目錄

不等式.............................................................2

導(dǎo)數(shù)與定積分......................................................14

復(fù)數(shù)..............................................................20

概率與統(tǒng)計(jì)........................................................24

函數(shù)...............................................................31

集合..............................................................46

計(jì)數(shù)原理..........................................................54

解析幾何..........................................................60

立體幾何..........................................................78

邏輯..............................................................89

平面向量..........................................................91

三角函數(shù)..........................................................98

數(shù)列..............................................................110

算法..............................................................124

不等式選講.......................................................129

幾何證明選講.....................................................132

矩陣與變換.......................................................134

坐標(biāo)系與參數(shù)方程.................................................135

不等式

90年代的高考試卷中往往有一個(gè)解含參數(shù)的不等式解答題，而在近幾年的高考中單獨(dú)

考察不等式的題目越來越少.這種變化不是說明近幾年高考不等式章節(jié)在的地位在逐漸降低,

于此相反，近幾年的高考中，多將不等式知識(shí)的考察滲透在了與其他板塊知識(shí)的綜合考察

中.因此不等式知識(shí)在高考中的考察由原來的顯性考察轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N隱性考察、一種滲透考察，

歷年高考?jí)狠S題中的數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程與不等式、圓錐曲線與不等式的綜合問題說

明對不等式章節(jié)的考察不僅沒有降低的意識(shí)，反而有加強(qiáng)的趨勢

希望同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)注意：

①熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，這是解決不等式問題的工具。

②不等式知識(shí)與數(shù)列、函數(shù)、方程、圓錐曲線等知識(shí)的滲透.

不等式知識(shí)體系中的核心問題主要有以下幾個(gè)方面：

（1）解不等式問題

解一般不等式：一元二次，分?jǐn)?shù)，高次和絕對值不等式，利用函數(shù)思想解含參數(shù)不等式

的解法。

（2）線性規(guī)劃問題

（3）不等式的性質(zhì)和不等式的證明問題：

不等式的性質(zhì)是解不等式和不等式證明的基礎(chǔ)工具，希望同學(xué)們能夠熟練掌握。不等式

的證明問題中，歸納出幾點(diǎn)：

一元含參不等式，一般來講，求導(dǎo)是一種基礎(chǔ)方法，基本可以解決很多題目。這類題目

一般與函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的知識(shí)相關(guān)，利用函數(shù)，導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)證明不等式數(shù)列不等式的證明。

比如說一元不等式的恒成立問題，可以將不等式轉(zhuǎn)換成某一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的最值問題來求解,

就可以運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值。

多元不等式的求解和證明中，往往需要使用均值不等式和柯西不等式。

與數(shù)列有關(guān)的不等式，一般難度較高，出現(xiàn)在高考試卷的最后幾道大題中，并且分幾個(gè)

小問，在解題中

I.注意利用題中所給結(jié)論，很多情況下，第二問需要用到第一問給的結(jié)論，第三問需

要前兩問的結(jié)論。

II.熟練掌握數(shù)列求和的方法

III.注意積累放縮技巧，在求和之類的問題不能直接求得的時(shí)候，需要估計(jì)。其中常用

的幾種方法，包括裂項(xiàng)求和，無窮縮比數(shù)列的求和等。

基礎(chǔ)篇

（10北京1）集合尸={xeZ[0<x<3},M={re/?|x2<9},則尸口加=

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{x|0<x<3}D.{x|0<x<3}

考點(diǎn)：不等式的求解和集合運(yùn)算

解析：集合P容易求得，P={1,2,3},本題關(guān)鍵在于求集合M,根據(jù)不等式的運(yùn)算法則，

M=[-3,3],PCI/={0,1,2}。這種題目簡單但考的很基礎(chǔ)，一般在選擇題的前幾道題目中

出現(xiàn)。

答案：B

1w

(10安徽2)若集合Z=，xk)g]卜則

A.(-8,o]u——,+°0

、2)

「萬A

C.(-0°,0]U-^-,+8

考點(diǎn)：集合運(yùn)算對數(shù)函數(shù)和不等式的運(yùn)算

規(guī)律方法：利用函數(shù)性質(zhì)

解析：對于函數(shù)，首先考慮定義域，則x>0；該題目中的對數(shù)函數(shù)為遞減，所以xWJ,

2

最后6M=（-8,0]U寧,+8本題注重基礎(chǔ)，而且綜合眾多考點(diǎn)，是一道好題。

I2?

