第八章相關(guān)分析與回歸分析第一節(jié)相關(guān)分析的意義和內(nèi)容任何事物的變化都與其他事物是相互聯(lián)系和相互影響的，用于描述事物數(shù)量特征的變量之間自然也存在一定的關(guān)系。變量之間的關(guān)系歸納起來可以分為兩種類型，即函數(shù)關(guān)系和統(tǒng)計關(guān)系。一、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系當(dāng)一個變量x取一定值時，另一變量y可以按照確定的函數(shù)公式取一個確定的值，記為y

=

f(x)，則稱y是x的函數(shù)，也就時說y與x兩變量之間存在函數(shù)關(guān)系。如，某種商品在其價格不變的情況下，銷售額和銷售量之間的關(guān)系就是一種函數(shù)關(guān)系：銷售額=價格×銷售量。變量函數(shù)關(guān)系圖形化的表示。

函數(shù)關(guān)系是一一對應(yīng)的確定性關(guān)系，比較容易分析和測度，可是在現(xiàn)實中，變量之間的關(guān)系往往并不那么簡單。相關(guān)分析當(dāng)一個或幾個變量取一定值時，與之相應(yīng)的另一個變量值雖然不確定，但仍按某種規(guī)律在一定范圍內(nèi)變化。變量間的這種不確定性的相互關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。

相關(guān)分析是分析變量間是否有相關(guān)關(guān)系，確定相關(guān)關(guān)系是否存在，描述相關(guān)關(guān)系呈現(xiàn)的形式和方向，以及變量間相關(guān)的密切程度的方法。

如，旅游土特產(chǎn)商品，其平均畝產(chǎn)量和施肥量之間存在著一定的依存關(guān)系，即在一定時候隨著施肥量的增加，其平均畝產(chǎn)量也相應(yīng)增加，但平均畝產(chǎn)量還受土壤、氣溫、雨量、密植程度等因素影響，并不是唯一確定的，這種關(guān)系就是相關(guān)關(guān)系。

變量相關(guān)關(guān)系的圖形化表示二、相關(guān)分析的分類（一）按相關(guān)的變量多少不同，可分為單相關(guān)和復(fù)相關(guān)（二）按相關(guān)的表現(xiàn)形式不同，可分為直線相關(guān)和曲線相關(guān)（三）按相關(guān)的程度不同，可分為不相關(guān)、完全相關(guān)和不完全相關(guān)（四）按相關(guān)的方向不同，可把直線相關(guān)分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)三、相關(guān)分析的主要內(nèi)容（一）確定現(xiàn)象之間有無關(guān)系（二）確定相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式（三）測定相關(guān)關(guān)系的密切程度和方向第二節(jié)相關(guān)關(guān)系的測定一、相關(guān)表相關(guān)表是一種統(tǒng)計表，它是直接根據(jù)現(xiàn)象之間的原始資料，將一變量的若干變量值按從小到大的順序排列，并將另一變量的值與之對應(yīng)排列形成的統(tǒng)計表。

飯店編號年廣告費投入月平均營業(yè)額12345678910

1215232633343945556021233234424349525963

表7-1年廣告費投入和月平均營業(yè)額相關(guān)表

單位：萬元二、相關(guān)圖相關(guān)圖又稱散點圖，它是用直角坐標(biāo)系的軸代表自變量，軸代表因變量，將兩個變量間相對應(yīng)的變量值用坐標(biāo)點的形式描繪出來，用以表明相關(guān)點分布狀況的圖形。

年廣告費投入與月平均營業(yè)額相關(guān)圖三、相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是在直線相關(guān)條件下，說明兩個變量相互之間變化方向及密切程度的統(tǒng)計分析指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)通常用表示。相關(guān)系數(shù)的測定方法，直接來源于數(shù)理統(tǒng)計中相關(guān)系數(shù)的定義

式中：為資料項數(shù)；為變量的標(biāo)淮差；為變量的標(biāo)準(zhǔn)差；為兩個變量的協(xié)方差。7.1式的分子分母中，有公因子，同時約掉化簡得：(7.1)(7.2)7.2式是通過各個變量離差乘積的方法來計算相關(guān)系數(shù)的，也稱為“積差法”相關(guān)系數(shù)公式。由于各變量的離差通常帶有小數(shù)，因而“積差法”公式的計算結(jié)果往往缺乏準(zhǔn)確性。在實際應(yīng)用中，如果依據(jù)原始資料計算相關(guān)系數(shù)，可用7.2式的簡化公式計算?，F(xiàn)將7.2式的分子分母轉(zhuǎn)換為：把以上結(jié)果代入7.2式，可得：

或（7.3）（7.4）序號年廣告費投入月平均營業(yè)額

123456789101215232633343945556021233234424349525963

144225529676108911561521202530253600

44152910241156176418492401270434813969

252345736884138614621911234032453780合計342418139901931816341現(xiàn)在用表7-1的資料為例，計算年廣告宣傳費投入和月平均營業(yè)額之間的相關(guān)系數(shù)。表7-2相關(guān)系數(shù)計算表由表中資料得如下有關(guān)數(shù)據(jù):代人7.3式，計算相關(guān)系數(shù)為:計算結(jié)果表明年廣告宣傳費投入和月平均營業(yè)額之間存在高度的正相關(guān)關(guān)系。（二）相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)對于判斷變量之間相關(guān)關(guān)系的密切程度，有其重要的意義。相關(guān)系數(shù)的取值范圍：是在-1和+1之間，即。當(dāng)＞0，為正相關(guān)，＜0則為負(fù)相關(guān)。相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，表示相關(guān)關(guān)系越強，越接近于0，表示相關(guān)關(guān)系越弱。如果||＝1，則表示兩個變量完全直線相關(guān)。如果||＝0，則表示兩個變量完全不相關(guān)。但要注意的是只表示與的直線相關(guān)密切程度，當(dāng)很小甚至為0時，并不表示與之間不存在其他非直線型的相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)與相關(guān)密切程度等級相關(guān)系數(shù)絕對值||相關(guān)密切程度等級0.3以下0.3-0.50.5-0.80.8以上不相關(guān)低度相關(guān)顯著相關(guān)高度相關(guān)第三節(jié)一元線性回歸分析一、回歸分析的概念回歸分析是指對具有相關(guān)關(guān)系的變量，依據(jù)其關(guān)系形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學(xué)模型（或稱回歸方程式），用來近似地表示變量間數(shù)量平均變化關(guān)系的一種統(tǒng)計方法。

按分析變量的多少不同，可分為一元回歸分析與多元回歸分析；按分析變量間的表現(xiàn)形態(tài)不同，可分為線性回歸分析與非線性回歸分析等。二、相關(guān)分析與回歸分析的關(guān)系相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)和前提，回歸分析則是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)。相關(guān)分析需要依靠回歸分析來表現(xiàn)變量之間數(shù)量相關(guān)的具體形式，而回歸分析則需要依靠相關(guān)分析來表現(xiàn)變量之間數(shù)量變化的相關(guān)程度。只有當(dāng)變量之間存在高度相關(guān)時，進行回歸分析尋求其相關(guān)的具體形式才有意義。兩者的區(qū)別主要體現(xiàn)在以下三個方面：1.在相關(guān)分析中涉及的變量不存在自變量和因變量的劃分問題，變量之間的關(guān)系是對等的；而在回歸分析中，則必須根據(jù)研究對象的性質(zhì)和研究分析的目的，對變量進行自變量和因變量的劃分。因此，在回歸分析中，變量之間的關(guān)系是不對等的。2.在相關(guān)分析中所有的變量都必須是隨機變量；而在回歸分析中，自變量是給定的，因變量才是隨機的，即將自變量的結(jié)定值代人回歸方程后，所得到的因變量的估計值不是唯一確定的，而會表現(xiàn)出一定的隨機波動性。3.相關(guān)分析主要是通過一個指標(biāo)即相關(guān)系數(shù)來反映變量之間相關(guān)程度的大小，由于變量之間是對等的，因此相關(guān)系數(shù)是唯一確定的。而在回歸分析中，對于互為因果的兩個變量（如商品的價格與需求量），則有可能存在多個回歸方程。三、一元線性回歸（一）一元線性回歸模型其表達形式：

式中：為因變量的估計理論值；為自變量的實際值；、為待定參數(shù)，為直線方程的截距，即為當(dāng)為0時的估計值，是回歸系數(shù)，即當(dāng)每增加一個單位時的平均增加量。（7.5）（二）用最小二乘法求回歸系數(shù)用最小二乘法擬合的直線最具有代表性，也稱最佳線。

