專題04平面直角坐標(biāo)系的綜合問題“圖形與坐標(biāo)”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的主要內(nèi)容之一.其中有這樣一類問題，即根據(jù)已知點(diǎn)的變化情況，利用猜想、歸納、驗(yàn)證等方法，探究點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律.這類問題要求通過歸納概括，得到猜想和規(guī)律,并加以驗(yàn)證，這需要同學(xué)們具有合情推理能力，也要有創(chuàng)新精神.TOC\o"13"\h\u題型1：平面直角坐標(biāo)系的綜合運(yùn)用 2題型2：平面直角坐標(biāo)系的規(guī)律問題 2題型1：平面直角坐標(biāo)系的綜合運(yùn)用1．在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)，，且m，n滿足．(1)如圖1，A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A，B；(2)如圖2，點(diǎn)D為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，E為線段上任意一點(diǎn)，以O(shè)為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)F．①寫出、∠DFO、∠EOF的數(shù)量關(guān)系并給出證明．②如圖3，若，點(diǎn)G為線段與線段之間一點(diǎn)，連接，且，，求的度數(shù)．【解答】（1）由題意得：，解得：，∵，∴，∴，，故答案為：，；（2）①，證明如下：如圖2，過點(diǎn)O作，∴，∵，∴，∴，∴；②由（2）①得：，∵，∴，∴，∵，，∴，如圖3，過點(diǎn)G作，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，角的和差、等量代換，解題的關(guān)鍵是熟悉平行線的性質(zhì)和角的計(jì)算．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)，將線段向上平移個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位得到線段（點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)），且四邊形的面積為8．(1)求點(diǎn)，的坐標(biāo)；(2)連接與軸交于點(diǎn)，求的值：(3)若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向上平移運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向左平移運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，若射線交軸于點(diǎn)，設(shè)與的面積差為，問：是否定值？如果S是定值，請(qǐng)求出它的值：如果不是定值，請(qǐng)說明理由．【解答】（1）解：∵點(diǎn)向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，∴，∵由平移性質(zhì)可知，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：解法1：∵和同底，∴，∵，∴，∵，∴，∵和同高，∴；解法2：∵，∴，即∴，∴，∴；（3）解：結(jié)論：的值是定值3，理由如下：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，由題意：∴，，∴，∴，∴②如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接．由①可知，∴綜上所述，的值是定值3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，坐標(biāo)與圖形變化——平移，三角形面積等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．【材料閱讀】小明偶然發(fā)現(xiàn)線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)為，端點(diǎn)的坐標(biāo)為，則這條線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為．通過進(jìn)一步探究，在平面直角坐標(biāo)系中，以任意點(diǎn)，為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)【知識(shí)運(yùn)用】如圖，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)【能力拓展】在直角坐標(biāo)系中，有，，三點(diǎn)，另有一點(diǎn)與點(diǎn)，，構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】（1）解：設(shè)H的坐標(biāo)為，，，為中點(diǎn)，，．∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為，故答案為：；（2）解：設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為．點(diǎn)的坐標(biāo)為解得∴此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，同理求得D點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，同理求得D點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．4．如圖，組成的正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格的邊長都為單位1，每一個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．已知點(diǎn)A、、、都在格點(diǎn)上．請(qǐng)按下述要求畫圖并回答問題：(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)在（1）的條件下，完成下列問題：①過點(diǎn)作，，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；②在網(wǎng)格中軸的下方找出所有的格點(diǎn)，使，并寫出格點(diǎn)的坐標(biāo)；③線段交軸于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】（1）解：∵點(diǎn)，∴原點(diǎn)O在點(diǎn)B下方一個(gè)單位，右方一個(gè)單位處，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：（2）解：①為所求作的線段，如圖所示：此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為；②如圖，過點(diǎn)B作的平行線，則、為符合條件的格點(diǎn)；點(diǎn)，．