O

答案：A

注意：在涉及到函數(shù)問題時(shí)，首先考慮定義域

（10全國I13）不等式J2./+1-￡1的解集是.

考點(diǎn)：不等式的解法

規(guī)律方法：轉(zhuǎn)化與化歸

解析：原不等式等價(jià)于12'+14（*+1）,解得owxw2.本小題主要考查根式不等式

x+120

的解法，利用平方去掉根號(hào)是解根式不等式的基本思路，也讓轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)得

淋漓盡致.

答案：{x|0<x<2}

x~—x—6

（10全國II5）不等式^」>0的解集為（）

x-1

A.{x|x<-2,>3}B,卜,<-2,或1<x<3}

C.卜卜2cx<1,曲>3}D.卜卜2cx<1,或l<x<3}

考點(diǎn)：分式不等式與高次不等式的解法

規(guī)律方法：數(shù)軸穿根法解高次不等式

解析：題目中可以將等效-~~>0X尸：：2>0=(X—3)(x+2)(x-l)>0

x-i(x_1)

是先進(jìn)行因式分解，而后不等式左右兩邊同乘以(x—1)2的正數(shù)，其中xH1.用數(shù)軸

穿根法解得一2<xVl或x>3,本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法

答案：C

擴(kuò)展：本題若為一道計(jì)算題，則需要用分類討論的方法，即分別討論x2,-2<

x<1,l<x<3和x>3的情況，最后解出不等式。

(10課標(biāo)8)設(shè)偶函數(shù)/(x)滿足/(X)=X3—8(X?0),則{巾(萬一2)>0}=

A.{x|x<-2^x>4)B.{x[x<>4)

C.{xlx<>6}D.{xlx<>2}

考點(diǎn)：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式的方法

規(guī)律方法：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式偶函數(shù)

解析：當(dāng)x20時(shí)，由/(》)=/-8>0得x>2

又/(x)為偶函數(shù),，/(x)>0時(shí)x>2或x<-2

.\/(x-2)>0<=>x-2>2WU-2<-2,即x>4或x<0,選B

另法：(特征分析法)偶函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于夕軸對稱，函數(shù)y=/(x-2)的圖形必關(guān)

于直線x=2對稱，由此可知不等式/(X-2)>0的解集應(yīng)該關(guān)于2對稱。

答案：B

注意：近幾年來函數(shù)與不等式結(jié)合的考查是近年來高考中不等式的特點(diǎn)，所以同學(xué)們

復(fù)習(xí)的時(shí)候要適當(dāng)?shù)募訌?qiáng)這一塊的訓(xùn)練。

x2—1,

(10全國卷II3)若變量x,y滿足約束條件,?之匕則z=2x+歹的最大值為

3x+2y<5

A.1B.2C.3D.4

考點(diǎn)：簡單的線性規(guī)劃問題.

規(guī)律方法：線性規(guī)劃

解析：可行域是由力(―1,—1),5(-1,4),C(l,l)構(gòu)成的三角形，將z=2x+y化成

y=-2x+z,z即直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),可知目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)C時(shí)最大,最大值為3。

答案：C

注意：線性規(guī)劃問題是近年來高考的熱點(diǎn)，一般以選擇題和填空題為主，以基礎(chǔ)題和中

檔題居多，同學(xué)們在復(fù)習(xí)的過程中注重概念和基礎(chǔ)，熟練掌握圖解法，要做到數(shù)圖結(jié)合。

x+y-ll>0

（10北京7）設(shè)不等式組<3x-y+320表示的平面區(qū)域?yàn)?。，若指?shù)函數(shù)少=優(yōu)的圖

5x-3j/+9<0

象上存在區(qū)域。上的點(diǎn)，則“的取值范圍是

A.（1,3]B.[2,3]C.（1,2]D.[3,+8）

考點(diǎn)：線性規(guī)劃、指數(shù)函數(shù)

規(guī)律方法：劃歸

解析：這是一道略微靈活的線性規(guī)劃問題，作出區(qū)域。的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù)夕="的圖

象，能夠看出，當(dāng)圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點(diǎn)（2,9）時(shí)，?？梢匀〉阶畲笾?,而顯然只要a大

于1,圖象必然經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點(diǎn).

