2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末考試全真模擬卷(二)

數(shù)學(xué)試卷

單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

cii—\

1.復(fù)數(shù)——在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

i

A.(-oo,-l)B.(-oo,0)

C.(0,+oo)D.(I,+oo)

【答案】C

rxi-ai—1(ai—1)z—ci—i.

【解析】-----_一=---------=a+i

ii2-1

因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第?象限，所以a>0,故選c.

2.平面向量￡與B的夾角為60°,a=(2?0),\h1=1,則|1+2刈等于

A.百B.2百C.4D.12

【答案】B

【解析】

把|萬(wàn)+2后|平方后再開(kāi)方即可.因?yàn)椤?(2,0),|加=1

所以|a|=2,人石=2xlxcos60°=1

所以|〃+2區(qū)|=小〃+44?石+4役-=25/3

故選：B.

3.對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為〃(九22)的樣本，選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣兩種不同方法抽取

樣本，在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率為P1,某個(gè)體第一次被抽中的概率為〃2；在分層隨

機(jī)抽樣中，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為P3則()

A.p2<p]<B.P|=〃2=，3C.〃2<〃I=P3D.，|,必，〃3，沒(méi)有關(guān)系

【答案】B

【解析】

根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣的定義即可得到結(jié)論.根據(jù)抽樣調(diào)查的原理可得簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分層抽樣都必須

滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，即P1=P2=

故選：B.

4.空間四邊形Q鉆C的各邊及對(duì)角線長(zhǎng)度都相等，D、E、尸外別是A3、BC、C4的中點(diǎn)，下列四個(gè)

結(jié)論中不成立的是（）

A.BC//平面PDFB.。尸_L平面Q4E

C.平面平面ABCD.平面PAEJ_平面A8C

【答案】c

【解析】

由線面平行的判定定理可判斷A；由線面垂直的判定定理可判斷B；反證法可說(shuō)明C：由面面垂直的判定定理可

判斷D.對(duì)于A,???。，/外別是A6,C4的中點(diǎn)，.?.BC//OE，DFU平面PDF，，BC〃平面PDF，

故A正確，不符合題意；

對(duì)于B,?.?各棱長(zhǎng)相等，E為中點(diǎn)，?.?8C_LAE,BC_LPE,?.?PECAE=E,

.?.8。_1平面24￡，;6。//。/，，。/_1平面24￡，故B正確，不符合題意;

對(duì)于C,假設(shè)平面?！晔?，平面ABC，設(shè)DEcBF=O,連接尸。，則。是。E中點(diǎn)，.?.PO_LOE,???平

面POED平面ABC=Z）￡,，PO_L平面4BC，?.?BEu平面ABC，.?.POLB/7,則必=77、與

PBwPF矛盾，故c錯(cuò)誤，符合題意；

對(duì)于D,由B選項(xiàng)叱_L平面￡>Fu平面A8C，.??平面PAE_L平面ABC，故D正確，不符合題

故選：C.

5.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（）

A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球

B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球

C.恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球

D.至少有一個(gè)黑球與都是紅球

【答案】C

【解析】

列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，逐項(xiàng)判斷.A：事件：”至少有一個(gè)黑球"與事

件："都是黑球"可以同時(shí)發(fā)生，如：兩個(gè)都是黑球，,這兩個(gè)事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；

B：事件："至少有一個(gè)黑球"與事件："至少有一個(gè)紅球"可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，故錯(cuò)誤；

C：事件："恰好有一個(gè)黑球"與事件：”恰有兩個(gè)黑球"不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)

都是紅球，，兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件，故正確

D：事件："至少有一個(gè)黑球"與"都是紅球"不能同時(shí)發(fā)生，但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，

,這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；

故選：C

6.若（a+Z?+c）S+c-a）=3/?c,且sinA=2sin3cosC，那么△/18。是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

首先利用余弦定理求出A，再由sinA=2sin8cosC利用正弦定理將角化邊，以及余弦定理將角化邊可得

b=c,即可判斷三角形的形狀;解：?.?（a+/?+c）S+c-a）=3Z?c,

[(Z?+c)+a][(ft+c)-a]=3bc,

{b+c)2-a2=3bc,

b~+2/?c+c?—a~=3bc，

b1—bc+c2=a2，

根據(jù)余弦定理有a?=b2+c2-2bccosA，

b2-be+c2=a2=b2+c2-2bccosA，

bc=2hccosA<

,1

cosA--,

2

.-.A=60°.

又由sinA=2sinjBcosC，

122

IJ.,1sinAaa+b-c

則------2cosC,即一=2---------,

sinBblab

化簡(jiǎn)可得，芳=*，

即b=c,

.1△ABC是等邊三角形

故選：B.

