屆別2013屆學(xué)號畢業(yè)論文光脈沖傳輸中自陡效應(yīng)的數(shù)值仿真研究目錄摘要 1ABSTRACT 11光纖 11.1光纖介紹 11.1.1光纖工作原理 11.1.2光纖分類 21.2光子晶體光纖 31.2.1光子晶體光纖的優(yōu)點 31.2.2光子晶體光纖分類及工作原理 32數(shù)值算法 42.1光脈沖傳輸方程的推導(dǎo) 42.2數(shù)值算法 133自陡效應(yīng)對脈沖傳輸?shù)挠绊?143.1不考慮色散情況下的自陡效應(yīng) 153.2自陡效應(yīng)對基態(tài)孤子的影響 173.3自陡效應(yīng)對高階孤子的影響 19參考文獻(xiàn) 22致謝 23摘要本文主要對光脈沖傳輸中自陡效應(yīng)的數(shù)值仿真進(jìn)行研究。從波動方程出發(fā),對光脈沖在光纖中傳輸時所滿足的方程——非線性薛定諤方程進(jìn)行了理論推導(dǎo),介紹了理論研究光脈沖在光子晶體光纖中傳輸時所采用的數(shù)值模擬方法——分步傅里葉方法。然后用MATLAB軟件對存在自陡效應(yīng)時孤子的脈沖形狀進(jìn)行數(shù)值仿真。在不考慮色散情況下，隨著脈沖在光纖內(nèi)傳輸，其峰值移向脈沖后沿，脈沖就變得不對稱;結(jié)果，隨著傳輸距離的增加，后沿變得越來越陡。物理上，脈沖的群速度與光強有關(guān)，因此脈沖峰的移動速率較兩翼為慢。在不考慮GVD效應(yīng)的情況下，自陡在脈沖的后沿產(chǎn)生了光學(xué)沖擊。這是因為群速度與光強度有關(guān)，因而使得脈沖的峰值部分比兩翼傳輸?shù)寐?。GVD使沖擊消失，且使脈沖后沿變得相當(dāng)平坦，可是自陡仍使脈沖中心平移。峰值處比兩翼的速度慢，所以峰值被延遲并表現(xiàn)為向脈沖后沿移動。其趨向是輸入脈沖逐漸向孤子演變。自陡效應(yīng)導(dǎo)致高階孤子分裂成其構(gòu)成成分，這種現(xiàn)象稱為孤子衰變。對相當(dāng)大的值，兩個孤子在兩個孤子周期長度內(nèi)已互相分開，并且隨著在光纖內(nèi)的繼續(xù)傳輸，兩個孤子繼續(xù)分開。對較小的值，除了孤子分裂所需的距離較長外，也產(chǎn)生類似的行為。自陡效應(yīng)使兩個孤子以不同的速度傳輸，它們互相分開，并且隨傳輸距離線性增加。關(guān)鍵詞：自陡效應(yīng)；高階孤子；數(shù)值仿真；孤子衰變ABSTRACTThisarticlemainlyfromthesteepeffectinopticalpulsetransmissioninthenumericalsimulationforresearch.Fromwaveequation,theopticalpulsetransmissioninopticalfiberaresatisfyequation,nonlinearschrodingerequationhascarriedonthetheoreticalderivation,thispaperintroducesthetheorystudyoflightpulseinaphotoniccrystalfibertransmissionadoptedbythenumericalsimulationmethod,stepbystepFouriermethod.AnduseMATLABsoftwaretosteepeffecttothesolitonpulseshapeofnumericalsimulation.Withoutconsideringdispersionconditions,asthepulseinopticalfibertransmission,alongafteritspeakmovetopulse,pulsebecomesasymmetric;Asaresult,withtheincreaseoftransmissiondistance,thebecomingmoreprecipitous.Physically,pulsegroupvelocityisassociatedwithlightintensity,somobilerateofpulsepeakistwowingstoslow.UndertheconditionofnotconsideringtheeffectofGVD(gnuvisualdebugger),aftersteepinpulsealongtheoptical.Thisisbecausethegroupvelocityisassociatedwithlightintensity,thusmakesthepulsepeakpartthantwo-wingtransportslowly.GVD(gnuvisualdebugger)makeshockdisappears,andafterthepulsealongquiteflat,butsincetheabruptstillmaketranslationpulsecenter.Peakinslowerthanthewing,soafterpeakisdelayedandshowthepulsetomovealong.Thetrendisgraduallytotheinputpulsesolitonsevolution.Sincethesplitintoitssteepeffectleadtohigher-ordersolitoncomposition,thisphenomenoniscalledsolitondecay.Ofconsiderablevalue,twosolitonhasbeenseparatedfromeachotherintwosolitoncyclelength,andthecontinuedtransmissionintheopticalfiber,continuetoseparatethetwosoliton.Forsmallervalues,thedistanceislongerthanrequiredforthesplit,inadditiontothesolitonissimilarbehavior.Sincethesteepeffectmakesthetwosolitontransmissionatdifferentspeed,theyareseparatedfromeachother,andwiththeincreaseoftransmissiondistancelinear.Keywords:Self-Steepening；Higher-ordersoliton；numericalsimulation；Thesolitondecay1光纖1870年的一天，英國物理學(xué)家丁達(dá)爾到皇家學(xué)會的演講廳講光的全反射原理，他做了一個簡單的實驗：在裝滿水的木桶上鉆個孔，然后用燈從桶上邊把水照亮。結(jié)果使觀眾們大吃一驚。人們看到，放光的水從水桶的小孔里流了出來，水流彎曲，光線也跟著彎曲，光居然被彎彎曲曲的水俘獲了。人們曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)，光能沿著從酒桶中噴出的細(xì)酒流傳輸；人們還發(fā)現(xiàn)，光能順著彎曲的玻璃棒前進(jìn)。這是為什么呢？難道光線不再直進(jìn)了嗎？這些現(xiàn)象引起了丁達(dá)爾的注意，經(jīng)過他的研究，發(fā)現(xiàn)這是全反射的作用，即光從水中射向空氣，當(dāng)入射角大于某一角度時，折射光線消失，全部光線都反射回水中。