答案：A

提高篇

x>l

（10福建8）設(shè)不等式組<x—2y+320所表示的平面區(qū)域是,平面區(qū)域是。2與R

y>x

關(guān)于直線3x—4k9=0對稱，對于d中的任意一點(diǎn)4與。2中的任意一點(diǎn)8，|4目的最

小值等于（）

2812

A.—B.4C.—D.2

55

考點(diǎn)：線性規(guī)劃、解析幾何

規(guī)律方法：線性規(guī)劃點(diǎn)到直線距離公式

解析：由題意知，所求的卜理的最小值，即為區(qū)域。?中的點(diǎn)到直線3x-4歹-9=0的距離

的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示,

可看出點(diǎn)(1,1)到直線3x-4y-9=0的距離最小，故?卻的最小值為

|3xl-4xl-9|

2xJ-------------^=4.

5

答案：B

(10重慶7)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是

911

A.3B.4C.-D.—

22

考點(diǎn)：均值不等式

規(guī)律方法：轉(zhuǎn)化與化歸變量代換

解析：x+2y=8-r(2y)28—,整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32N0

即(x+2y—4)(x+2y+8)20,又x+2y>0,.?.x+2>24,本題難度較高，需要

一定的放縮技巧。

另一種方法：令z=x+2y,代入原關(guān)系式消去y,得z+x(z—x)=8,整理得

x2+8+2x+1—2,x—2+9=(x+l)-2+-^->2j(x+l)-^--2=4

z=-----

X+1X4-1x+1Vx+1

這種方法的核心思想在于將x+2y的最值問題構(gòu)建成一個(gè)函數(shù)，并通過均值不等式來求

9

解該函數(shù)的最值，發(fā)現(xiàn)x+l=——時(shí)成立，即x=2時(shí)取最小值。在使用均值不等式的時(shí)候，

x+1

若取等式時(shí)，要注意正，定，等的三個(gè)要求。

答案：B

2x—y+220

13.設(shè)x,y滿足約束條件<8x—y—4W0,若目標(biāo)函數(shù)z=abx+y（a>0,b>0）的

x>0,^>0

最大值為8,則a+b的最小值為.

考點(diǎn)：線性規(guī)劃均值不等式

規(guī)律方法：線性規(guī)劃問題均值不等式

解析：不等式表示的區(qū)域是一個(gè)四邊形，4個(gè)頂點(diǎn)是（0,0）,（0,2）,fpOj,（1,4）,

易見目標(biāo)函數(shù)在（1,4）取最大值8,這時(shí)x=l,y=4,所以8=ab+4nab=4,所以

a+h>24ah=4,在a=b=2是等號(hào)成立.

答案：4

（10陜西14）鐵礦石Z和5的含鐵率”，冶煉每萬噸鐵礦石的的CO?排放量6及每萬噸

鐵礦石的價(jià)格。如下表:

a8（萬噸）C（百萬元）

A50%13

B70%0.56

某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9（萬噸）鐵，若要求CO?的排放量不超過2（萬噸）則購買鐵礦石

的最少費(fèi)用為至（萬元）

考點(diǎn)：線性規(guī)劃

規(guī)律方法：線性規(guī)劃問題

解析：設(shè)購買鐵礦石/和8各x,y萬噸，

則購買鐵礦石的費(fèi)用z=3x+6y

x,y滿足約束條件

0.5x+0.7y>1.9

<x+0.5j^<2

x>,y>0

表示平面區(qū)域如圖所示

則當(dāng)直線z=3x+6y過點(diǎn)8（1,2）時(shí),

購買鐵礦石的最少費(fèi)用z=15

答案：15

(10全國I20)已知函數(shù)/(x)=(x+l)lnx-x+l.

(I)^x/'(x)<x2+ax+l,求。的取值范圍：

(H)證明：(x-l)/(x)>0.

考點(diǎn)：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識(shí)，通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)、不等式問題，考

查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力以及計(jì)算能力

規(guī)律方法：函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

解析：

(I)/'(x)=----+lnx-l=lnx+—,

xx

xf*(x)=xlnx+l,

題設(shè)礦(x)</+〃x+l,f(x)的定義域?yàn)閤>0,兩邊同除以x,化簡為Inx，這時(shí)

依然難求，我們進(jìn)行參變分離，等效為Inx-xWo.

令g(x)=lnx-x,則g，(x)=——1

x

當(dāng)0cx<1,g*(x)>0；當(dāng)xNl時(shí)，g*(x)<0,x=l是g(x)的最大值點(diǎn),

g(x)<g(l)=-l

綜上，。的取值范圍是［—1,+8).

