專題07二次函數中的平移問題二次函數中的平移問題主要是點的平移和圖形的平移：針對頂點式拋物線的平移規(guī)律是：“左加右減（括號內），上加下減”，同時保持a不變。1．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，y軸交于點B，點C在線段上，以點C為頂點的拋物線M：經過點B．(1)求點A，B的坐標；(2)求b，c的值；(3)平移拋物線M至N，點C，B分別平移至點P，D，聯(lián)結，且軸，如果點P在x軸上，且新拋物線過點B，求拋物線N的函數解析式．【答案】(1)，(2)，(3)或【分析】（1）根據題意，分別將，代入直線即可求得；（2）設，得到拋物線的頂點式為，將代入可求得，進而可得到拋物線解析式為，即可求得b，c；（3）根據題意，設，，根據平移的性質可得點，點向下平移的距離相同，即列式求得，，然后得到拋物線N解析式為：，將代入可得，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點A，y軸交于點B，當時，代入得：，故，當時，代入得：，故，（2）設，則可設拋物線的解析式為：，∵拋物線M經過點B，將代入得：，∵，∴，即，∴將代入，整理得：，故，；（3）如圖：∵軸，點P在x軸上，∴設，，∵點C，B分別平移至點P，D，∴點，點向下平移的距離相同，∴，解得：，由（2）知，∴，∴拋物線N的函數解析式為：，將代入可得：，∴拋物線N的函數解析式為：或．【點睛】本題考查了求一次函數與坐標軸的交點坐標，求拋物線的解析式，平移的性質，二次函數的圖象和性質等，解題的關鍵是根據的平移性質求出m和a的值．2．（2024上·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，第二象限的點在拋物線上，點到兩坐標軸的距離都是．(1)求該拋物線的表達式；(2)將拋物線先向右平移個單位，再向下平移個單位后，所得新拋物線與軸交于點和點，已知，且，與軸負半軸交于點．①求的值；②設直線與上述新拋物線的對稱軸的交點為，點是直線上位于點下方的一點，分別連接、，如果，求點的坐標．【答案】(1)(2)①；②【分析】本題考查了二次函數的性質，待定系數法求解析式，直角三角形的性質，熟練掌握相關的性質，是解答本題的關鍵．（1）利用待定系數法，求得，由此得到答案．（2）①根據題意得到，平移后的拋物線表達式為，根據已知條件，令，求出，得到答案．②先利用已知條件，求出點，點，由此得到軸，過點，作軸于點，得到，又，設，，由此得到答案．【詳解】（1）解：根據題意得：點，點在拋物線上，，解得：，該拋物線的表達式為：．（2）①根據題意得：將拋物線先向右平移個單位，再向下平移個單位后的表達式為：，令，解得：，，，解得：；②由①拋物線的表達式為：，其對稱軸為，則點，當時，，即點，點、的縱坐標相同，軸，過點，作軸于點，由的坐標，得到，則，，設，，在中，，解得：，則點坐標為：．3．（2024上·上海長寧·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線．(1)用配方法把化為的形式，并寫出該拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標；(2)如果將該拋物線上下平移，得到新的拋物線經過點，求平移后的拋物線的頂點坐標．【答案】(1)該拋物線的開口向上，對稱軸是直線，頂點坐標為(2)【分析】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．（1）利用配方法把一般式化為頂點式，根據二次函數的性質寫出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標．（2）設平移后的拋物線解析式為，代入點，求得的值即可求解．【詳解】（1）解：，∴該拋物線的開口向上，對稱軸是直線，頂點坐標為；（2）設平移后的拋物線解析式為，∵新的拋物線經過點，∴，解得，∴平移后的拋物線解析式為，∴平移后的拋物線的頂點坐標是．4．（2024上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，將拋物線平移，使平移后的拋物線仍經過原點O，新拋物線的頂點為M（點M在第四象限），對稱軸與拋物線交于點N，且．(1)求平移后拋物線的表達式；(2)如果點N平移后的對應點是點P，判斷以點O、M、N、P為頂點的四邊形的形狀，并說明理由；(3)拋物線上的點A平移后的對應點是點B，，垂足為點C，如果是等腰三角形，求點A的坐標．【答案】(1)；(2)是正方形，理由見解析；(3)、、、．【分析】（1）由題意得，平移后的拋物線表達式為：，得到點M、N的坐標，進而求解；（2）由題意得到，，，，證明四邊形是平行四邊形，由，得到四邊形是矩形，由，即可得出結論；（3）當時，列出等式即可求解；當或時，同理可解．【詳解】（1）解：由題意得，平移后的拋物線表達式為：，則點M的坐標為：，當時，，即點，則，解得：（舍去）或，則平移后的拋物線表達式為：；（2）解：四邊形是正方形，根據題意可得，，，，記與交于點G，則，∴，，，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形；（3）解：設，，，可得，，，①，，即，解得，（舍去0），；②，，解得，，或；③，，解得，；綜上，點A的坐標是、、、．