布一樣，故強(qiáng)度分布為：SKIPIF1<0=3\*GB3③比較示=2\*GB3②，=3\*GB3③可知，SKIPIF1<0時(shí)條紋對(duì)比度較差，且沒有倍頻成分。[3.12]如附圖3.12所示，衍射受限非相干成像系統(tǒng)，光闌縫寬為SKIPIF1<0，透鏡的焦距和成像倍率分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，照明光波長為SKIPIF1<0，如果物體是振幅透過率為SKIPIF1<0的理想光柵，試求：（1）像的強(qiáng)度分布；（2）設(shè)光柵常數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試定性畫出像強(qiáng)度分布圖。附圖3.12習(xí)題[3.12]圖示解：（1）首先確定系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)。由式（3.4.28）知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0。采用單位強(qiáng)度的平面波垂直照明光柵，幾何光學(xué)理想像的強(qiáng)度分布SKIPIF1<0就等于物的強(qiáng)度透過率SKIPIF1<0輸入的歸一化強(qiáng)度頻譜為：SKIPIF1<0因SKIPIF1<0，故歸一化輸出頻譜為：SKIPIF1<0略去常系數(shù)，像面光強(qiáng)分布為：