課時(shí)作業(yè)提升(六十一)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例A組夯實(shí)基礎(chǔ)1．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123ym35.57已求得關(guān)于y與x的線(xiàn)性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2.1x＋0.85，則m的值為()A．1 B．0.85C．0.7 D．0.5解析：選D回歸直線(xiàn)必過(guò)樣本中心點(diǎn)(1.5，eq\o(y,\s\up6(－)))，故eq\o(y,\s\up6(－))＝4，m＋3＋5.5＋7＝16，得m＝0.5．2．已知某車(chē)間加工零件的個(gè)數(shù)x與所花費(fèi)時(shí)間y(h)之間的線(xiàn)性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.01x＋0.5，則加工600個(gè)零件大約需要的時(shí)間為()A．6.5h B．5.5hC．3.5h D．0.3h解析：選A將600代入線(xiàn)性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.01x＋0.5中得需要的時(shí)間為6.5h．3．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，D．若該大學(xué)某女生身高為170cm，解析：選DA中由于回歸方程中的x系數(shù)為正，所以具有正的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，A正確；B由線(xiàn)性回歸方程的推導(dǎo)可知回歸方程必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，B正確；C中，身高增加1cm，則Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85(kg)，C正確．D中，將170代入回歸方程得y＝58.79kg，這個(gè)值只能是一個(gè)推測(cè)的結(jié)果，和實(shí)際值允許有誤差，D錯(cuò)誤．4．已知x，y的取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3從所得散點(diǎn)圖中分析可知：y與x線(xiàn)性相關(guān)，且eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則x＝13時(shí)，y等于()A．1.45 B．13.8C．13 D．12.8解析：選B由題意，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25，∵y與x線(xiàn)性相關(guān)，且eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴5.25＝0.95×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝1.45，從而當(dāng)x＝13時(shí)，有y＝13.8.故選B．5．有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30總計(jì)105已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7)，則下列說(shuō)法正確的是()A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”解析：選C由題意知，成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是30，成績(jī)非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75，所以c＝20，b＝45，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈6.109＞3.841，因此有95%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”．6．某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線(xiàn)性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，用電量的度數(shù)約為_(kāi)_______．解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝40，回歸方程過(guò)點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，∴40＝－2×10＋eq\o(a,\s\up6(^)).∴eq\o(a,\s\up6(^))＝60.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60．令x＝－4，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝(－2)×(－4)＋60＝68．答案：687．某高?！敖y(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課程的一些學(xué)生的情況，具體數(shù)據(jù)如下表：專(zhuān)業(yè)性別非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)男1310女720為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844，因?yàn)镵2≥3.841，所以判定主修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為_(kāi)_______．解析：∵K2≈4.844＞3.841，∴有95%的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)系，即作出“主修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)系”的判斷，出錯(cuò)的可能性不超過(guò)5%．答案：5%8．考古學(xué)家通過(guò)始祖鳥(niǎo)化石標(biāo)本發(fā)現(xiàn)：其股骨長(zhǎng)度x(cm)與肱骨長(zhǎng)度y(cm)的線(xiàn)性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.197x－3.660，由此估計(jì)，當(dāng)股骨長(zhǎng)度為50cm時(shí)，肱骨長(zhǎng)度的估計(jì)值為_(kāi)_______cm．解析：根據(jù)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1.197x－3.660，將x＝50代入，得y＝56.19，則肱骨長(zhǎng)度的估計(jì)值為56.19cm．答案：56.199．(2018·菏澤質(zhì)檢)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線(xiàn)性回歸方程．預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少?lài)崢?biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝86，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5(噸)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5(噸)．已知eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝66.5，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝3.5－0.7×4.5＝0.35．因此，所求的線(xiàn)性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35．(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)．B組能力提升1．(2018·重慶測(cè)試)為了判定兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y是否有關(guān)系，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)法算得K2的觀測(cè)值為5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，則下列說(shuō)法正確的是()A．