【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到正方形的性質、圖象的平移，等腰三角形存在問題等，分類求解是解題的關鍵．5．（2024上·上海黃浦·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與軸、軸分別交于點．對稱軸為直線的拋物線經過點，其與軸的另一交點為．(1)求該拋物線的表達式；(2)將該拋物線平移，使其頂點在線段上點處，得到新拋物線，其與直線的另一個交點為．①如果拋物線經過點，且與軸的另一交點為，求線段的長；②試問：的面積是否隨點在線段上的位置變化而變化?如果變化，請說明理由；如果不變，請求出面積．【答案】(1)；(2)①；②的面積不變，的面積為2．【分析】（1）先求得，，利用拋物線的對稱性求得，設拋物線的表達式為，利用待定系數法即可求解；（2）①；②聯(lián)立求得，利用待定系數法求得直線的解析式為，作軸交直線于點，求得，利用三角形的面積公式，列式計算即可求解．【詳解】（1）解：令，則；令，則，解得；∴，，∵對稱軸為直線，其與軸的另一交點為，∴，設拋物線的表達式為，把代入，得，解得，∴拋物線的表達式為；（2）解：①根據題意設新拋物線的頂點坐標為，則新拋物線的解析式為，∵拋物線經過點，∴，解得（舍去）或，當時，新拋物線的解析式為，令，則，解得或；∴與軸的另一交點為；∴；②的面積不變，∵新拋物線的解析式為，聯(lián)立得，整理得，解得或；∴，設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，作軸交直線于點，則點，∴，∴的面積不變，的面積為2．【點睛】本題考查的是二次函數的綜合運用，利用待定系數法求解函數解析式，坐標與圖形面積，二次函數圖象的平移，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵．6．（2024上·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點、點，頂點為點C，拋物線M的對稱軸交x軸于點D．(1)求拋物線M的表達式和點C的坐標；(2)點P在x軸上，當與相似時，求點P坐標；(3)將拋物線M向下平移個單位，得到拋物線N，拋物線N的頂點為點E，再把點C繞點E順時針旋轉得到點F．當點F在拋物線N上時，求t的值．【答案】(1)，點(2)或(3)【分析】（1）由待定系數法即可求解；（2）當時，則，即，即可求解；當時，同理可解；（3）根據圖像平移和旋轉求出點，代入函數解析式求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，則拋物線的表達式為：，∵∴頂點；（2）解：由（1）知，，又∵拋物線M的對稱軸交x軸于點D，∴點，∵、，，，∴、、、，，又∵與相似，∴點O與點C對應，當時，則，即，解得：，即點；當時，則，即，解得：，則點；綜上，點的坐標為：或；（3）解：如圖，過點作交于點，則，設平移后的拋物線表達式為：，則，在等腰中，，則，則點，將點的坐標代入函數表達式得：，解得：（舍去）或，故．【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖象的平移，旋轉的性質，二次函數圖象性質，相似三角形的判定性質等知識，分類求解是解題的關鍵．7．（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點、點（點在點的左側），與軸交于點，拋物線的頂點為，且．(1)求拋物線的表達式；(2)點是線段上一點，如果，求點的坐標；(3)在第（2）小題的條件下，將該拋物線向左平移，點平移至點處，過點作直線，垂足為點，如果，求平移后拋物線的表達式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設點的橫坐標為，點的橫坐標為，根據對稱軸，，列式，利用根與系數關系計算確定值即可．（2）過點作于點，交右側的的延長線于點，交左側的的延長線于點，利用三角形全等，確定坐標，后根據解析式交點確定所求坐標即可．（3）設拋物線向左平移了個單位，則點，過點作軸的平行線交過點和軸的平行線于點，交過點和軸的平行線于點，證明，根據相似三角形的性質得出即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點、點（點在點的左側），與軸交于點，拋物線的頂點為，且，∴，解得，∴，解得，故拋物線的解析式為．（2）過點作于點，交右側的的延長線于點，∵，∴，過點作軸于點，∴∵，∴，∴，∵拋物線的解析式為，，∴，，∴∴，設的解析式為，的解析式為∴，解得∴的解析式為，的解析式為，∴，解得，故；（3）∵，點,設拋物線向左平移了個單位，則點，過點作軸的平行線交過點和軸的平行線于點，交過點和軸的平行線于點，由（2）知，直線的表達式為：，設∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，，∴，解得：，∴．【點睛】本題為考查了二次函數綜合運用，三角形全等和相似、解直角三角形、圖象平移等，正確作輔助線是解題的關鍵．8．（2024上·上海靜安·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中（如圖），已知點、、、在同一個二次函數的圖像上．