表面上看，光好像在水流中彎曲前進(jìn)。后來人們造出一種透明度很高、粗細(xì)像蜘蛛絲一樣的玻璃絲——玻璃纖維，當(dāng)光線以合適的角度射入玻璃纖維時，光就沿著彎彎曲曲的玻璃纖維前進(jìn)。由于這種纖維能夠用來傳輸光線，所以稱它為光導(dǎo)纖維。光纖是光導(dǎo)纖維的簡寫，是一種利用光在玻璃或塑料制成的纖維中的全反射原理而達(dá)成的光傳導(dǎo)工具。光纖是20世紀(jì)的重大發(fā)明之一，其導(dǎo)光性能臻于完美，很難想象還會有更好的替代者。1.1光纖介紹微細(xì)的光纖封裝在塑料護套中，使得它能夠彎曲而不至于斷裂。通常，光纖的一端的發(fā)射裝置使用發(fā)光二極管或一束激光將光脈沖傳送至光纖，光纖的另一端的接收裝置使用光敏元件檢測脈沖。在日常生活中，由于光在光導(dǎo)纖維的傳導(dǎo)損耗比電在電線傳導(dǎo)的損耗低得多，光纖被用作長距離的信息傳遞。通常光纖與光纜兩個名詞會被混淆。多數(shù)光纖在使用前必須由幾層保護結(jié)構(gòu)包覆，包覆后的纜線即被稱為光纜。光纖外層的保護層和絕緣層可防止周圍環(huán)境對光纖的傷害，如水、火、電擊等。光纜分為：光纖，緩沖層及披覆。光纖和同軸電纜相似，只是沒有網(wǎng)狀屏蔽層。中心是光傳播的玻璃芯。1.1.1光纖工作原理因光在不同物質(zhì)中的傳播速度是不同的，所以光從一種物質(zhì)射向另一種物質(zhì)時，在兩種物質(zhì)的交界面處會產(chǎn)生折射和反射。而且，折射光的角度會隨入射光的角度變化而變化。當(dāng)入射光的角度達(dá)到或超過某一角度時，折射光會消失，入射光全部被反射回來，這就是光的全反射。不同的物質(zhì)對相同波長光的折射角度是不同的(即不同的物質(zhì)有不同的光折射率)，相同的物質(zhì)對不同波長光的折射角度也是不同。光纖就是基于以上原理而制作成的。光導(dǎo)纖維是由兩層折射率不同的玻璃組成。內(nèi)層為光內(nèi)芯，直徑在幾微米至幾十微米，外層的直徑0.1～0.2。一般內(nèi)芯玻璃的折射率比外層玻璃大1%。根據(jù)光的折射和全反射原理,當(dāng)光線射到內(nèi)芯和外層界面的角度大于產(chǎn)生全反射的臨界角時，光線透不過界面，全部反射[1]。圖1光纖的全內(nèi)反射示意圖早在19世紀(jì)，人們就已經(jīng)知道，光纖中引導(dǎo)光傳播的基本原理是全內(nèi)反射。雖然在19世紀(jì)20年代就制成了無包層的玻璃纖維，但直到20世紀(jì)50年代，才知道包層的使用能改善光線的特性，從而誕生了光纖光學(xué)這個領(lǐng)域。光纖受益于介電包層的思想并不很明顯，但有顯赫的歷史。20世紀(jì)60年代，這一領(lǐng)域的發(fā)展十分迅速，當(dāng)時的主要目的是利用光纖束傳輸圖像。這些早期的光纖按現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)看具有很高的損耗(典型值約為1000)，然而到1970年，這種情形發(fā)生了急劇的變化，石英光纖的損耗下降到了20的水平，與更早期的假設(shè)一致。隨著光纖制造技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，到1979年，已將波長附近的損耗降低到約0.2。損耗水平的限制主要來自于瑞利散射這個基本過程。1.1.2光纖分類光纖的種類很多，根據(jù)用途不同，所需要的功能和性能也有所差異。這里我們主要按傳輸模式進(jìn)行分類。光纖按光在其中的傳輸模式可分為單模和多模。多模光纖的纖芯直徑為50或62.5，包層外徑125，表示為50/125或62.5/125。單模光纖的纖芯直徑為8.3，包層外徑125，表示為8.3/125。故有62.5/125、50/125、9/125等不同種類。1．單模光纖單模光纖(SingleModeFiber)：單模光纖只有單一的傳播路徑，一般用于長距離傳輸，中心纖芯很細(xì)(芯徑一般為9或10)，只能傳一種模式的光。因此，其模間色散很小，適用于遠(yuǎn)程通訊，但還存在著材料色散和波導(dǎo)色散，這樣單模光纖對光源的譜寬和穩(wěn)定性有較高的要求，即譜寬要窄，穩(wěn)定性要好。2．多模光纜多模光纖(MultiModeFiber)-芯較粗(50或62.5)，可傳多種模式的光。但其模間色散較大，這就限制了傳輸數(shù)字信號的頻率，而且隨距離的增加會更加嚴(yán)重。因此，多模光纖傳輸?shù)木嚯x就比較近，一般只有幾公里。1.2光子晶體光纖光子晶體光纖(PhotonicCrystalFibers,PCF)又被稱為微結(jié)構(gòu)光纖(Micro-StructuredFibers,MSF)，近年來引起廣泛關(guān)注，它的橫截面上有較復(fù)雜的折射率分布，通常含有不同排列形式的氣孔，這些氣孔的尺度與光波波長大致在同一量級且貫穿器件的整個長度，光波可以被限制在低折射率的光纖芯區(qū)傳播。光子晶體光纖有很多奇特的性質(zhì)。例如，可以在很寬的帶寬范圍內(nèi)只支持一個模式傳輸；包層區(qū)氣孔的排列方式能夠極大地影響模式性質(zhì)；排列不對稱的氣孔也可以產(chǎn)生很大的雙折射效應(yīng)，這為我們設(shè)計高性能的偏振器件提供了可能。簡單地說，光子晶體具有波長選擇的功能，可以有選擇地使某個波段的光通過而阻止其它波長的光通過其中。光子晶體的出現(xiàn)，使人們操縱和控制光子的夢想成為可能。1.2.1光子晶體光纖的優(yōu)點1．光子晶體光纖(PhotonicCrystalfiber,PCF)主要的特點是，合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計能使PCF具備在所有波長上都支持單模傳輸能力，即無休止單模特性，這個特性與絕對尺寸無關(guān)，縮小或放大光纖截面都還可以保持單模傳輸；2.PCF還具有可控的色散特性，能夠在可見光波段具有零色散甚至能夠出現(xiàn)負(fù)色散，同時保持單模傳輸，傳統(tǒng)光纖所無法做到這點，它為短波長光孤子傳輸提供了可能性；3.PCF第三個特點是豐富的非線性效應(yīng)，通過減小PCF的模式面積，可以極大地增強光纖中的非線性效應(yīng)，這表明可以根據(jù)實驗需要來設(shè)計光纖截面，從而對PCF的非線性效應(yīng)強度進(jìn)行有效控制。由于PCF和普通光纖相比有許多突出的優(yōu)點，因此，PCF在光通信領(lǐng)域有著非常重要的應(yīng)用，可用于高能量、長距離傳輸。除此之外，PCF被廣泛應(yīng)用于光學(xué)的各個領(lǐng)域，例如光開關(guān)、波長轉(zhuǎn)換、可調(diào)濾波器高功率光纖激光器、高功率孤子傳輸和傳感器技術(shù)等等[2]。1.2.2光子晶體光纖分類及工作原理光子晶體光纖按最基本的傳輸特性可以分為兩大類：折射率引導(dǎo)型(IG-PCF)和帶隙引導(dǎo)型(PCF)。分別基于全內(nèi)反射效應(yīng)和光子帶隙效應(yīng)來反光。折射率引導(dǎo)型光子晶體光纖是由純石英纖芯和具有周期性空氣孔結(jié)構(gòu)的包層組成，由于空氣孔的加入，包層與纖芯相比具有較小的有效折射率，即由于石英-空氣包層的有效折射率小于纖芯的折射率，這種結(jié)構(gòu)的光子晶體光纖以類似全內(nèi)發(fā)射的機制導(dǎo)光，這一點與普通光纖相似。因此一個簡單的分析方法就是把這類光子晶休光纖等效為階躍型折射率光纖，得到包層的有效折射率后就可以用階躍型折射率光纖的方法加以分析。圖2折射率引導(dǎo)型帶隙引導(dǎo)型光纖的包層空氣孔結(jié)構(gòu)具有嚴(yán)格的周期性，而芯區(qū)是空氣，因此包層的有效折射率比芯區(qū)大，不能通過全內(nèi)反射機制導(dǎo)光。理論和實驗證明這種結(jié)構(gòu)的光子晶體光纖的傳輸率具有極強的波長依賴性，表明其導(dǎo)光機制為光子帶隙效應(yīng)。僅有落入帶隙范圍內(nèi)的光波能夠被傳輸，而其他的光在傳輸?shù)某跏茧A段就泄漏掉。圖3帶隙引導(dǎo)型2數(shù)值算法2.1光脈沖傳輸方程的推導(dǎo)光纖中光脈沖的傳輸服從麥克斯韋方程組，在國際單位制中，該方程可寫成： (2.1-1) (2.1-2) (2.1-3) (2.1-4)式中，E，H分別為電場強度矢量和磁場強度矢量；D，B分別為電位移矢量和磁感應(yīng)強度矢量；電流密度矢量J和電荷密度表示電磁場的源，在光纖中這樣無自由電荷的介質(zhì)中，顯然J=0，。介質(zhì)內(nèi)傳輸?shù)碾姶艌鰪姸菶和H增大時，電位移矢量D和磁感應(yīng)強度B也隨之增大，它們通過物質(zhì)方程聯(lián)系起來， (2.1-5) (2.1-6)式中，為真空中介電常數(shù)；為真空中的磁導(dǎo)率，P，M分別為感應(yīng)電極化強度和磁計劃強度，在光纖這樣的無磁性介質(zhì)中M＝0。描述光纖中光傳輸?shù)牟▌臃匠炭梢詮柠溈怂鬼f方程組得到。其具體步驟是： (2.1-7)再把式2.1-6帶入上式得 (2.1-8)在光纖這樣的無磁性介質(zhì)中M＝0，代入上式得 (2.1-9)再把式2.1-2帶入上式中得 (2.1-10)在光纖中這樣無自由電荷的介質(zhì)中，J=0，所以 (2.1-11)把式2.1-5帶入上式得 (2.1-12)因為，為真空中的光速，所以推得 (2.1-13)利用公式化簡得到： (2.1-14)為完整表達(dá)光纖中光波的傳播，還需要找到電機化強度P和電場強度E的關(guān)系。在遠(yuǎn)離介質(zhì)的共振頻率處(感興趣的0.5—2波長范圍內(nèi)光纖的非線性效應(yīng)正是這種情況)，且只考慮三階非線性效應(yīng)，則感應(yīng)電極化強度由兩部分組成 (2.1-15)把2.1-15代入2.1-14得 (2.1-16)由公式將2.1-16進(jìn)行傅里葉變換得 (2.1-17) (2.1-18) (2.1-19) (2.1-20)且，由上述傅里葉變換，所以2.1-16對應(yīng)的福利葉變換公式有： (2.1-21)在公式2.1-15中，線性部分為： (2.1-22)式中，是線性各向同性介質(zhì)的電極化率。在光脈沖強度不大的情況下，可以不考慮。將變量換成(目的將后來的等式配成卷積積分)則應(yīng)換成這樣上式可寫成 (2.1-23) (2.1-24) (2.1-25) (2.1-26) (2.1-27)將及2.1-27帶入2.1-17得 (2.1-28)令，,有： (2.1-29)假設(shè)光纖中傳播的光信號是由單色波或準(zhǔn)單色波經(jīng)信號調(diào)制得到，對于一個強度調(diào)制信號可以寫成 (2.1-30)式中是方向單位矢量，也就是假設(shè)光波是線偏振波。是信號的包絡(luò)，相對于光載波頻率，是一個隨時間慢變化的函數(shù)。是光場的橫向分布函數(shù)。分別是光載波的頻率和傳輸常數(shù)。由2.1-30式所給出的光信號，在中心頻率附近作傅里葉展開，即 (2.1-31) (2.1-32)式中和表示傅里葉變換和逆變換。信號包絡(luò)函數(shù)和它的頻域表示則分別為： (2.1-33) (2.1-34)式中，。 (2.1-35) (2.1-36) (2.1-37)將2.1-31代入2.1-29得到： (2.1-38) (2.1-39)將上式帶入得： (2.1-40)由于，兩邊同時除以后得下式 (2.1-41)由于是z的慢變化函數(shù)，而且很大，因而在上式中可以忽略項，將代入2.1-43，得到的方程 (2.1-42)方程兩邊同除以，得： (2.1-43)假設(shè)方程2.1-43等于,即: (2.1-44)方程2.1-44分離成兩個關(guān)于和的方程： (2.1-45) (2.1-46)2．1-45式就是光纖中，頻率為的模式場所滿足的波動方程，是其傳輸常數(shù)。2.1-46式則是信號脈沖包絡(luò)函數(shù)沿傳播方向的演化方程。對于窄帶信號，即，有，所以有： (2.1-47)帶入2.1-46式得 (2.1-48)即 (2.1-49)所以得 (2.1-50)方程2.1-50的傅里葉逆變換給出了的傳輸方程。為了解方程，在頻率處把展成泰勒級數(shù)。泰勒(taylor)中值定理：如果函數(shù)在含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對任一，有 (2.1-51)以此類推將換成，把換成，得 (2.1-52)即 (2.1-53)其中， (2.1-54)把式2.1-52代入2.1-50，得： (2.1-55)對2.1-55式作傅里葉逆變換。在傅里葉變換中，用微分算符代替由公式推得 (2.1-56) (2.1-57) (2.1-58) (2.1-59)所以得 (2.1-60)以上推導(dǎo)中，我們忽略了的影響，當(dāng)光脈沖很短時，就必須要考慮非線性的影響。如果只考慮到三階色散，這時的傳輸方程為： (2.1-61)式中，為非線性系數(shù)。通常，為了求解方便，引入運動參考系，它以光信號的群速度運動。在這個參考系中的時間變量為： (2.1-62)因為： (2.1-63)所以有 (2.1-64)積分換分，目的是將 (2.1-65)得 (2.1-66)方程2.1-66簡化為： (2.1-67)其中，為二階色散系數(shù)，為三階色散系數(shù)，為非線性系數(shù)。對標(biāo)準(zhǔn)的單模光纖，在處，，，(1ps=s,1fs=s)。(注意：和都有可能為正或為負(fù))引入歸一化變量 (2.1-68)用2.1-68代入方程2.1-67，得： (2.1-69) (2.1-70) (2.1-71) (2.1-72)將2.1-69,2.1-71,2.1-72帶入2.1-68得： (2.1-73)定義如下的變量，并代入方程2.1-73 (2.1-74)得到歸一化后光脈沖傳輸方程,將2.1-74帶入2.1-73得到： (2.1-49) (2.1-50)的整數(shù)值的物理意義與孤子階數(shù)相聯(lián)系，時對應(yīng)基階孤子，當(dāng)時對應(yīng)著高階孤子。方程2.1-76就是我們在后面程序編碼時所要用到的歸一化后的方程。在方程2.1-76中，決定了群速度色散是在光纖的正常色散區(qū)()還是在反常色散區(qū)()。注意：2.2數(shù)值算法2.1節(jié)推導(dǎo)出的光脈沖傳輸方程是非線性偏微分方程，在一般情況下不適于求解，因此為了闡明光纖中的非線性效應(yīng)，通常需要做數(shù)值處理。為達(dá)到這一目的，可采取許多數(shù)值方法，這些方法可分為兩大類：1有限差分法；2偽頻譜法。一般來說，達(dá)到相同的精度，偽頻譜法較有限差分法快一兩個數(shù)量級。