(H)法一：

解析：設(shè)e(x)=(x-i)/(x)

1

(ft(x)=2xInx-Xd--+2,"(1)=0

X7

^"(x)=21nx+-4+l不好討論從而考慮分類討論，原不等式即證

x

0<x<l時(shí),x-l<0,若題目成立，則f(x)W0

.所以我們直接去討論f(x)的單調(diào)性

%>1時(shí)》-1<0,若題目成立,f(x)>0

/''(X)=四+lnx-l=xlnx+1

XX

2

設(shè)9(x)=xlnx+l；"(x)=lnx+l.解方程”(》)=0得》=—,從而可知夕(x)的單調(diào)

性.8(x)在卜，。上單調(diào)遞減，在［,+/上單調(diào)遞增?從而可知，當(dāng)》=，時(shí)。(x)取得最

7

小值1一一>0

e

從而知p(x)>0即/'(x)>0.所以/.(X)在(0,+8)單增.并且/(i)=o.所以有

0cx<1時(shí)/'(x)W0

'x>in^/(x)>o

法二：由(I)知，g(x)wg(l)=-l即lnx-x+1W0.

當(dāng)0cx<1時(shí)，/(x)=(x+l)lnx—x+1=xlnx+(lnx-x+l)<0；

當(dāng)x21時(shí):

/(x)=lnx+(xlnx-x+l)

,JiA

=Inx+xInxH----1

IxJ

=lnx-x|ln--—+l|>0

Ixx)

所以(x-l)/(x)20

總結(jié)：因?yàn)槭且辉坏仁?所以采用方法一的求導(dǎo)這種最基本方法來確定函數(shù)的單調(diào)性,

但是在題目中函數(shù)求導(dǎo)過于復(fù)雜，所以我們進(jìn)行分類討論，簡化了求導(dǎo)運(yùn)算。方法二直接用

了第一小問的結(jié)論，計(jì)算更簡單，同學(xué)們在做題的過程中要注意這種方法。

(10全國卷II18)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S”=(〃2+心"

⑴求lim”

fS,

(II)證明:與+與+…+為>3”.

I222/

考點(diǎn)：本試題主要考查數(shù)列基本公式%=1%(〃=°、的運(yùn)用，數(shù)列極限和數(shù)列不

等式的證明，考查考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

規(guī)律方法：簡單的數(shù)列不等式證明

2

皿匚%(2〃2+4〃卜121+~2

解析：⑴hm-=lim^-7^：--導(dǎo)—=hm-----r=~

mgSfJ(77-+np〃f°3]+j_3

n

(n)當(dāng)〃=i時(shí)，/=3=6>3

〃>1時(shí)"吐+幺?,=+斗1>2.3*T

k2k21Q

-y-H—7d---1—7>6+2x3H---F2x3"1

I222M2

=4+21^—3^"=3"+3>3"

1-3

所以與+與+…+*>3"

I222n2

(10湖北21)已知函數(shù)/?(x)=ax+2+c(a>0)的圖象在點(diǎn)(1,/(l))處的切線方程為y

X

=X—\.

([)用。表示出b,c；

(11)若/(4)>加在[1,+8)上恒成立，求。的取值范圍；

(HI)證明：1+—+—+,,?+—>In(/2+1)4-/〃—；(〃21).

23n2(〃+1)

考點(diǎn)：考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)。

規(guī)律方法：綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力和分類討論的思想.

解析：(I)/'(%)=a-4?/(l)=a+6+c=0h=a-l

則有《解得

Xf(l)=a-b=lc=1-2a

(H)由(I)知，/(x)=ax+—+l-2a

X

令g(x)=/(x)-lnx=ax+---+1-2a-Inx,XE(L+°°)

X

則g(l)=0,g'(x)=a-^-^~-

xx

g(x)若在1點(diǎn)附近單減，則原不等式不成立.

為判斷g(x)的單調(diào)性，我們在草稿紙上解不等式g'(x)>0由。>0,我們可知

\-a

g*(x)>0<=>(x-1>0

a

當(dāng)1〈匕區(qū)，即a<J.時(shí)，g，(x)>0的解集為《，.從而在I,上巴

.VX<1典>-~-上

a2aIa

g'(x)〈0

（1-Q、

即gG）在15—上單調(diào)遞減，此時(shí)原不等式不成立

當(dāng)12上聿，即時(shí)g'(x)>o在［1,+-)恒成立，也就是g(x)在ji,匕上單

a2\a)

調(diào)遞增，從而對任意工6(1,+8)有g(shù)(x)>g(l)=o,即原不等式恒成立.