(1)請從中選擇適當的點坐標，求二次函數解析式；(2)如果射線平分，交軸于點，①現將拋物線沿對稱軸向下平移，頂點落在線段的點處，求此時拋物線頂點的坐標；②如果點在射線上，當與相似時，請求點的坐標．【答案】(1)(2)①

②，【分析】（1）把解析式設為交點式，再把代入解析式中求解即可；（2）①過點E作于H，由角平分線的性質得到．利用勾股定理求出，進而利用等面積法求出，則，求出直線解析式為，再求出對稱軸為直線，由此即可求出；②先求出，設，則，，分當時，當時，兩種情況根據相似三角形的性質建立方程求解即可．【詳解】（1）解：設二次函數解析式為，把代入中得：，解得，∴二次函數解析式為；（2）解：①過點E作于H，∵射線平分，，∴，∵、，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，∵二次函數解析式為，∴對稱軸為直線，在中，當時，，∴；

②∵，∴，設，∴，，當時，則，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴；當時，則，∴，∴，解得或（舍去），；綜上所述，或．【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，相似三角形的性質，勾股定理，角平分線的性質，一次函數與幾何綜合等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．9．（2024上·上海青浦·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點和點，與軸交于點．

(1)求、的值和點的坐標；(2)點為拋物線上一點（不與點重合），當時，求點的坐標；(3)在（）的條件下，平移該拋物線，使其頂點在射線上，設平移后的拋物線的頂點為點，當與相似時，求平移后的拋物線的表達式．【答案】(1)，，，(2)；(3)．【分析】（）由待定系數法即可求解；（）證明，則直線的表達式為，即可求解；（）當與相似時，證明，得到，則

，即可求解；本題考查了二次函數綜合運用，涉及到三角形相似、一次函數的圖象和性質等，解題的關鍵是熟練掌握知識點的應用．【詳解】（1）由題意得:，解得：，當時，，則，（2）由（）得：∴拋物線解析式為，