有95%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”B．有95%的把握認(rèn)為“X和Y沒(méi)有關(guān)系”C．有99%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”D．有99%的把握認(rèn)為“X和Y沒(méi)有關(guān)系”解析：選A依題意，K2＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”，選A．2．(2018·河南八市聯(lián)考)某公司在2018年上半年的收入x(單位：萬(wàn)元)與月支出y(單位：萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如表所示：月份123456收入x12.314.515.017.019.820.6支出y5.635.755.825.896.116.18根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，則()A．月收入的中位數(shù)是15，x與y有正線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系B．月收入的中位數(shù)是17，x與y有負(fù)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系C．月收入的中位數(shù)是16，x與y有正線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系D．月收入的中位數(shù)是16，x與y有負(fù)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系解析：選C月收入的中位數(shù)是eq\f(15＋17,2)＝16，由表可知收入增加，支出增加，故x與y有正線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，故選C．3．(2018·臨沂質(zhì)檢)已知變量x與y之間的回歸直線(xiàn)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋2x，若eq\i\su(i＝1,10,x)i＝17，則eq\i\su(i＝1,10,y)i的值等于()A．3 B．4C．0.4 D．40解析：選B依題意eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(17,10)＝1.7，而直線(xiàn)eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋2x一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，所以eq\o(y,\s\up6(－))＝－3＋2eq\o(x,\s\up6(－))＝－3＋2×1.7＝0.4，所以eq\i\su(i＝1,10,y)i＝0.4×10＝4．4．(2018·河南八市聯(lián)考)為了研究某大型超市開(kāi)業(yè)天數(shù)與銷(xiāo)售額的情況，隨機(jī)抽取了5天，其開(kāi)業(yè)天數(shù)與每天的銷(xiāo)售額的情況如下表所示：開(kāi)業(yè)天數(shù)1020304050銷(xiāo)售額/天(萬(wàn)元)62758189根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求得y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9，由于表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為_(kāi)_______．解析：設(shè)表中模糊看不清的數(shù)據(jù)為m．因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10＋20＋30＋40＋50,5)＝30，又樣本中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))在回歸直線(xiàn)eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9上，所以eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(m＋307,5)＝0.67×30＋54.9，得m＝68．答案：685．(2018·煙臺(tái)質(zhì)檢)在2017年1月15日那天，某市物價(jià)部門(mén)對(duì)本市的5家商場(chǎng)的某商品的一天銷(xiāo)售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)x元和銷(xiāo)售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格x99.5m10.511銷(xiāo)售量y11n865由散點(diǎn)圖可知，銷(xiāo)售量y與價(jià)格x之間有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，其線(xiàn)性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，則其中的n＝________．解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(9＋9.5＋m＋10.5＋11,5)＝8＋eq\f(m,5)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋n＋8＋6＋5,5)＝6＋eq\f(n,5)，回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，即6＋eq\f(n,5)＝－3.2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋\f(m,5)))＋40，即3.2m＋n＝42．又因?yàn)閙＋n＝20，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3.2m＋n＝42，,m＋n＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝10，))故n＝10．答案：106．(2018·沈陽(yáng)質(zhì)檢)為考查某種疫苗預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：未發(fā)病發(fā)病總計(jì)未注射疫苗20xA注射疫苗30yB總計(jì)5050100現(xiàn)從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取到“注射疫苗”動(dòng)物的概率為eq\f(2,5)．(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，A，B的值；(2)繪制發(fā)病率的條形統(tǒng)計(jì)圖，并判斷疫苗是否有效？(3)能夠有多大把握認(rèn)為疫苗有效？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，n＝a＋b＋c＋dP(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解：(1)設(shè)“從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取到‘注射疫苗’動(dòng)物”為事件E，由已知得P(E)＝eq\f(y＋30,100)＝eq\f(2,5)，所以y＝10，B＝40，x＝40，A＝60．(2)未注射疫苗發(fā)病率為eq\f(40,60)＝eq\f(2,3)，注射疫苗發(fā)病率為eq\f(10,40)＝eq\f(1,4)．發(fā)病率的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，由圖可以看出疫苗影響到發(fā)病率，且注射疫苗的發(fā)病率小，故判斷疫苗有效．(3)K2＝eq\f(100×20×10－30×402,50×50×40×60)＝eq\f(50,3)≈16.667＞10.828．所以至少有99.9%的把握認(rèn)為疫苗有效．7．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線(xiàn)圖．注：年份代碼1—7分別對(duì)應(yīng)年份2008—2014．(1)由折線(xiàn)圖看出，可用線(xiàn)性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646．參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq