第1章三角形的證明知識點01：等腰三角形1.三角形全等的性質(zhì)及判定全等三角形的對應邊相等，對應角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）3.等邊三角形的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°；等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸.判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形.4.含30°的直角三角形的邊的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.易錯指導：等邊三角形是中考中常考的知識點，并且有關它的計算也很常見，因此對于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于心，不如邊長為a的等邊三角形他的高是，面積是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中邊與角的關系，打破了以往那種只有角或邊的關系，同時也為我們學習三角函數(shù)奠定了基礎.知識點02：直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.2.命題與逆命題命題包括題設和結論兩部分；逆命題是將原命題的題設和結論交換位置得到的；正確的逆命題就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（HL）易錯指導：①勾股定理的逆定理在語言敘述的時候一定要注意，不能說成“兩條邊的平方和等于斜邊的平方”，應該說成“三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方”.②直角三角形的全等判定方法，還有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5種判定方法.知識點03：線段的垂直平分線1.線段垂直平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.2.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.3.如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線分別以線段的兩個端點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于點M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線.易錯指導：①注意區(qū)分線段的垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應用范圍；②利用線段的垂直平分線定理可解決兩條線段的和距離最短問題.知識點03：角平分線1.角平分線的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；判定：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上.2.三角形三條角平分線的性質(zhì)定理性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.3.如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線易錯指導：①注意區(qū)分角平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應用范圍；②幾何語言的表述，這也是證明線段相等的一種重要的方法.遇到角平分線時，要構造全等三角形.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?清江浦區(qū)一模）如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點C在直線b上，∠2＝40°，則∠1的度數(shù)為??（）A．80° B．70° C．60° D．50°2．（2分）（2023?椒江區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E，F(xiàn)分別在邊AC，BC，AB上，連接DE，EF，且滿足CD＝DE，BE＝EF．設∠DEF＝y(tǒng)°，∠A＝x°，則關于x，y的關系式正確的是（）A． B．y＝180﹣2x C． D．3．（2分）（2023春?法庫縣期中）直角三角形中，兩銳角的角平分線所夾的鈍角的度數(shù)是（）A．120° B．135° C．150° D．160°4．（2分）（2023春?廬陽區(qū)校級期中）如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，A、B、C、D四點都在小方格的格點上，則∠BAC+∠DAC＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°5．（2分）（2023春?思明區(qū)校級期中）下列各組數(shù)中能作為直角三角形三邊的是（）A．3，3，5 B．5，12，13 C．7，14，15 D．6，9，126．（2分）（2023春?鐵西區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，過點A作AD⊥AB交BC于點D，過點D作DE⊥BC交AC于點E，則CE的長為（）A．2 B．4 C． D．7．（2分）（2023春?南昌期中）在證明勾股定理時，甲、乙兩位同學給出如圖所示兩種方案，則方案正確的是（）A．甲對 B．乙對 C．兩人都對 D．兩人都不對8．（2分）（2023?阜寧縣二模）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab＝6，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為（）A．8 B．6 C．4 D．39．（2分）（2022秋?蒼溪縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D．已知AB＝16，CD＝5，則△ABD的面積為（）A．80 B．40 C．20 D．1010．（2分）（2021秋?宜秀區(qū)校級期末）在等邊三角形ABC所在的平面內(nèi)存在點P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．請指出具有這種性質(zhì)的點P的個數(shù)（）A．1 B．7 C．10 D．15二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?輝縣市二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一個銳角為60°，AB＝4，點D為BC的中點，連接AD，則點C到中線AD的距離為．12．（2分）（2023春?五華區(qū)校級期中）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學著作《周碑算經(jīng)》中，漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝24，則正方形EFGH的邊長為．13．（2分）（2023春?瑤海區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學史上稱為“希波克拉底月牙”若AC＝BC，且，則圖中所得兩個月形圖案AFCD和BGCE（圖中陰影部分）的面積之和等于．14．（2分）（2023春?曲江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，，D為AB邊上一動點（不與點A重合），△AED為等邊三角形，過點D作DE的垂線，F(xiàn)為垂線上任意一點，連接EF，G為EF的中點，連接BG，則BG的最小值是．15．（2分）（2023春?市南區(qū)期中）如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分線DE交BC于D，E為垂足，若BD＝10cm，則△ADC的周長為cm．16．（2分）（2023?道里區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ABD+∠CDB＝180°，AB+CD＝3，S△ABD＝2S△BCD（S△ABD表示△ABD的面積，S△BCD表示△BCD的面積），則BD的長為．17．（2分）（2022秋?道縣期末）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ．以下五個結論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ為等邊三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正確的有．（注：把你認為正確的答案序號都寫上）18．（2分）（2022秋?海安市期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是線段AB上一個動點，以BD為邊在△ABC外作等邊△BDE．若F是DE的中點，當CF取最小值時，△BDE的周長為．19．（2分）（2021秋?滑縣期末）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為3，過AB邊上一點P作PE⊥AC于點E，Q為BC延長線上一點，取PA＝CQ，連接PQ，交AC于M，則EM的長為．20．（2分）（2022秋?湖里區(qū)校級期中）如圖，AE是∠CAM的角平分線，點B在射線AM上，DE是線段BC的中垂線交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，則∠AED＝．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（8分）（2023春?青羊區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的高，角平分線BD交CE于點M．（1）求證：△CDM是等腰三角形；（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的長度．22．（8分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）如圖，AD為等腰△ABC的頂角∠BAC的平分線，∠ABC＝50°，在線段AD上取一點E．使得∠ACE＝20°，在線段CE上取一點F，使得∠FBC＝10°，連接BE，AF．（1）∠EBF＝度，∠EBA＝度，∠BFE＝度；（2）求證：BA＝BF；（3）BE與AF的位置關系為（直接寫出）．23．（8分）（2023春?黃埔區(qū)期中）如圖1，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，設CD＝x．（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長為；（2）求AC+CE的最小值；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結論，請模仿圖1在網(wǎng)格中（圖2）構圖并求代數(shù)式的最小值．24．（8分）（2023春?雙流區(qū)期中）如圖1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點，過O點作BC平行線交AB、AC于D、E．（1）請寫出圖1中線段BD，CE，DE之間的數(shù)量關系？并說明理由．（2）如圖2，△ABC若∠ABC的平分線與△ABC的外角平分線交于O，過點O作BC平行線交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之間存在什么數(shù)量關系？并證明這種關系．25．（8分）（2023春?臨朐縣期中）閱讀材料，解決問題：三國時期吳國的數(shù)學家趙爽創(chuàng)建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾股定理的證明．實際上，該“弦圖”與完全平方公式有著密切的關系．如圖2，這是由8個全等的直角邊長分別為a，b，斜邊長為c的三角形拼成的“弦圖”．（1）在圖2中，正方形ABCD的面積可表示為，正方形PQMN的面積可表示為．（用含a，b的式子表示）（2）請結合圖2用面積法說明（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之間的等量關系．（3）已知a+b＝5，ab＝4，求正方形EFGH的面積．26．（10分）（2023?張家口一模）等邊△ABC的邊長為2，P為△ABC內(nèi)一點，連接BP，PC，延長PC到點D，