（7.6）令則是兩個待定參數(shù)和的函數(shù)。要使為最小值，就要用數(shù)學(xué)中對二元函數(shù)求極值的原理，求關(guān)于和的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，整理得出直線回歸方程中求解參數(shù)、的標(biāo)準(zhǔn)方程組，（7.7）（7.8）應(yīng)用7.7和7.8式，求出與的值，代入7.5式，即可得出具體的直線回歸方程式。由標(biāo)準(zhǔn)方程組的7.7式，得：（7.9）將7.9式代入7.8式，有即（7.10）現(xiàn)仍用表7-1某飯店年廣告費投入和月平均營業(yè)額的有關(guān)資料為例，計算、的值得到：將和的數(shù)值代入7.5式，得出年廣告費投入和月平均營業(yè)額的直線回歸方程：式中：，是回歸直線在軸上的截距；，表示年廣告費投入每增加一個單位(萬元)，月平均營業(yè)額平均增加0.892(萬元)。四、一元回歸估計標(biāo)準(zhǔn)誤差（一）估計標(biāo)準(zhǔn)誤差的意義回歸方程的一個重要作用在于根據(jù)自變量的已知值估計因變量的理論值（估計值）。而理論值與實際值存在著差距，這就產(chǎn)生了推算結(jié)果的準(zhǔn)確性問題。如果差距小，說明推算結(jié)果的準(zhǔn)確性高；反之，則低。為此，分析理論值與實際值的差距很有意義。估計標(biāo)準(zhǔn)誤差是衡量回歸直線代表性大小的統(tǒng)計分析指標(biāo)，它說明觀察值圍繞著回歸直線的變化程度或分散程度。（二）一元估計標(biāo)準(zhǔn)誤差的計算估計標(biāo)準(zhǔn)誤差是用來說明回歸方程代表性大小的統(tǒng)計分析指標(biāo)，其計算原理與標(biāo)準(zhǔn)差基本相同，估計標(biāo)準(zhǔn)誤差說明估計理論值的代表性。

1.定義公式。定義公式是直接根據(jù)剩余變差計算的，是剩余變差平均數(shù)的平方根，反映了實際觀察值與估計值之間的平均離差程度。（7.11）式中：為估計標(biāo)推誤差；為自由度，因在一元線性回歸方程中．計算了、兩個參數(shù)，即失去了兩個自由度。2.簡化公式。簡化公式是根據(jù)回歸直線方程中的參數(shù)、計算，特點是能與相關(guān)分析和回歸分析中的數(shù)據(jù)資料相結(jié)合，其計算結(jié)果等同于定義公式。（7.12）仍以表7-2的資料為例，結(jié)合說明估計標(biāo)準(zhǔn)誤差的計算方法?？闪谐鲇嬎惚恚绫?-3所示。表7-3估計標(biāo)準(zhǔn)誤差計算表序號

年廣告費投入

月平均營業(yè)額

12345678910

12152326333439455560

21233234424349525963

22.0024.6731.8134.4940.7341.6246.0851.4360.3564.81

1.002.800.040.241.611.908.510.321.833.29

合計

342418418.0021.54將計算表的有關(guān)資料代入公式得：計算結(jié)果表明，估計標(biāo)準(zhǔn)差是1.641萬元。如果用建立線性回歸模型后公式計算，則有：（萬元）（萬元）五、估計標(biāo)準(zhǔn)誤差與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系估計標(biāo)準(zhǔn)誤差與相關(guān)系數(shù)在數(shù)量上也存在著換算關(guān)系，這就從另一角度說明了相關(guān)分析與回歸分析之間的聯(lián)系。二者之間的換算公式是：（7.13）（7.14）(1)需要先求出回歸直線方程，計算出估計標(biāo)準(zhǔn)誤差，才能求得相關(guān)系數(shù)。而從一般的認(rèn)識程序來看，只有相關(guān)關(guān)系密切的情況下，配合回歸方程才有意義；如果關(guān)系不密切，下一步的計算就不必要了，因而要求先計算相關(guān)系數(shù)以判斷相關(guān)關(guān)系的密切程度。(2)以這種方法計算出的，難以判斷是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)。在實際的相關(guān)分析中，—般不常用這種方法計算相關(guān)系數(shù)，因這種計算方法存在兩個缺陷：六、一元線性回歸估計（一）點估計利用表7-2的資料，建立回歸方程為

可以用回歸方程來對給定某一特定值時的值進行點估計，或者預(yù)測某一特定值的值。例如，假定廣告費用是65萬元時，運用回歸方程，我們可以得到：（萬元）因此，當(dāng)廣告投入65萬元時，月平均銷售額的點估計值是69.274萬元。（二）區(qū)間估計對于預(yù)測問題，除了知道點估計的預(yù)測值外，還希望知道預(yù)測的精度，因為點估計不能給出與估計有關(guān)的任何準(zhǔn)確信息。我們往往更希望能給出一個預(yù)測值的變動范圍，即進行區(qū)間估計。而這一預(yù)測值范圍比只給可信。這個問題也就是對于給定的顯著水平找一個區(qū)間，使對應(yīng)于某特定的實際