③連接，，如圖所示：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，∵，∴，解得：，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握網(wǎng)格中的格點(diǎn)特點(diǎn)．5．在平面直角坐標(biāo)系經(jīng)中，給出如下定義：點(diǎn)A到x軸、y軸距離的較小值稱為點(diǎn)A的“短距”，當(dāng)點(diǎn)P的“短距”等于點(diǎn)Q的“短距”時(shí)，稱P、Q兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”．(1)點(diǎn)的“短距”為；(2)點(diǎn)的“短距”為1，求的值；(3)若，兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，求的值．【解答】（1）解：點(diǎn)到x軸、y軸距離分別為2，5，∴“短距”為2，故答案為：2；（2）點(diǎn)的“短距”為1，，∴，，解得：或；（3）點(diǎn)到x軸的距離為，到y(tǒng)軸距離為1，點(diǎn)到x軸的距離為，到y(tǒng)軸距離為4，∴當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，，∴或，解得或；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，∴或，解得（舍去）或（舍去），綜上所訴，或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義問題，掌握點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離、解絕對(duì)值方程，并理解新定義是解題的關(guān)鍵．6．“求索”數(shù)學(xué)興趣小組探究平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)滿足特定關(guān)系的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問題：【方法探索】(1)組長小謙提出問題：動(dòng)點(diǎn)隨著的變化形成的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？小志的思考：取3個(gè)特殊值得到3個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)3點(diǎn)在一條直線上，可以利用待定系數(shù)法求出該直線的表達(dá)式；小遠(yuǎn)的思考：令，，再求與的函數(shù)關(guān)系式．請(qǐng)你選擇一種方法確定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)表達(dá)式為________；【問題解決】(2)小明設(shè)計(jì)了一道動(dòng)點(diǎn)問題考小誠，請(qǐng)聰明的你幫小誠解答：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒8個(gè)單位的速度沿軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒6個(gè)單位的速度沿軸向上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，請(qǐng)用含的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)，并求的最小值；【拓展運(yùn)用】(3)高老師給出坐標(biāo)平面內(nèi)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)：，．①小勇說：點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)軌跡都是直線；小智說：點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)過程中不可能重合；請(qǐng)你選擇下面正確的看法（

）A．小勇的說法對(duì)

B．小智的說法對(duì)

C．兩人的說法都對(duì)

D．兩人的說法都錯(cuò)②請(qǐng)你求出線段的最小值．【解答】（1）解：小志的方法：當(dāng)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，設(shè)過點(diǎn)的直線的解析式為：，則：，解得：；∴，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，在直線上，∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)表達(dá)式為；小遠(yuǎn)的方法：令，，∴，∴，∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)表達(dá)式為；故答案為：；（2）解：∵，，∴，，∴移動(dòng)到點(diǎn)的位置需要的時(shí)間為：秒，①當(dāng)時(shí)，，，，則：；②當(dāng)時(shí)，，∴，，即：則：；綜上：，連接，則：，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最小值為，此時(shí)的值最小為；（3）①∵，令，則：；∴，∴點(diǎn)的軌跡為拋物線；∵，令，則：，∴；∴點(diǎn)的軌跡為直線；聯(lián)立，整理，得：，∵，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，即拋物線和直線沒有交點(diǎn)，∴小智的說法正確，故選B．②把直線平移，直至平移后的直線與拋物線相切時(shí)，拋物線與平移后的直線的交點(diǎn)到直線的距離即為線段的最小值，設(shè)平移后的直線為，聯(lián)立，整理，得：，∵直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，解得：，∴，解得：，∴，∴平移后的直線與拋物線的交點(diǎn)為：，∴當(dāng)時(shí)，到直線的距離即為的最小值，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，為．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，正確的求出函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與直線：交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)，使得，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交于點(diǎn)N，點(diǎn)Q為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】（1）解：∵點(diǎn)在直線：上，∴，即，∵直線：過點(diǎn)，點(diǎn)，∴，解得：，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）解：∵，∴當(dāng)以為底邊時(shí)，兩三角形等高，∴過點(diǎn)P且與直線平行的直線為：，①直線過點(diǎn)，得為：，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，②點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線過點(diǎn)，得為：，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為或；（3）解：設(shè)，則，∴，①如圖1，若，，則有，∴，∴或，∴或，②如圖2，圖3，若或，則，∴，∴或，∴或，綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次方程（組）的解法，三角形面積，等腰直角三角形，考查了分類討論思想．第（3）題中三角形面積相等底相等即高相等是解題關(guān)鍵，第（4）題要注意分類討論的目的性，通過數(shù)形結(jié)合找等量關(guān)系．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，，．且．．(1)直接寫出、、各點(diǎn)的坐標(biāo)：、、；(2)如圖1，，，點(diǎn)，在四邊形的邊上，且在第二象限．若是以為直角邊的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并對(duì)其中一種情況計(jì)算說明；(3)如圖2，為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過的直線軸，平分交直線于點(diǎn)．為上的點(diǎn)，且，在運(yùn)動(dòng)中的長度是否發(fā)生變化？若變化，求出變化范圍；若不變，求出定值．【解答】（1），，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，且四邊形是矩形，，，，；（2）如圖，若點(diǎn)在上時(shí)，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，且，，，，，，，，四邊形是矩形，，且點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，如圖，若點(diǎn)在上，過點(diǎn)作，交的延長線于，，，且，，，點(diǎn)坐標(biāo)，；（3）不發(fā)生變化，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，平分，，，，，，，且，，，，，，，，，，，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中的長度不發(fā)生變化．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，矩形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．如圖1，已知直線：，點(diǎn)在直線上．是過定點(diǎn)的一簇直線．嘉淇用繪圖軟件觀察與的關(guān)系．記過點(diǎn)時(shí)的直線為．(1)求的值及的解析式；(2)探究與的數(shù)量關(guān)系；當(dāng)與軸的交點(diǎn)為時(shí)，記此時(shí)的直線為，與的交點(diǎn)記為A，求的長；(3)當(dāng)與直線的交點(diǎn)為整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)），且的值也為整數(shù)時(shí)，稱為“美好直線”．①在如圖所示的視窗下（，），求為“美好直線”時(shí)的值；②視窗的大小不變，改變其可視范圍，且變化前后原點(diǎn)始終在視窗中心．現(xiàn)將圖中坐標(biāo)系的單位長度變?yōu)樵瓉淼模沟迷谝暣皟?nèi)能看到所有“美好直線”與直線的交點(diǎn)，求的最小整數(shù)值．【解答】（1）解：將點(diǎn)代入，解得；將，分別代入中，得，解得，的解析式為；（2）解：過定點(diǎn)，則，；過，且，，，的解析式為；解得，與的交點(diǎn)為，；（3）解：①當(dāng)，時(shí)，上的整點(diǎn)為，，當(dāng)過時(shí)，且，，是“美好直線”；當(dāng)過時(shí)，且，，不是“美好直線”，綜上，的值為；②設(shè)直線上的任一整點(diǎn)為，則，，，，當(dāng)，均為整數(shù)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；上滿足條件的點(diǎn)為，，，，，若這些點(diǎn)全部出現(xiàn)在視窗中，的最小整數(shù)值為4．【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形，理解“美好直線”的定義和條件是解決本題的關(guān)鍵．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與直線（）交于點(diǎn)P，．(1)求直線的解析式；(2)連接、，若直線上存在一點(diǎn)Q，使得，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)將直線向下平移1個(gè)單位長度得到直線，直線l與x軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)N為直線l上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)O，E，N，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】（1）解：∵直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，∴令，則，∴點(diǎn)A為，∴，∵，∴點(diǎn)C為，點(diǎn)D為，∴直線的解析式為；（2）解：在中，令，則，∴點(diǎn)B為，∵，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；∴；∵點(diǎn)Q在直線上，則設(shè)點(diǎn)Q為，則當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方時(shí)，如下圖：∵，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方時(shí)，如上圖：，∴，∴解得：，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜合上述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）解：∵直線向下平移1個(gè)單位長度得到直線，∴直線為，令，則，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，即；當(dāng)作為矩形的邊時(shí)，如圖：∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；當(dāng)作為矩形的對(duì)角線時(shí)，如圖：∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴四邊形是正方形，∴，，∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；綜合上述，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出圖形，從而運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行解題．11．點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)且不在坐標(biāo)軸上，過點(diǎn)向軸，軸作垂線段，若垂線段的長度的和為，則點(diǎn)叫做“垂距點(diǎn)”例如：下圖中的是“垂距點(diǎn)”．(1)在點(diǎn)，，中，是“垂距點(diǎn)”的點(diǎn)為；(2)求函數(shù)的圖象上的“垂距點(diǎn)”的坐標(biāo)；(3)的圓心的坐標(biāo)為，半徑為若上存在“垂距點(diǎn)”，則的取值范圍是．【解答】（1）解：由題意得，垂線段的長度的和為4．，，故答案為：．（2）解：設(shè)函數(shù)的圖像上的“垂距點(diǎn)”的坐標(biāo)．由題意得．①當(dāng)時(shí)，．∴．②當(dāng)時(shí)，．∴（不合題意，舍）．③當(dāng)時(shí)，．∴．∴