我們可以分類討論：

1\-a

⑴當(dāng)0<。<—,―->1

2a

若1<X<1一-,則g'(x)vO,g(x)是減函數(shù)，所以g(x)<g⑴=0

a

/(x)>Inx,故/(x)2Inx在1,+8)上恒不成立.

(ii)。，時(shí)，匕為1

2a

若/(x)>lnx,故當(dāng)x21時(shí),/(x)>Inx

1、

綜上所述，所求。的取值范圍為一,+8

_2)

(III)解法一：

分析：

這里注意：ln(〃+1)=Infy-'j=In停)+In?+…+Inf—1

那么In(?)與工的關(guān)系便是本題的突破口

這時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)我們好像找到了111(幺擔(dān)〕與工和」一的關(guān)系但是二者前有系數(shù)，怎

(㈠kk+\

么辦呢?如果讓兩個(gè)系數(shù)相等就好了.兩個(gè)系數(shù)何時(shí)相等呢?令。=一(。一1)求得a=』.

2

那么，我們由上面的式子就可以得到

我們對這個(gè)式子左右兩端求和，左側(cè)正好有l(wèi)n(〃+l),右側(cè)又有'+!+一+',

23n

這時(shí)，我們就離要證的不等式不遠(yuǎn)了.

由（II）知:當(dāng)時(shí)，有/(x)2lnx(x21).

有/(x)=g

令Q>lnx(x>l)

2

21

當(dāng)x>l時(shí),x——>Inx.

2x

令x="L有In4+11(4+1k]_

一<—1+

kk2kk+\21

111

即InGt+D-lnJt<--+----，A=1,2,3,…〃

2I左左+1

將上述〃個(gè)不等式依次相加得

1111

—I---F,??H—+

23n2(〃+1)

整理得1H---1---F,?,H—>ln(/?+l)+—~r

23n\'2(M+1)

解法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，注意格式.關(guān)鍵問題是怎樣用〃=%時(shí)的歸納假設(shè)推出〃

=4+1時(shí)的結(jié)論.證等式時(shí)往往很簡單，但對于不等式，我們就需要去嘗試，去計(jì)算注意逆

推的方法.如本題中，利用歸納假設(shè)，我們很容易將要證的不等式左邊化為

In（左+1）+.那么我們只需證明In依+1）+上M>歷（左+2）+^+1,即可.將其

2（%+1）2（左+1）2（左+2）

女+1k+1k+2

變形，可得In

1+2)>2(^+2)-2(TF1)

L_M、口1左+1111

也就是In---->—.這時(shí)，我們就可以考慮用上一問所得的結(jié)論證明這

k+22{k+\k+2

一不等式.

（1）當(dāng)〃=1時(shí)，左邊=1,右邊=ln2+,<l,不等式成立

4

⑵假設(shè)〃=左時(shí)，不等式成立，就是1+工+1+…+!>ln（%+l）+—

23k2（左+1）

那么1+,+,+…+,+」1

>ln(k+1)+-7--------\H-----------

23kk+\2(4+1)A4-1

k+2

=In(左+1)+

2(%+1)

由(H)知：當(dāng)時(shí)，有/(x)Nlnx(xNl)

令〃=工，有/(%)=—[X-—|>Inx(x>1)

22kx)

k+2攵+2女+1)

令x==ln(A:+2)-ln()l+l)

4+1%+11+2；k+l

In(左+1)+竽J>ln(Z:+2)+:、

'2(左+1)，2(攵+2)

,1111,k

1+—+-+-?-+—+--->ln(A-+2)+—；----

23kk+\2依+1?)

就是說，當(dāng)〃=左+1時(shí)，不等式也成立.

根據(jù)(1)和(2),可知不等式對任何N都成立.

已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,%+1=2%+1,/7€N+

⑴求｛aJ通項(xiàng)公式

⑴)求證4一;1<幺+"+…+芻_<4

23a2%4+i2

考點(diǎn)：數(shù)列不等式的證明

規(guī)律方法：數(shù)列的整形和不等式的放縮方法

解析：⑴因?yàn)?。?2a“+l所以區(qū)用+2=2%+2即。角+1=2(%+1)

所以｛a?+1｝成等比數(shù)列.從而+1=(4+1)2"T=2"

所以%=2"—1

(n)要證原不等式，只需證”—<--^-4——H---1——<n

…、=八

a.-2alLa.-2/an^-2an2

也就是0<二----+3----1++----^<一

。2。3?！?13

由遞推公式%x=2%+1可得：an+l-2an=l

1112

從而上不等式可化為：0<---1----F…H----<一

。2%%+13

"1?