由點、的坐標知，軸，由點、的坐標知，，則直線的表達式為：，聯(lián)立得：，解得：（舍去）或，∴時，，則點；（3）由點、的坐標得直線的表達式為：，故設點，由點、、、的坐標得，，，，當與相似時，∵，，則，∴，則，即，即，解得：，則點，則拋物線的表達式為：．10．（2024上·上海松江·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，拋物線的圖像經過原點、點，此拋物線的對稱軸與x軸交于點C，頂點為B．(1)求拋物線的對稱軸；(2)如果該拋物線與x軸負半軸的交點為D，且的正切值為2，求a的值；(3)將這條拋物線平移，平移后，原拋物線上的點A、B分別對應新拋物線上的點E、P．聯(lián)結，如果點P在y軸上，軸，且，求新拋物線的表達式．【答案】(1)直線(2)(3)【分析】該題主要考查了二次函數綜合，涉及知識點主要有解直角三角形，二次函數的圖象和性質，全等三角形的性質和判斷，函數平移等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點；（1）將、代入解析式再求解即可；（2）過A作軸，根據求解即可；（3）由（1）算出，，再根據點P在y軸上，軸，作軸于K，得出證明得出，又結合平移得出，在中，由列方程解出，即可求解；【詳解】（1）過，又過，∴，∴的對稱軸為直線，（2）由（1）知，，∴，過A作軸，，，（3）由（1）得，，∴，對稱軸為直線，故，點P在y軸上，軸，作軸于K，設交y軸于L，，∴又又，，∴，又由平移知，∴，∴，又在中，，∴，或，，，∴二次函數解析式為，∴為，∴新拋物線解析式為11．（2024上·上海金山·九年級統(tǒng)考期末）已知：在平面直角坐標系中，拋物線過點、、．(1)求拋物線的表達式和頂點的坐標；(2)點在拋物線對稱軸上，，求點的坐標；(3)拋物線的對稱軸和軸相交于點，把拋物線平移，得到新拋物線的頂點為點，，的延長線交原拋物線為，，求新拋物線的表達式．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用待定系數法解得該拋物線解析式，并將其轉化為頂點式，即可確定點的坐標；（2）設點，根據勾股定理可得，，，在中，由勾股定理可得，然后代入求值，即可獲得答案；（3）首先過點作于點，根據等腰三角形“三線合一”的性質確定點為中點，易得；過點作軸于點，證明，由全等三角形的性質可得，，易知點的橫坐標為，進而確定點，點，然后根據平移的性質，即可獲得答案．【詳解】（1）解：將點、、代入拋物線，可得，解得，∴該拋物線的表達式為，又∵，∴頂點的坐標為；（2）如下圖，根據題意，點在拋物線對稱軸上，，設點，∵，，∴，，，在中，由勾股定理可得，即，解得，∴點的坐標為；（3）如下圖，∵原拋物線，∴其對稱軸為，∴，∵新拋物線的頂點為點，，過點作于點，則，即點為中點，∵，，∴，∴，過點作軸于點，∵，，，∴，∴，，∴點的橫坐標為，∴，∴，∴，∴，∵把原拋物線平移，得到新拋物線，∴新拋物線解析式為．【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式、利用二次函數解決幾何問題、勾股定理、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識，解題關鍵是運用數形結合的思想分析問題．1．（2023上·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期末）已知平面直角坐標系，拋物線經過點和兩點.(1)求拋物線的表達式；(2)如果將這個拋物線向右平移個單位，得到新拋物線經過點，求的值.【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次函數的解析式求解以及二次函數的平移，注意計算的準確性即可．（1）將點和代入即可求解；（2）由（1）得，設平移后的拋物線表達式為，將點代入即可求解．【詳解】（1）解：將點和代入得：解得∴拋物線的表達式是：.（2）解：由（1）配方得：根據題意可設平移后的拋物線表達式為∵經過點；∴解得：，∵∴.2．（2023上·上海浦東新·九年級校考階段練習）已知拋物線如圖所示，請結合圖像中所給信息完成以下問題：

