第02講整式的乘除法1.掌握單項(xiàng)式乘（或除以）單項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘（或除以）單項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，并運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算．2.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算，并能靈活的運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行混合運(yùn)算。知識(shí)點(diǎn)1：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．知識(shí)點(diǎn)2：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加．知識(shí)點(diǎn)3：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加．知識(shí)點(diǎn)4：?jiǎn)雾?xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．知識(shí)點(diǎn)5：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．【題型1單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式】【典例1】（2023春?青龍縣期末）計(jì)算2x2y?xy2的結(jié)果是．【變式11】（2023?長(zhǎng)嶺縣模擬）計(jì)算（2x）2（﹣3xy2）＝．【變式12】（2023春?永定區(qū)期末）計(jì)算：2（a2）3?（﹣3a2b）＝．【變式13】（2023春?新城區(qū)校級(jí)期末）＝．【題型2單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】【典例2】（2023春?秦都區(qū)期中）計(jì)算：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）．【變式21】（2023春?青秀區(qū)期中）化簡(jiǎn)：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）．【變式22】（2022春?槐蔭區(qū)期末）計(jì)算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．【變式23】（2022春?平桂區(qū)期中）計(jì)算：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）．【題型3多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】【典例3】（2022秋?惠陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（1）（x﹣3）（x2+4）；（2）（3x2﹣y）（x+2y）．【變式31】（2022秋?興城市期末）計(jì)算：（2a﹣3b）（2a2+6ab+5b2）．【變式32】（2022秋?南宮市期末）計(jì)算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x2．【變式33】（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）．（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．【題型4多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式不存在某項(xiàng)問(wèn)題】【典例4】（2023春?昭平縣期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展開(kāi)式中不含x2項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是﹣6．（1）求m，n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【變式41】（2023春?巨野縣期末）（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展開(kāi)式中不含x2和x3項(xiàng)，求m、n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【變式42】（2023春?溫江區(qū)校級(jí)期中）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展開(kāi)式中不含x項(xiàng)，x2項(xiàng)的系數(shù)為﹣1，求nm的值．【變式43】（2023春?茶陵縣期中）若的積中不含x項(xiàng)與x2項(xiàng)．（1）求p、q的值；（2）求代數(shù)式p2022q2023的值．【題型5多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的實(shí)際應(yīng)用】【典例5】（2022秋?松原期末）如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為（2a+3b）米，寬為（3a+2b）米的長(zhǎng)方形地塊，物業(yè)公司計(jì)劃在小區(qū)內(nèi)修一條平行四邊形小路，小路的底邊寬為a米，將陰影部分進(jìn)行綠化．（1）用含有a、b的式子表示綠化的總面積S；（2）若a＝2，b＝4，求出此時(shí)綠化的總面積S．【變式51】（2023春?綏德縣期末）如圖，在某高鐵站廣場(chǎng)前有一塊長(zhǎng)為2a+b，寬為a+b的長(zhǎng)方形空地，計(jì)劃在中間留兩個(gè)長(zhǎng)方形噴泉池（圖中陰影部分），兩個(gè)長(zhǎng)方形噴泉池及周邊留有寬度為b的人行通道．（1）求該長(zhǎng)方形空地的面積；（用代數(shù)式表示）（2）求這兩個(gè)長(zhǎng)方形噴泉池的總面積；（用代數(shù)式表示）（3）當(dāng)a＝200，b＝100時(shí)，求這兩個(gè)長(zhǎng)方形噴泉池的總面積．【變式52】（2022秋?晉江市期末）甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)如圖所示，其面積分別記為S1，S2．（1）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算比較S1與S2的大小；（2）若一個(gè)正方形的周長(zhǎng)等于甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)的和，設(shè)該正方形的面積為S3，試說(shuō)明代數(shù)式S3﹣2（S1+S2）的值是一個(gè)常數(shù)．【變式53】（2023春?張店區(qū)期中）某學(xué)校準(zhǔn)備在一塊長(zhǎng)為（3a+2b）米，寬為（2a+b）米的長(zhǎng)方形空地上修建一塊長(zhǎng)為（a+2b）米，寬為（3a﹣b）米的長(zhǎng)方形草坪，四周鋪設(shè)地磚（陰影部分），（1）求鋪設(shè)地磚的面積；（用含a、b的式子表示，結(jié)果化為最簡(jiǎn)）（2）若a＝3，b＝4，鋪設(shè)地磚的成本為50元/平方米，則完成鋪設(shè)地磚需要多少元？【典例6】（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）當(dāng)我們利用兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積時(shí)，可以得到一個(gè)等式，由圖1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由圖2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用圖3中的紙片（足夠多），畫(huà)出一種拼圖，使該拼圖可用來(lái)驗(yàn)證等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【變式61】（2023春?龍泉驛區(qū)期末）“以形釋數(shù)”是利用數(shù)形結(jié)合思想證明代數(shù)問(wèn)題的一種體現(xiàn)，若干張邊長(zhǎng)為a的正方形A紙片，邊長(zhǎng)為b的正方形B紙片，長(zhǎng)和寬分別為a與b的長(zhǎng)方形C紙片（如圖1）．（1）小李同學(xué)拼成一個(gè)寬為（a+b），長(zhǎng)為（a+2b）的長(zhǎng)方形（如圖2），并用不同的方法計(jì)算面積，從而得出相應(yīng)的等式：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2（答案直接填寫(xiě)到橫線上）；（2）如果用這三種紙片拼出一個(gè)面積為（2a+b）（a+3b）的大長(zhǎng)方形，求需要A，B，C三種紙片各多少?gòu)垼唬?）利用上述方法，畫(huà)出面積為2a2+5ab+2b2的長(zhǎng)方形，并求出此長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)（用含a，b的代數(shù)式表示）．【變式62】（2021秋?羅莊區(qū)期末）我們知道多項(xiàng)式的乘法可以利用圖形的面積進(jìn)行解釋?zhuān)纾?a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用圖1或圖2等圖形的面積表示：（1）請(qǐng)你寫(xiě)出圖3所表示的一個(gè)等式：．（2）試畫(huà)出一個(gè)圖形，使它的面積能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．【題型6單項(xiàng)式除法運(yùn)算】【典例7】（2023?青島）計(jì)算：8x3y÷（2x）2＝．【變式71】（2022秋?柳州期末）計(jì)算4x2y÷2xy＝【變式72】（2023春?威寧縣期末）計(jì)算：﹣28a3÷7a＝．【變式73】（2023秋?鯉城區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：6a2b÷2ab＝．【變式74】（2023?城陽(yáng)區(qū)三模）＝．【題型7多項(xiàng)式除法運(yùn)算】【典例8】（2023?豐城市校級(jí)開(kāi)學(xué)）先化簡(jiǎn)，再求值：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，其中a＝﹣1．【變式81】（2023春?濟(jì)南期中）計(jì)算：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab．【變式82】（2023春?蓮湖區(qū)期中）計(jì)算：（15x4y2﹣12x2y3﹣3x2）÷（﹣3x2）．【變式83】（2023春?西安月考）計(jì)算：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）．1．（2023?隨州）設(shè)有邊長(zhǎng)分別為a和b（a＞b）的A類(lèi)和B類(lèi)正方形紙片、長(zhǎng)為a寬為b的C類(lèi)矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形，需要1張A類(lèi)紙片、1張B類(lèi)紙片和2張C類(lèi)紙片．若要拼一個(gè)長(zhǎng)為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類(lèi)紙片的張數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2023?金昌）計(jì)算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2+2a D．a(chǎn)2﹣2a3．（2021?蘭州）計(jì)算：2a（a2+2b）＝（）A．a(chǎn)3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab4．（2020?蘭州）化簡(jiǎn)：a（a﹣2）+4a＝（）A．a(chǎn)2+2a B．a(chǎn)2+6a C．a(chǎn)2﹣6a D．a(chǎn)2+4a﹣25．（2021?涼山州）閱讀以下材料：蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Npler，1550﹣1617年）是對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人．他發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書(shū)寫(xiě)方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Evler，1707﹣1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系．對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，比如指數(shù)式24＝16可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式4＝log216，對(duì)數(shù)式2＝log39可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式32＝9．我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：loga（M?N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：設(shè)logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，∴M?N＝am?an＝am+n，由對(duì)數(shù)的定義得m+n＝loga（M?N）．又∵m+n＝logaM+logaN，∴l(xiāng)oga（M?N）＝logaM+logaN．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，解答下列問(wèn)題：（1）填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；（2）求證：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算log5125+log56﹣log530．1．（2023春?市南區(qū)校級(jí)期中）小明有足夠多的如圖所示的正方形卡片A，B和長(zhǎng)方形卡片C，如果他要拼一個(gè)長(zhǎng)為（a+2b），寬為（a+b）的大長(zhǎng)方形，共需要C類(lèi)卡片（）A．3張 B．4張 C．5張 D．6張2．（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）如圖1，將一張長(zhǎng)方形紙板四角各切去一個(gè)同樣的正方形，制成如圖2的無(wú)蓋紙盒，若該紙盒的容積為4a2b，則圖2中紙盒底部長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b3．（2023春?裕華區(qū)期中）化簡(jiǎn)x（x﹣2）+4x的結(jié)果是（）A．x2+6x B．x2﹣2x C．x2﹣6x D．x2+2x4．（2023春?平湖市期中）計(jì)算（a+3b）（a+2b）的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2+5ab+5b2 B．a(chǎn)2+5ab+6b2 C．a(chǎn)2+5b2 D．a(chǎn)2+6b25．（2023春?臨清市期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展開(kāi)后不含x的一次項(xiàng)，則p與q的關(guān)系是（）A．p＝3q B．p+3q＝0 C．q+3p＝0 D．q＝3p6．（2023春?承德縣期末）若（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，則m，n的值分別是（）A．4，﹣3 B．﹣7，4 C．﹣5，18 D．4，77．（2023春?包河區(qū)期中）若關(guān)于x的多項(xiàng)式（x2+ax）（x﹣2）展開(kāi)合并后不含x2項(xiàng)，則a的值是（）A．2 B． C．0 D．﹣28．（2023春?漳浦縣期中）已知（x﹣1）（x﹣2）＝x2+mx+n，則m+n的值為（）A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．19．（2023春?濰坊期中）計(jì)算下列各題：（1）x2?（﹣2xy2）3；（2）（2m+1）?．10．（2022秋?河北區(qū)期末）計(jì)算：（1）a?a5+（a3）2﹣（2a2）3；（2）（2x+1）（x﹣2）．11．（2022秋?天河區(qū)期末）計(jì)算：（2x+1）（x﹣3）12．（2022春?臨湘市校級(jí)月考）計(jì)算：（1）（﹣2a2b）3+8（a2）2?（﹣a2）?（﹣b）3；（2）（x﹣1）（x2+x+1）．13．（2022秋?昌吉市校級(jí)期末）如圖，某市有一塊長(zhǎng)為（3a+b）米，寬為（2a+b）米的長(zhǎng)方形地塊，規(guī)劃部門(mén)計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間將修建一座雕像．（1）試用含a、b的代數(shù)式表示綠化的面積是多少平方米？（2）若a＝10，b＝8，且每平方米造價(jià)為100元，求出綠化需要多少費(fèi)用？14．（2022秋?衡南縣期中）若（x2+mx）（x2﹣3x+n）的展開(kāi)式中不含x2和x3項(xiàng)，求m和n的值．15．（2022春?揭東區(qū)期末）如圖1，在某住房小區(qū)的建設(shè)中，為了提高業(yè)主的宜居環(huán)境，小區(qū)準(zhǔn)備在一個(gè)長(zhǎng)為（4a+3b）米，寬為（2a+3b）米的長(zhǎng)方形草坪上修建一橫一豎，寬度均為b米的通道．（1）通道的面積共有多少平方米？（2）剩余草坪