學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學(xué)一、樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差1.極差（全距）是數(shù)據(jù)組的最大值與最小值的差。它反映了一組數(shù)據(jù)的變化的最大幅度，它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感。2.方差是各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差xi—（i=1，2,…，n）平方的平均數(shù)。它反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.一般地，設(shè)樣本數(shù)據(jù)分別是x1，x2，x3，…，xn，樣本的平均數(shù)為，則方差s2=。3。標(biāo)準(zhǔn)差是各個(gè)樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離.一般用s表示.標(biāo)準(zhǔn)差s=.深化升華標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越集中；反之,標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分散.在實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差常被理解為穩(wěn)定性.例如，在比較兩人的成績時(shí),標(biāo)準(zhǔn)差小就意味著成績穩(wěn)定;在描述產(chǎn)品的質(zhì)量時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明產(chǎn)品的質(zhì)量越穩(wěn)定.二、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算步驟(1）算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi—x（i=1，2,…，n）;（3)算出（xi-)2(i=1，2，…，n）；（4）算出(xi—x)2（i=1，2，…，n）這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差s2=；（5）算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=.說明:①標(biāo)準(zhǔn)差的大小受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響,如數(shù)據(jù)之間變化大，求得的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小。標(biāo)準(zhǔn)差、方差都較好地反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大,反之，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.②在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，在各數(shù)據(jù)上加上或減去一個(gè)常數(shù)，其數(shù)值不變.③當(dāng)每個(gè)數(shù)據(jù)乘以或除以一個(gè)常數(shù)a,則所得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來標(biāo)準(zhǔn)差的a倍或1/a。④標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會超過極差，其取值范圍是［0，+∞），若一組數(shù)據(jù)的值大小相等,沒有波動變化，則標(biāo)準(zhǔn)差為0.⑤若對數(shù)據(jù)處理時(shí)的計(jì)算量較大，要借助科學(xué)計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，一般科學(xué)計(jì)算器上都設(shè)有計(jì)算平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的按鍵，使用時(shí)要看說明書（不同的計(jì)算機(jī)，參數(shù)可能不同）進(jìn)入統(tǒng)計(jì)狀態(tài)就可以求值了.因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不一致，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然標(biāo)準(zhǔn)差、方差都較好地反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度，但在解決實(shí)際問題時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用廣泛.聯(lián)想發(fā)散(1)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，方差為s2，則ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差為a2s2；特別地，當(dāng)a=1時(shí),則有x1+b，x2+b，…，xn+b的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都減去相同的一個(gè)常數(shù)，其方差是不變的，即不影響這組數(shù)據(jù)的波動性；（2）方差的另一表示形式：s2=(x12+x22+…+xn2-）。三、對總體平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)如何獲得總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差呢？通常的做法是用樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好，只要樣本的代表性強(qiáng)就可以用來對總體作出客觀的判斷。如要考察一批燈泡的質(zhì)量,我們可以從中隨機(jī)抽取一部分作為樣本；要分析一批鋼筋的強(qiáng)度，可以隨機(jī)抽取一定數(shù)目作為樣本。誤區(qū)警示需要注意的是,同一個(gè)總體,抽取的樣本可以是不同的。如一個(gè)總體包含6個(gè)個(gè)體，現(xiàn)在要從中抽出3個(gè)作為樣本，所有可能的樣本會有20種不同的結(jié)果,若總體與樣本容量較大,可能性就更多,而只要其中的個(gè)體是不完全相同的，這些相應(yīng)的樣本頻率分布與平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差都會有差異。這就會影響到我們對總體情況的估計(jì)。典題·熱題知識點(diǎn)一方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算例1求下列各組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）：（1)1，2,3,4，5，6，7，8，9；（2）11，12,13,14，15，16，17，18，19；（3)10，20，30，40，50，60,70,80，90。并分析由這些結(jié)果可得出什么一般的結(jié)論？思路分析:通過三組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)總結(jié)出一般規(guī)律,利用方差、標(biāo)準(zhǔn)差求解。解：（1）=5,s2=［（1-5)2+(2-5）2+…+（9—5）2］=6。7，s==2。6.（2）==15。s2=［（11-15)2+（12-15）2+…+(19—15）2］=6.7，s==2。6.（3）=50.s2=[(10-50)2+(20—50）2+…+(90—50)2］=666.7，s==25。8。巧妙變式一組數(shù)據(jù)加上相同的數(shù)后，方差、標(biāo)準(zhǔn)差不變，都乘以相同的倍數(shù)n后,方差變?yōu)樵瓉淼膎2倍，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膎倍。即一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，方差為s2，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則x1+a,x2+a，…，xn+a方差為s2,標(biāo)準(zhǔn)差為s;nx1，nx2，…,nxn方差為n2s2，標(biāo)準(zhǔn)差為ns.知識點(diǎn)二利用方差、標(biāo)準(zhǔn)差對樣本進(jìn)行分析例2對自行車運(yùn)動員甲乙在相同條件下進(jìn)行了6次測試，測得他們的最大速度（m/s)的數(shù)據(jù)如下表：甲273830373531乙332938342836試判斷選誰參加某項(xiàng)重大比賽更合適.思路分析：可以從平均成績及方差、標(biāo)準(zhǔn)差方面來考察樣本數(shù)據(jù)的水平及穩(wěn)定性.解：他們的平均速度為：=（27+38+…+31）=33.=（33+29+…+36）=33.他們的平均速度相同，再看他們的方差：s甲2=［(-6）2+52+(-3）2+42+22+（-2）2]=.s乙2=［（—4)2+52+12+(-5)2+32］=.則s甲2＞s乙2，即s甲＞s乙。故乙的成績比甲穩(wěn)定.所以選乙參加比賽更合適.標(biāo)準(zhǔn)差、方差是反映數(shù)據(jù)波動程度的量,它們?nèi)≈档拇笮?說明數(shù)據(jù)的離散程度。即樣本數(shù)據(jù)對于平均數(shù)的平均波動幅度.例3甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖如圖2-3-1:圖2—3-1(1）求出這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差；（2）比較兩名同學(xué)的成績，談?wù)勀愕目捶?思路分析:首先由莖葉圖讀出數(shù)據(jù)，再利用科學(xué)計(jì)算器求出平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，依據(jù)結(jié)果進(jìn)行比較,并與莖葉圖比較統(tǒng)計(jì)作用。解：（1）用科學(xué)計(jì)算器得=87，s甲=12。7，=95，s乙=9.7。（2）由=87＜=95,且s甲=12.7＞s乙=9。7，故甲的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況不如乙的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況.“從這個(gè)莖葉圖上可以看出，乙同學(xué)的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是99；甲同學(xué)的得分情況除一個(gè)特殊得分外，也大致對稱，中位數(shù)是86。因此乙同學(xué)發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比甲同學(xué)好.