綜上所述，函數(shù)y＝2x＋3的圖像上的“垂距點(diǎn)”的坐標(biāo)是，．（3）解：設(shè)“垂距點(diǎn)”的坐標(biāo)為，則當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)與相切時(shí)，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，∴當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，上不存在“垂距點(diǎn)”，此時(shí)∴若存在“垂距點(diǎn)”，則的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系相關(guān)，結(jié)合題干定義以及書本所學(xué)點(diǎn)到軸的距離即為橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值進(jìn)行分析計(jì)算．12．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A、B向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移一個(gè)單位長度，得到A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D，連接．(1)寫出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)并求出四邊形的面積；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)F，使得的面積是面積的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖②，點(diǎn)P是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，∴點(diǎn)，點(diǎn)，，∴，四邊形是平行四邊形，∴；（2）存在，理由：設(shè)F坐標(biāo)為，∵的面積是面積的2倍，∴，即，解得或，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，如圖，作，

由平移可知：，∴，∴，∴；即；②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上時(shí)，如圖，作，由平移可知：，∴，∴，∴；即；③當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上時(shí)，如圖，作，由平移可知：，∴，∴，∴；即；綜上，或或．【點(diǎn)睛】題考查平行線的判定和性質(zhì)，點(diǎn)平移的規(guī)律．對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．13．在直角坐標(biāo)系中，已知，，且，滿足．(1)求的面積；(2)將線段平移至，且，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，已知，（點(diǎn)在線段上），且實(shí)數(shù)、、滿足，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，連接、、，有，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】（1）解：由題意可得，，解得，，∴，，∴；（2）解：過點(diǎn)C作軸，延長交l于M，過點(diǎn)B作于N，過點(diǎn)A作于T，設(shè)，，即，解得，，∴，，即，∴，∴或，∴或，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是或；（3）解：設(shè)，，解得，，∵，，，，∴，∴，∴，解答，，∵點(diǎn)D在第四象限，∴，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)S，，即，解得，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算、解二元一次方程組、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握坐標(biāo)與圖形性質(zhì)及三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．14．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在第一象限，且、滿足等式，連接、．(1)如圖1，求，的值；(2)如圖2，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作，，連接、．設(shè)的面積為，求與之間的關(guān)系式（不需要寫出的取值范圍）；(3)如圖3，在（2）的條件下，作，垂足為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，求的面積．【解答】（1）解：∵，即：，∴，，∴，；（2）作軸，則，，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，∵點(diǎn)在軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)為，∴，則的面積；（3）由（1）知，，則，，∴，且軸，即為等腰直角三角形，，∴，過點(diǎn)作，延長交于，故，∵，，即：∴，，即∴，，又∵，∴，∴，故為等腰直角三角形，∴，作交于，連接，過作，交于，可知，為等腰直角三角形，故，，∵軸，則，即：∴，∴，∴，，則，∴為等腰直角三角形，故：，，∴，，∴，又∵，∴，∴，即，∵軸，∴，故為等腰直角三角形，∴，由（2）可知，，則，，∴，則，∴．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根的非負(fù)性，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和等腰直角三角形證得是解決問題的關(guān)鍵．15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)．(1)如圖1，．①若是以AC為斜邊的直角三角形，且．