那么只要證明了o<￡3-<*

占2向-13

就可以證得原不等式.由于2.-1>0對于任意正整數(shù)/都成立，所以上式左側(cè)不等號(hào)

成立.

2

利用等比數(shù)列求和公式，我們可以將一展開：

3

2」=2=寸_L_

33］」白32T￡3.2』

22

我們接下來比較z3書和Z著告的通項(xiàng)

1_______1__32-1-（2--1）_1-<

2/+1-1-32"-（2,+1-1）（3-2M）-（2,+1-1）（3-2;_|）一

n

所〃以1有1〈已?

白2㈤-1白32-13

n1<2成立

從而有0<

,+1

1=12-13

…、口〃1劣5〃上一

也就是-----<----1——+,??4----<一成乂

2342a3??+i2

導(dǎo)數(shù)與定積分

?？家c(diǎn)與核心問題

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具.所以把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情,對函數(shù)的命

題已不再拘泥于基本初等函數(shù)，對研究函數(shù)的目標(biāo)也不僅限于求定義域，值域，單調(diào)性，奇

偶性，對稱性，周期性等，而是把有理函數(shù)，指數(shù)型，對數(shù)型函數(shù)，以及初等基本函數(shù)的和、

差、積、商復(fù)合等都成為命題的對象.試題往往融函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式，方程等知識(shí)于一體，

解決單調(diào)性，極值，最值，切線，方程的根，參數(shù)的范圍等問題.這類題難度很大，綜合性

強(qiáng)，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考的?？純?nèi)容.解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類討

論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想.

首先導(dǎo)數(shù)的概念

①了解定義：趨于零是平均變化率的極限

②熟練掌握求導(dǎo)方法

PS：提高求導(dǎo)的正確率（1）熟練掌握求導(dǎo)相關(guān)公式；（2）求完導(dǎo)后立即檢查

其次導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

①單調(diào)性導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的強(qiáng)有力的工具，對于某一函數(shù)來說，它的導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間

內(nèi)恒正，這個(gè)函數(shù)便在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；導(dǎo)數(shù)若在某一區(qū)間內(nèi)恒負(fù)，這個(gè)函數(shù)便在此區(qū)間

內(nèi)單調(diào)遞減.于是我們便可以通過判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷原函數(shù)的單調(diào)性.

PS：在有些題目中，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)往往難以直接判斷，這時(shí)，我們可以先求出特殊點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)的值，例如/'（0）,/'（1）等（我們往往會(huì)發(fā)現(xiàn)它們正好為零）然后再判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)

性（也可以再求一次導(dǎo)）.

②求導(dǎo)解決問題的一般方法：i求導(dǎo)數(shù)；ii求方程/'（x）=0的根；iii列表得極值

③導(dǎo)數(shù)與極值，最值.

注意：①在沏處有/'（Xo）=O是函數(shù)/（x）在的處取極值的必要非充分條件.

②單調(diào)性與最值（極值）的研究要注意列表

注意：利用導(dǎo)數(shù)求最值的步驟：先找定義域再求出導(dǎo)數(shù)為0及導(dǎo)數(shù)不存在的的點(diǎn)，然后

比較定義域的端點(diǎn)值和導(dǎo)數(shù)為。的點(diǎn)對應(yīng)函數(shù)值的大小，其中最大的就是最大值，最小就為

最小值.

定積分是本章的另一個(gè)重要的概念,它可以看作是導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間上的逆運(yùn)算.它是新

課標(biāo)新增加的內(nèi)容之一，在以后的高考試題中應(yīng)該有所體現(xiàn).

基礎(chǔ)篇

（10課標(biāo)3）曲線丁=藻在點(diǎn)（—1,—1）處的切線方程為

A.y—2x+1B.y—2x~1C.y——2x—3D.y——2x—2

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

解析：對其求導(dǎo)：vy=—.?.左=了|戶_尸2,所以點(diǎn)（一1,—1）處的切線方程

（x+2）2,

為y=2x+l

答案：A

4

（10遼寧10）已知點(diǎn)P在曲線y=-----上，a為曲線在點(diǎn)尸處的切線的傾斜角，則a

ex+\

的取值范圍是

3兀)

A.D.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求導(dǎo)運(yùn)算以及三角函數(shù)的知識(shí)

—4er—4

解析：因?yàn)閥,=7-丁=------->-1（其中使用了均值不等式）即tana2一

（優(yōu)+1）2,+2+e-，

1,所以3兀*WaW兀.