誤區(qū)警示通過以上實(shí)例分析，可以看出反映樣本數(shù)據(jù)的基本特征量眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差是從不同的方面或角度來“看待”樣本數(shù)據(jù)的，對于不同的樣本它們各有優(yōu)、缺點(diǎn).在實(shí)際問題中平均值使用頻率較高，但它受極端值的影響較明顯，故容易掩蓋實(shí)際情況，此時(shí)常常用標(biāo)準(zhǔn)差來進(jìn)一步刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度，以便更準(zhǔn)確地反映樣本數(shù)據(jù)的真實(shí)情況，在實(shí)際生活中，也往往利用這個(gè)道理來比較水平的高低、質(zhì)量好壞等.由于平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差更容易刻畫樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，所以對求解樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的運(yùn)算必須熟練，必要時(shí)可使用計(jì)算器。例4甲、乙兩工人同時(shí)加工一種圓柱零件，在他們所加工的零件中各抽取10個(gè)進(jìn)行直徑檢測,測得數(shù)據(jù)如下（單位：mm）：甲：19。9,19.7，19.8，20.0,19。9，20.2，20。1，20.3，20。2，20。1；乙：20。0,20.2,19。8,19.9，19。7，20.2，20.1，19。7,20。2，20。4.（1）分別計(jì)算上面兩個(gè)樣本的平均數(shù)和方差；（2）若零件規(guī)定直徑為20。0±0.5（mm），根據(jù)兩個(gè)樣本的平均數(shù)和方差，說明誰加工的零件的質(zhì)量較穩(wěn)定.思路分析:此題數(shù)據(jù)較大，但發(fā)現(xiàn)所有數(shù)據(jù)都在某個(gè)數(shù)值上下擺動，可利用s2=.推導(dǎo)如下：一般地,如果將一組數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn同時(shí)減去一個(gè)數(shù)a,得到x1′=x1-a，x2′=x2-a，…,xn′=xn-a，所以=(x1+x2+…+xn)=(x1′+x2′+…+xn′+na）=+a.得公式s2=可使計(jì)算簡便.解：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)在20。0上下波動,故取a=20.0，列表如下。表1（甲工人）xixi′（x1-20.0）xi′219.919。719.820.019.920。220。120.320。220.1-0.1—0。3-0。20—0。10。20.10.30.20。10.010。090.0400.010.040。010.090。040。01合計(jì)0。20。34表2（乙工人)xixi′（x1-20.0）xi′220.020.219.819。919。720。220.119.720.220.400。2-0.2—0.1—0.30。20。1-0。30.20。400。040。040。010.090.040。010.090.040.16合計(jì)0.20.52=0。02+20。0=20.02（mm），=0。02＋20.0=20。02（mm），s甲2=0。1×［0。34—10×0.022]=0.0336(mm2），s乙2=0。1×[0.52—10×0。022］=0.0516（mm2）?！遱甲2＜s乙2，∴甲工人加工零件的質(zhì)量比較穩(wěn)定.巧解提示比較兩人加工零件的質(zhì)量的穩(wěn)定性，這里通過平均數(shù)比較不出來，需要使用方差來比較，方差越大說明波動性較大,質(zhì)量越不穩(wěn)定。一般地,方差和標(biāo)準(zhǔn)差通常用來反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，在統(tǒng)計(jì)中,樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差通常用來估計(jì)總體數(shù)據(jù)的波動大小。當(dāng)數(shù)據(jù)較大且數(shù)據(jù)都在某個(gè)數(shù)值上下擺動時(shí)可考慮利用s2=。計(jì)算方差可減少數(shù)據(jù)運(yùn)算量.問題·探究交流討論探究問題估計(jì)總體的數(shù)字特征過程中,我們經(jīng)常用到樣本均值與樣本標(biāo)準(zhǔn)差,這兩個(gè)有什么差別嗎?探究過程:學(xué)生甲：我認(rèn)為它們兩個(gè)在表達(dá)式上就不同，假設(shè)經(jīng)過隨機(jī)抽樣得到樣本為x1、x2，…，xn，則樣本均值.樣本標(biāo)準(zhǔn)差s==.學(xué)生乙：我看出來它們還有一些不同的地方，先來看下面的例子。（1)有兩個(gè)學(xué)生A和B，兩個(gè)人兩次連續(xù)考試的平均分都是60分，A是40分和80分，B是65分和55分。顯然A的成績忽上忽下，而B的成績較穩(wěn)定。(2）有兩組學(xué)生（每組3人)，一次數(shù)學(xué)考試成績?nèi)缦?單位：分)：甲組3人得分分別為6080100乙組3人得分分別為798081顯然，甲組學(xué)生和乙組學(xué)生的平均分都為80,但是這兩組學(xué)生分?jǐn)?shù)有很大的差異,甲組學(xué)生的成績波動較大，相對于平均分?jǐn)?shù)的差異很大,即分散程度（離中趨勢）較大,而乙組學(xué)生的成績