請(qǐng)?jiān)趫D（1）中利用圓規(guī)、無刻度直尺作出點(diǎn)C的位置（不寫作法，保留作圖痕跡），寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)________；②若是等邊三角形．求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖2，是等邊三角形，點(diǎn)C在以為圓心，半徑為r的圓上．若存在兩個(gè)滿足條件，求r的取值范圍．【解答】（1）解：是以AC為斜邊的直角三角形，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，，如圖，過點(diǎn)B作的垂線，，在第一象限內(nèi)截取，連接即可；，即，過點(diǎn)C作軸于D，，，，，，；②如圖，取中點(diǎn)E，連接并延長交于F，作軸于D，由題意可知垂直平分，，，，，，，解得：，，，，，，，，，，，，；（2）如圖，取中點(diǎn)E，連接并延長交于F，作軸于D，軸于G，設(shè)，，，，，解得：，，則，，由題意可知垂直平分，，，，，，，，，整理得：，，，，，，，，，，，整理得：，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，，即點(diǎn)C在直線上，，當(dāng)時(shí)，，不在直線上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí),如圖，等邊三角形邊長為2，可求得：當(dāng)與相切時(shí)，如圖，作直線分別與x，y軸相交于H，I，過P作分別與x，y軸相交于J，K，過O作于L，交于M，則四邊形為矩形，，令求得，令求得，，，設(shè)解析式為，將代入求得，，令求得，令求得，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)的應(yīng)用及坐標(biāo)與圖形；解題的關(guān)鍵是通過等積法構(gòu)造等量關(guān)系得到．16．已知：如圖1．在平面直角坐標(biāo)系中，C在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，軸于A，，且滿足，點(diǎn)P在的平分線上，Q在x軸上．．(1)求a，b的值；(2)若，求證：；(3)如圖2，在y軸正半軸上取點(diǎn)B，使得，為第四象限上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸、y軸的垂線交直線于G、H兩點(diǎn)，當(dāng)m，n滿足什么關(guān)系時(shí)，，并說明理由．【解答】（1）解：∵，∴解得：；（2）解：過點(diǎn)P作，垂足為N，過點(diǎn)P向的延長線作，垂足為F，如圖所示，∵，是的平分線，∴，，∵，∴，在四邊形中，由四邊形內(nèi)角和定理知：，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴；（3）解：由題意得：C點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，由（1）得：，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，∵且點(diǎn)B在y軸正半軸，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為，，由題意得：，∴，，∴，，，，∴，當(dāng)時(shí)，，∵點(diǎn)D坐標(biāo)為，∴由題意得：，，即，∴，∵過點(diǎn)A、B，∴將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，整理得：，∴當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查幾何問題綜合題，涉及到了角平分線的性質(zhì)，三角形全等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．題型2：平面直角坐標(biāo)系的規(guī)律問題1．如圖，已知直線a：，直線b：和點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線a于點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的平行線交直線b于點(diǎn)，過點(diǎn)作y軸的平行線交直線a于點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的平行線交直線b于點(diǎn)，…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意知，，，，，，，，，∴的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，……∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：的橫坐標(biāo)為，∴的橫坐標(biāo)為，∴的橫坐標(biāo)為，∴的橫坐標(biāo)為，∴的橫坐標(biāo)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究，一次函數(shù)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)一般規(guī)律．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)，點(diǎn)A第一次跳動(dòng)至點(diǎn)，第二次點(diǎn)跳動(dòng)至點(diǎn)，第三次點(diǎn)跳動(dòng)至點(diǎn)，第四次點(diǎn)跳動(dòng)至點(diǎn)，……依此規(guī)律跳動(dòng)下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【解答】解：觀察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A第1次跳動(dòng)至點(diǎn)，第3次點(diǎn)跳動(dòng)至點(diǎn)，第5次跳動(dòng)至點(diǎn)的坐標(biāo)是，第7次跳動(dòng)至點(diǎn)的坐標(biāo)是，…第次跳動(dòng)至點(diǎn)的坐標(biāo)是，因?yàn)?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，以及圖形的變化問題，結(jié)合圖形得到奇數(shù)次跳動(dòng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的變化情況是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），……，根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得第2023個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【解答】把第一個(gè)點(diǎn)作為第一列，和作為第二列，依此類推，則第一列有1個(gè)點(diǎn)，第二列有2個(gè)點(diǎn)，，第n列有n個(gè)點(diǎn)，則n列共有個(gè)點(diǎn)，并且在奇數(shù)列點(diǎn)的順序是由上到下，偶數(shù)列點(diǎn)的順序由下到上，∵，∴第2023個(gè)點(diǎn)一定在第64列，由下到上是第7個(gè)點(diǎn)，因而第2023個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出規(guī)律，題目比較典型，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整點(diǎn)，按圖中→方向排列，即，…，則按此規(guī)律排列下去第23個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【解答】解：∵……∴觀察發(fā)現(xiàn)：每三個(gè)點(diǎn)為一組，每組第一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為：，，∴第23個(gè)點(diǎn)在第八組的第二個(gè)，∵第八組的第一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴第23個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)規(guī)律的探究，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察坐標(biāo)變化規(guī)律，掌握從具體到一般的探究方法．5．如圖，在一個(gè)單位為l的方格紙上，，，，．．．，是斜邊在x軸上，斜邊長分別為2，4，6，．．．的等腰直角三角形，若的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則依圖中所示規(guī)律，的橫坐標(biāo)為（

）A． B．1010 C．1012 D．【解答】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的長度為斜邊的一半，，，…，∵余3，∴點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，橫坐標(biāo)是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律的考查，根據(jù)2023是奇數(shù)，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)是奇數(shù)時(shí)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．6．在平面直角坐標(biāo)系中，將若干個(gè)邊長為2個(gè)單位長度的等邊三角形按如圖所示的規(guī)律擺放，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著等邊三角形的邊→→→→…的路線運(yùn)動(dòng)，設(shè)第n秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（n為正整數(shù)），則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【解答】解：過點(diǎn)作軸于B，∵圖中是邊長為2個(gè)單位長度的等邊三角形，∴，∴，∴，，同理，，，，，…∴中每6個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)規(guī)律：，0，，0，，0，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度沿著等邊三角形的邊“…”的路線運(yùn)動(dòng)，1秒鐘走一段，∴P運(yùn)動(dòng)每6秒循環(huán)一次，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)規(guī)律：，0，，0，，0，…，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)規(guī)律：1，2，3，4，5，6，…，，∵，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的特點(diǎn)及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動(dòng)，每移動(dòng)一個(gè)單位，得到點(diǎn)，那么坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【解答】由圖象可知，縱坐標(biāo)每四個(gè)點(diǎn)循環(huán)一次，而，∴的縱坐標(biāo)與的縱坐標(biāo)相同，都等于0．循環(huán)中與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，∴對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變化規(guī)律為（n為循環(huán)次數(shù)），∴的橫坐標(biāo)為，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)規(guī)律問題，找準(zhǔn)點(diǎn)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，一智能機(jī)器人從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿方向勻速循環(huán)前行，當(dāng)機(jī)器人前行了時(shí)，其所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【解答】解：∵，，∴，∴機(jī)器人從點(diǎn)A出發(fā)沿著回到點(diǎn)A所走路程是：，∴每過10秒點(diǎn)P回到A點(diǎn)一次，∵，∴第2023秒時(shí)于第3秒時(shí)機(jī)器人所在的位置相同，∵，∴此時(shí)機(jī)器人在上，距離B為1個(gè)單位長度，∴機(jī)器人所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為的正六邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)，得到正六邊形，當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【解答】解：∵正六邊形，∴每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，即，∴正六邊形的一個(gè)外角為，即與軸正半軸的夾角為，如圖所示，未旋轉(zhuǎn)時(shí)，連接，正六邊形的邊長為，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴，當(dāng)正六邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，即旋轉(zhuǎn)次，正六邊形回到起始位置，∴當(dāng)時(shí)，，即旋轉(zhuǎn)次后，又旋轉(zhuǎn)了個(gè)，即回到起始位置后又旋轉(zhuǎn)了，如圖所示，∴，，∴，即當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中幾何圖形變換與點(diǎn)坐標(biāo)，掌握幾何圖形的特點(diǎn)及變換的規(guī)律，找出點(diǎn)坐標(biāo)變換的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．