4

答案：D

(08北京⑵如圖，函數(shù)/(X)的圖象是折線段/8C,其中48,C的坐標(biāo)分別為(0,4),

(2,0),(6,4),則/"(/'(()))=___________；1而/"十爪/「)=_______.(用數(shù)字

ATTOAr

作答)

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

解析：根據(jù)函數(shù)/(X)的圖像可知/(0)=4,/(4)=2.因此/[/(0)]=/(4)=2

因?yàn)閘im,」+口)—川)=/'(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，/(l)為函數(shù)/(x)圖像在x=l處

-Ax

切線的斜率，即為直線的斜率故lim+/(1)=/'(1)=-2

AJOAx,

答案：2,-2

(10湖南5)I—dx等于

J2X

A.-2In2B.2In2C.-In2D.In2

考點(diǎn)：微積分基本定理，對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于容易題.本題為選修2—2第53頁例1

第一小題改編而來.原題為計(jì)算定積分f'-dx.

Jix

解析：因?yàn)?lnx)=—,所以「Ldx=lnx|；=ln4—In2=ln2

xJ2x1

答案：D

(10陜西13)從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)A/(x,y),則點(diǎn)“取自陰影部分

的概率為______________

考點(diǎn)：幾何概率，定積分的幾何意義

解析：長方形區(qū)域的面積為3,陰影部分的面積為，3Fdx=l,所以點(diǎn)歷取自陰影

部分的概率為工

3

答案：—

3

（07海南、寧夏理10）曲線y=e于在點(diǎn)（4,e?）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面枳為

）

A.。

B.4e2C.2e2D.e2

2

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

i\

?x15'曲線在點(diǎn)（4,e?）處的切線斜率為;e2,因此切線方程為

解析：=>y'=e,=-e

/2

y-e2=；e2（x—4）,則切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為/（2,0）,8（0,-e2）所以：8^3=gJ—e?]x2

2

二e~

答案：D

(08山東理14)設(shè)函數(shù)/(x)=ax?+c(aH0),若j/(x)dx=/(xo),OW/Wl,則

Xo的值為.

考點(diǎn)：微積分基本定理，牛頓-萊布尼茨公式

￡/(x)dx=￡(M+c)dx=；ax3+ex1a

解析:o=—C.

03

V3

而/(x())=ax；+c，???QX；+c=§+c0???/—

答案：x=—

03

（10江西12）如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地開出水面，記/時(shí)

刻五魚星露出水面部分的圖形面積為s〃）（s（o）=o）,則導(dǎo)函數(shù)夕=S'（7）的圖像大致為

笑

考點(diǎn)：本題考查函數(shù)圖像，導(dǎo)數(shù)圖像，導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義等知識(shí)，重點(diǎn)考查的是對數(shù)學(xué)的

探究能力和應(yīng)用能力.

解析：最初零時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻沒有變化，導(dǎo)數(shù)取零，排除C；總面積一直保持增加，

沒有負(fù)的改變量，排除B；考察A、D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導(dǎo)數(shù)的

意義，判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔?，產(chǎn)生中斷，選擇A

答案：A

提高篇

(10安徽17)設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=，—2x+2a,xeR.

(I)求/(公的單調(diào)區(qū)間與極值；

(H)求證：當(dāng)a>ln2-l且x>0時(shí)，ex>x2-lax+1.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和證明函數(shù)不等式，

考查運(yùn)算能力，綜合分析和解決問題的能力

解析：(I)解：由/(x)=e*-2x+2a,XGR,知/'(x)=e*-2令/'(x)=0,得x

=ln2.于是當(dāng)x變化時(shí)，/'(x),/(x)的變化情況如下表

X(—8,In2)In2(ln2,-H>o)

/'M—0+

/(X)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

2(l+ln2+a)/

故/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一co,ln2),單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2,+oo),

/(x)在x=ln2處取得極小值，極小值為/(11!2)=建2—21n2+24=2(1+ln2+a)

(II)證：設(shè)gCr)=e*—x2+2ax—1,R于是g'(x)=e*—2x+2a,xGR

由⑴知當(dāng)“>In2-1時(shí)，g，(x)最小值為g，(ln2)=2(l+ln2+a)>0

于是對于任意xGR,都有g(shù)'(x)>0,所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.

故當(dāng)a>ln2—1時(shí)，對于任意xe(0,+8)都有g(shù)(x)>g(0)=0

故當(dāng)x>0時(shí)，ex>x2-lax+1.

(10北京18)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)—x+gx?(Z:>0).