分步傅立葉方法是一種已經(jīng)廣泛應(yīng)用到解非線性色散介質(zhì)的脈沖傳輸問題的偽頻譜法，這種方法相對于大多數(shù)有限差分法有較快的速度，部分原因是采用了快速傅立葉變換算法。在下面介紹分步傅立葉算法時，為簡單起見，我們以方程： (2.2-1)為例來進(jìn)行求解。為便于了解分步傅立葉算法的基本原理，把方程2.2-1改成如下形式 (2.2-2)式中，是差分算符，它表示線性介質(zhì)的色散和吸收；是非線性算符，它決定了脈沖傳輸過程中光纖的非線性效應(yīng)。這些算符表達(dá)式為：(2.2-3)(2.2-4)一般來說，沿光纖的長度方向，色散非線性是同時作用的。分步傅立葉方法是通過假定在傳輸過程中，光場每通過一小段距離h,色散和非線性效應(yīng)可分別作用，得到近似結(jié)果。更準(zhǔn)確地說，從到的傳輸過程中分兩步進(jìn)行。第一步，僅有色散作用，令方程2.2-2中的；第二步，僅有非線性作用，令方程2.2-2中的。其數(shù)學(xué)表示為： (2.2-5)注意到，在僅有色散項參與計算時存在高階的偏微分項，在時域中不方便計算，因此可利用傅立葉變換，把偏微分方程變換為代數(shù)方程，進(jìn)行運算。傅立葉變換對定義如下： (2.2-6)根據(jù)傅立葉變換的微分性質(zhì)，算符中的時間微分用代替，利用傅立葉變換和逆變換，則表達(dá)式2.2-5變?yōu)椋? (2.2-7)在計算時可采用快速傅立葉變換(FFT)算法，使得方程2.2-7的數(shù)值計算速度更快。正是這個原因，分步傅立葉方法較大多數(shù)有限差分法快一兩個數(shù)量級。為估計分步傅立葉算法的精度，注意到方程2.2-2的一個正式的精確解為： (2.2-8)假定與無關(guān)。比較方程2.2-5和2.2-8表明，分步傅立葉算法忽略了算符和的非對易性。由兩個非對易性操作算符和的貝克一豪斯多夫(Baker-Hausdorff)公式 (2.2-9)式中。把代入方程2.2-9，可以發(fā)現(xiàn)分步傅立葉算法可以精確到分步步長的二階項。采用一個不同的步驟使光脈沖從到一小段內(nèi)傳輸，可改善分步傅立葉方法的精度，在此過程中，由下式代替方程2.2-5： (2.2-10)此過程與上一過程主要的不同在于非線性效應(yīng)包含在小區(qū)間的中間而不是邊界。由于方程2.2-10中指數(shù)算符的對稱形式，該方法稱為對稱分步傅立葉算法。采用方程2.2-10的對稱形式的最重要的優(yōu)點是主要誤差項來自方程2.2-9中的雙對易子，它是步長的三階項，因此其精度要比采用式2.2-5進(jìn)行計算更高。3自陡效應(yīng)對脈沖傳輸?shù)挠绊?.1不考慮色散情況下的自陡效應(yīng)光脈沖的自陡是群速度對光強的依賴關(guān)系造成的，它對SPM(自相位調(diào)制)的影響最先是在液態(tài)的非線性介質(zhì)中討論的，后來才擴展到脈沖在光纖中傳輸?shù)那樾?。自陡?dǎo)致了超短脈沖對SPM展寬頻譜的不對稱性。為了簡單起見，忽略了光纖的損耗()，并定義歸一化距離，得方程 (3.1-1)將帶入以上方程，并分離其實部和虛部，可得 (3.1-2) (3.1-3)由于強度方程3.1-2與相位方程3.1-3已分離開來，它很容易利用特征值方法求解。其通解為 (3.1-4)這里用到了初始條件，其中描述了處的脈沖形狀。方程3.1-4表明，每個從其初始位置直線移動，且直線的斜率與光強有關(guān)，此特點將導(dǎo)致脈沖畸變。例如考慮高斯脈沖的情形 (3.1-5)由方程3.1-4可得經(jīng)傳輸距離后得脈沖形狀為 (3.1-6)要了解的隱含關(guān)系，需要對每個求解，已得到給定的值處的脈沖形狀。圖4給出了處且的脈沖形狀的計算結(jié)果。