如圖，已知正方形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)M，頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為、、，規(guī)定“把正方形先沿x軸翻折，再向右平移1個(gè)單位”為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過2022次變換后，點(diǎn)M的坐標(biāo)變?yōu)椋ǎ〢． B． C． D．【解答】解：∵正方形的頂點(diǎn)A，B，C分別是，∴正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∵把正方形先沿軸翻折，再向右平移個(gè)單位”為一次變換，∴第一次變換后M的坐標(biāo)為，第二次變換后的坐標(biāo)，第三次變換后的坐標(biāo)，第四次變換后的坐標(biāo)，，可發(fā)現(xiàn)第n次后，當(dāng)n為偶數(shù)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴連續(xù)經(jīng)過第2022次時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，即．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，正方形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形變化—軸對(duì)稱和平移，正確找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與x軸交于點(diǎn)，如圖所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得點(diǎn)，……，在直線l上，點(diǎn)，…，在y軸正半軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)時(shí)，有，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．四邊形為正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為．同理，，，，，，，，，，（n為正整數(shù)），點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)以及規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律“為正整數(shù)”是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)行如下操作：將線段按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，再將其長度伸長為的2倍，得到線段；又將線段按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，長度伸長為的2倍，得到線段，如此重復(fù)操作下去，得到線段，，…則的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【解答】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，由題意可得出：，，，則，∵將線段按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴每個(gè)點(diǎn)循環(huán)一圈，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)在第象限，∵，∵，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形－坐標(biāo)的變化規(guī)律，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，得出坐標(biāo)的變化規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．13．如圖，在單位為1的方格紙上，，，，…，都是斜邊在x軸上，斜邊長分別為2，4，6，…的等腰直角三角形，若的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則依圖中所示規(guī)律，的坐標(biāo)為（

）A． B．） C． D．【解答】解：圖中的各三角形都是等腰直角三角形，各等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為斜邊的一半，，，，，，，……，當(dāng)下標(biāo)為偶數(shù)時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律如下：當(dāng)下標(biāo)是2、6、10…時(shí)，橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半，當(dāng)下標(biāo)是4、8、12…時(shí)，橫坐標(biāo)是2，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半的相反數(shù)，每四個(gè)字母為一組，，∴點(diǎn)A2022在第一象限，橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)是，的坐標(biāo)為為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，根據(jù)坐標(biāo)正確得到規(guī)律是解題關(guān)鍵．14．如圖，動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中所示方向運(yùn)動(dòng)，第一次從原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第二次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第三次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第四次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第五次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第六次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（

）A． B．0 C．1 D．2【解答】解：觀察圖像點(diǎn)的坐標(biāo)：、、、、、、、，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：橫坐標(biāo)與次數(shù)相等，縱坐標(biāo)每7次運(yùn)動(dòng)組成一個(gè)循環(huán)：1、1、0、、0、2、0，，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合并從圖象中發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律是解題關(guān)鍵．15．已知點(diǎn)與點(diǎn)在同一條平行于x軸的直線上