(1)求拋物線的表達式：(2)若該拋物線經過一次平移后過原點，請寫出一種平移方法，并寫出平移后得到的新拋物線的表達式．【答案】(1)(2)將拋物線向下平移個單位，【分析】（1）由題意可設拋物線的解析式為，把代入上式，即可求解；（2）把拋物線表達式化為一般式，根據平移的性質即可求解．【詳解】（1）解：由題意可得，拋物線過點∴設拋物線的解析式為：，把代入，可得，解得：，拋物線的解析式為：；（2）由（1）得，將拋物線向下平移個單位，得，得到該拋物線經過一次平移后過原點，3．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：經過點，．(1)求函數解析式；(2)平移拋物線使得新頂點為（m＞0）．①倘若，且在的右側，兩拋物線都上升，求的取值范圍；②在原拋物線上，新拋物線與軸交于，時，求點坐標．【答案】(1)(2)①k≥2②P的坐標為（2，3）【分析】（1）把，代入，求解即可；（2）①由，得頂點坐標為(0，-3)，即點B是原拋物線的頂點，由平移得拋物線向右平移了m個單位，根據，求得m=2，在的右側，兩拋物線都上升，根據拋物線的性質即可求出k取值范圍；②把P（m，n）代入，得n=，則P（m，），從而求得新拋物線解析式為：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，則Q(0，m2-3)，從而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，過點P作PC⊥y軸于C，則PC=|m|，根據等腰三角形的性質可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根據tan∠BPC=tan60°=，即可求出m值，從而求出點P坐標．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得：，∴函數解析式為：；（2）解：①∵，∴頂點坐標為(0，-3)，即點B是原拋物線的頂點，∵平移拋物線使得新頂點為（m＞0）．∴拋物線向右平移了m個單位，∴，∴m=2，∴平移拋物線對稱軸為直線x=2，開口向上，∵在的右側，兩拋物線都上升，又∵原拋物線對稱軸為y軸，開口向上，∴k≥2，②把P（m，n）代入，得n=，∴P（m，）根據題意，得新拋物線解析式為：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，∴Q(0，m2-3)，∵B（0，-3），∴BQ=m2，BP2=，PQ2=，∴BP=PQ，如圖，過點P作PC⊥y軸于C，則PC=|m|，∵BP=PQ，PC⊥BQ，∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，∴tan∠BPC=tan60°=，解得：m=±2（舍去負數），∴n==3，故P的坐標為（2，3）.【點睛】本題考查待定系數法求拋物線解析式，拋物線的平移，拋物線的性質，解直角三角形，等腰三角形的性質，本題屬拋物線綜合題目，屬中考常考試題目，難度一般．4．（2023上·上海普陀·九年級統(tǒng)考階段練習）在平面直角坐標系中（如圖），已知拋物線經過和，與軸的另一個交點為．

(1)求該拋物線的表達式及頂點的坐標；(2)將拋物線先向右平移2個單位，再向下平移（）個單位后得到的新拋物線與軸交于點，新拋物線的頂點為；①求新拋物線的表達式及頂點的坐標；②點是新拋物線對稱軸上的一點，當與相似時，求點的坐標．【答案】(1)，(2)①，；②或【分析】本題考查待定系數法求函數解析式，二次函數的圖象及性質，二次函數圖象的平移，相似三角形的性質．（1）把點和代入函數中，即可求出a、c的值，從而得到該拋物線的表達式，根據二次函數的性質即可得到拋物線頂點M的坐標．（2）①根據平移可得新拋物線的表達式為，把點代入即可求出m的值，進而得到頂點坐標．②把代入函數，可求得拋物線與軸的另一個交點C的坐標，根據點A，B，C的坐標可求出的三邊，，的長．根據新拋物線的表達式可得對稱軸為，從而設點N的坐標為，根據點，，，可得到三邊，，的長．若與相似，根據相似三角形的對應邊成比例，分情況討論，構造方程即可求解．【詳解】（1）∵拋物線經過和，∴，解得，∴拋物線的表達式為，∵，∴拋物線的頂點M坐標為．（2）①∵將拋物線右平移2個單位，再向下平移（）個單位，得到新的拋物線，∴新拋物線的表達式為，∵新拋物線與軸交于點，∴，解得，∴∴新拋物線的表達式為，頂點坐標為．②

把代入函數，得，解得，，∴拋物線與軸的另一個交點C的坐標為，∵，，，∴，，，∵新拋物線的對稱軸為，點N是該對稱軸上的一點，∴設點N的坐標為，∵，，，∴，，，若與相似，則有以下情況：①，即，解得：，∴點N的坐標為；②，即，該方程組無解；③，即，該方程組無解；④，即，該方程組無解；⑤，即，解得：，∴點N的坐標為；⑥，即，該方程組無解．綜上所述，點N的坐標為或．5．