⑴當(dāng)左=2,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(H)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

規(guī)律方法：本題中還有參數(shù)k,所以要對k分類討論，對函數(shù)進(jìn)行討論時(shí)注意定義域

解析：⑴當(dāng)左=2時(shí)，/(x)=ln(l+x)-x+x2,/'(x)=------l+2x.

1+x

由于/⑴=ln⑵，/'(1)=I，所以曲線歹=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為

；；=ln2=-(x-l).即3x-2y+21n2-3=0

(n)-(x)=Mh+I),XG(-l,+oo).

1+x

當(dāng)左=0時(shí),f'(x)=—-—.

1+x

因此在區(qū)間(一1,0)上,/'(%)>0；在區(qū)間(0,+8)上，/'(%)<0；

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8):

當(dāng)0〈人<1時(shí)，=得玉=0,X2=U>0；

因此，在區(qū)間(―1,0)和［y,+g］上，/'(x)>0；在區(qū)間(0，Y)上，/'(x)<0;

即函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)和(V，+-),單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)左=1時(shí)，/a)=工f(x)的遞增區(qū)間為(一i,+8)

1+X,

當(dāng)人>1時(shí)，由/卜)=遜上上9=0,得玉=0,x2=-€(-1,0)；

1+xk

因此，在區(qū)間(一1,匕士］和(0,+8)上，/,(%)>0,在區(qū)間/'(x)>0上，/'(x)<0；

即函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1-1,9)和(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(寧,0

(10江西19)設(shè)函數(shù)/'(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0)

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

⑵若_f(x)在(0,1］上的最大值為:，求a的值.

考點(diǎn)：考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值等知識(shí).

解析：對函數(shù)求導(dǎo)得：/'(x)=-一一—+?,定義域?yàn)?0,2)

x2-x

⑴單調(diào)性的處理，通過導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行穿線判別符號(hào)完成.

當(dāng)a=l時(shí)，令/'(x)=0得'----——卜1=0n:=0

x2-xx\l-x)

當(dāng)xe(0,JE),/'(x)>0,為增區(qū)間；當(dāng)XW(JE,2),/［(x)<0為減函數(shù).

(2)區(qū)間(0,1］上的最值問題，通過判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到單調(diào)性.

=-一——+?>0,其中,——!一在（0,1）上恒正，a>0

x2-xx2-x

/在(0,1］單調(diào)遞增.所以當(dāng)X=1時(shí)/(x)取得最大值/(l)=a=g

復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)問題在高考中年年必有，從近幾年的高考試題來看，復(fù)數(shù)的概念及其代數(shù)形式的運(yùn)算成

為命題的熱點(diǎn)，?？歼x擇題和填空題，且屬于中低檔題.

一是復(fù)數(shù)的概念，如純虛數(shù)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等；復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，例如

設(shè)Z為復(fù)數(shù),則=.

二是復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除四則運(yùn)算.復(fù)數(shù)可以在直角坐標(biāo)系中表示。

以考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，包括實(shí)部與虛部、虛數(shù)與純虛數(shù)以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算為

重點(diǎn).

熱點(diǎn)提示

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和復(fù)數(shù)的幾何意義是高考命題的熱點(diǎn)之一，常以選擇題的形式出現(xiàn)，

屬容易題；

2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是高考的另一熱點(diǎn)，以選擇題、填空題的形式的出現(xiàn)，屬容易題.

注意：復(fù)數(shù)一般不比較大小，如果比較大小兩數(shù)應(yīng)該都是實(shí)數(shù)。

基礎(chǔ)篇

6+,

(10課標(biāo)2)已知復(fù)數(shù)2=7W是z的共輾復(fù)數(shù),則「=()

_1__1_

A.B.C.1D.2

42

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的共趣和復(fù)數(shù)運(yùn)算

規(guī)律方法：復(fù)數(shù)的共貌復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和模的計(jì)算

答案：A

(10全國I1)復(fù)數(shù)之@=

2-3;

A./B.-zC.12-13/D.12+13/

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，

規(guī)律方法：分母實(shí)數(shù)化的轉(zhuǎn)化技巧.

解析：寸(2-3，)(2+3/―B—=

答案：A

（3-zY

（10全國II1）復(fù)數(shù)上」

U+口

A.-3-4zB.—3+4iC.3—4zD.3+4,

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.

3-八2(3-/X1-Z)2

解析：分母實(shí)數(shù)化,=(I-2/-)2=_3-4?-.

不

答案：A

（10北京9）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)二對應(yīng)的點(diǎn)的坐