虛線表示入射處()脈沖的形狀圖4無色散情況下的高斯脈沖自陡脈沖后沿的自陡可能產(chǎn)生光波沖擊(opticalshock)，它類似于在聲波前沿產(chǎn)生的聲波沖擊。通過令沖擊位置處為無限大，由方程3.1-6得到?jīng)_擊形成的臨界距離，它可表示為 (3.1-7)雙曲正割脈沖有類似的關(guān)系式，只是需要改動一下數(shù)字系數(shù)(把0.39改成0.43)，對于脈寬約為1ps，峰功約為1W的皮秒脈沖，沖擊距離約為100km；然而，對于<100fs,>1kW的飛秒脈沖，<1m。因此，即使光纖只有幾厘米長，也會導(dǎo)致脈沖發(fā)生顯著的自陡。隨著脈沖在光纖內(nèi)傳輸，其峰值移向脈沖后沿，脈沖就變得不對稱;結(jié)果，隨著傳輸距離的增加，后沿變得越來越陡。物理上，脈沖的群速度與光強有關(guān)，因此脈沖峰的移動速率較兩翼為慢。自陡也影響SPM致頻譜展寬。在無色散情形下，相位可以通過求解方程3.1-3得到，頻譜可采用下式計算得到， (3.1-8)圖5給出了時頻譜的計算結(jié)果。最值得注意的是頻譜的不對稱性，即紅移峰較藍(lán)移峰有較大的峰幅；另一個值得注意的特征是，藍(lán)側(cè)(用受激拉曼散射的術(shù)語通常稱為反斯托克頓側(cè))較紅測(斯托克頓側(cè))有更大的SPM致頻譜展寬。這兩個特征可用自陡所致脈沖形狀的變化來定性解釋：首先由于沖形狀的不對稱導(dǎo)致了頻譜的不對稱；其次圖5處高斯脈沖的頻譜由于SPM在脈沖后沿附近產(chǎn)生藍(lán)頻率分量，較陡的脈沖后沿意味著藍(lán)側(cè)有更寬的頻譜展圖。在無自陡的條件下，對于圖5所用到的參量值，，應(yīng)該出現(xiàn)六峰對稱譜。自陡展寬了藍(lán)側(cè)部分，高頻處峰幅度的下降是因為相同的能量分布到了更寬的頻譜范圍。3.2自陡效應(yīng)對基態(tài)孤子的影響當(dāng)脈沖寬度<5ps時，必須討論高階非線性和高階色散效應(yīng)，并要用到方程3.1-1。其中，通過做變換 (3.2-1)引入以群速度移動的參考系(即所謂的延時系)。利用引入的孤子單位，方程3.2-1具有如下形式 (3.2-2)式中，假設(shè)脈沖在反常GVD區(qū)()傳輸，并且忽略了光纖損耗()。參量，和分別描述三界色散(TOD)，自陡和脈沖內(nèi)拉曼散射效應(yīng)，它們的表達(dá)式為 (3.2-3)這三個參量都與脈沖寬度成反比，并且當(dāng)ps時，可以忽略；而對于飛秒脈沖，它們卻變得很明顯。這里討論自陡現(xiàn)象對孤子的影響。為突出參量描述的自陡效應(yīng),將方程3.2-2中的和設(shè)為零，則光纖中脈沖的演變由方程 (3.2-4)描述。在不考慮GVD效應(yīng)的情況下，自陡在脈沖的后沿產(chǎn)生了光學(xué)沖擊。這是因為群速度與光強度有關(guān)，因而使得脈沖的峰值部分比兩翼傳輸?shù)寐VD使沖擊消失，且使脈沖后沿變得相當(dāng)平坦，可是自陡仍使脈沖中心平移。圖6給出了在s=0.2和時，對入射脈沖為，數(shù)值解方程3.2-4畫出的和10處的脈沖波形和頻譜。因為對s≠0，峰值處比兩翼的速度慢，所以峰值被延遲并表現(xiàn)為向脈沖后沿移動。此延遲對于來說，可由一個簡單的表達(dá)式很好的近似。盡管脈沖在傳輸時稍有展寬(在=10處約為20%)，可是仍保持其孤子特性。這說明方程3.2-4具有孤子解，其趨向是輸入脈沖逐漸向孤子演變。這樣的解確實存在，并具有以下形式 (3.2-5)式中，與載頻的移動有關(guān)，這種移動導(dǎo)致群速度改變，從圖6所見的峰值延遲，就是因為群速度變化引起的。的明確形式與和有關(guān)。當(dāng)=0時，簡化為方程3.2-6的雙曲正割形式。