7.如圖，在正方體A5CD-A3'C'￡>'中，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，若線段所長(zhǎng)度為一定值，則下

列結(jié)論中第誤的是()

A.ACA.BE

B.8。，平面4?￡；

c.防//平面A8CO

D.三棱錐5-AEV的體積為定值

【答案】B

【解析】

對(duì)A,連接8D,通過(guò)證明AC_L平面33'D'O可得；對(duì)B,通過(guò)乙480=45°可判斷；對(duì)C,通過(guò)平面48c。〃

平面A'&CT/可判斷；對(duì)D,可判斷三棱錐的高和底面積為定值.對(duì)A,連接BD,?.?底面ABCD是正方形，

AC1BD,又DZ)'_L平面ABCD,ACU平面ABC。，_LAC，?.?5￡>c￡>￡/=￡>，...AC，平

面BB'。'。，?.?8￡<=:平面88'。'。，；.4。，3石，故A正確，不符合題意；

對(duì)B,若平面43E，?.?ABu平面43E,.?.BD_LA8,但顯然NA3￡>=45°，所以3。J_平面ABE

不成立，故B錯(cuò)誤，符合題意；

對(duì)C,正方體中，平面ABCD〃平面AB'C。'，?.?所U平面AB'C'。'，〃平面ABCD,故C正確，不

符合題意；

對(duì)D,?.?點(diǎn)4到平面BEF的距離也是點(diǎn)A到平面BBdD的距離，等于AC的一半，即三棱錐高為定值，而以孫

的邊EE為定值，高為BB'為定值，故體積為定值，故D正確，不符合題意.

故選：B.

8.設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A民C所對(duì)的邊分別為凡"。，若A=(,a=百，則/的取值范圍為

()

A.(1,9]B.(3,9]

C.(5,9]D.(7,9]

【答案】D

【解析】

g—再由余弦定理可得/+c2+0c=8sin8sin3

由正弦定理求出b=2sinB,c=2sinT-4-

化為5+4sin12B一看卜結(jié)合角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.因?yàn)锳=恭=技

a_6_?_b_c

由正弦定理可得sinAV3sinB.(2萬(wàn).

2I3)

(2萬(wàn)

則有b=2sinB,c=2sinI———B

由△ABC的內(nèi)角A8,C為銳角，

Q<B<-,

可得〈c2，

c2萬(wàn)c萬(wàn)

0<------B<—,

32

71n71兀cn兀57r1.\r\n乃)tcA?1/>>-4A

:.—<B<—=>—<2B<——=>—<sin2B<1=>2<4sin2B<4,

626662L6j(6J

由余弦定理可得。2=b2+c2-2bccosA=>3=Z?2+c2-be,

因此有。2+02+加=勖。+3

=8sinBsin-8)+3

=4A/3sinBcosB4-4sin2B+3

=2V3sin2B-2cos28+5

=5+4sin|2B--|G(7,9]

故選：D.

二.多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.全對(duì)得5分，少選得3分，多選、錯(cuò)選不得

分.

9.已知，為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是

A.=。

B.復(fù)數(shù)z=3—i的虛部為—i

C.若z=(l+2i)2,則復(fù)平面內(nèi)三對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

D.已知復(fù)數(shù)Z滿足|z-l|=|z+l|,則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線

【答案】AD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【解析】A選項(xiàng)，，+『+『+/=，一1一，+1=0，故A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，Z的虛部為—1，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，z=l+4i+4/=—3+4i5=-3—4i，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為（-3,-4）在第三象限，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，,一1|=上+1|=卜一（一1）|表示2到4（1,0）和8（-1,0）兩點(diǎn)的距離相等，故z的軌跡是線段A8的

垂直平分線，故D選項(xiàng)正確.故選AD

10.對(duì)任意向量b>下列關(guān)系式中恒成立的是（）

A.\a-b\<\a\\b\

B.|a-S|<||a|-|^||

2

c.（萬(wàn)+5）=|2+汗

D.（1+5）?（萬(wàn)_$）=萬(wàn)2_$2

【答案】ACD

【解析】

由數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.對(duì)于A,設(shè)向量辦的夾角為6,因?yàn)?/p>

|a-S|=|a|-|^|-|cos6>|<pz|-|^|,所以A正確；

對(duì)于B,如圖，設(shè)次=￡,OB=b<則麗=2—B，所以，|O4|=|Z|，加，|區(qū)4|=|￡一3|,因

為|84閔。4|—耳，所以|1石|2恒|一間，故B錯(cuò)；

對(duì)于C,因?yàn)橄蛄康钠椒降扔谙蛄磕５钠椒剑瑒t（Z+B）2=歸+閘2，所以c正確;

時(shí)JD,(a+b)-(a—b)=a—a-b+h-a-^-b=a—b'所以D正確.

故選：ACD.

11.點(diǎn)M是正方體ABC。一A4G。中側(cè)面正方形A。。A內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的是（）

A.滿足CNL4,的點(diǎn)M的軌跡為線段

B.點(diǎn)M存在無(wú)數(shù)個(gè)位置滿足直線H平面BCQ

C.在線段AA上存在點(diǎn)M，使異面直線與M與CD所成的角是30。

D.若正方體的棱長(zhǎng)為1,三棱錐8-G/。的體積的最大值為:

【答案】ABD

【解析】

對(duì)于A,由正方體的性質(zhì)和。加，他可得4〃_1平面4。。，從而可得點(diǎn)M在線段A。上時(shí)，有

CM±ADX.對(duì)于B,由正方體的性質(zhì)可得平面AD耳II平面BCQ,所以當(dāng)點(diǎn)M在AQ上時(shí)，均有B1M//

平面BCQ,從而可判斷；對(duì)于c,異面直線4M與8所成的角是NA4M,當(dāng)M在線段AR上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

點(diǎn)M取的中點(diǎn)時(shí)，N44M最小，其正切值為注＞32,從而可判斷；對(duì)于D,由正方體的性質(zhì)得，

23

4。，平面5。1￡）,若正方體的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)M與A重合時(shí)，三棱錐8—GM。的體積取得最大，從而可

求出其體積解：對(duì)于A,如圖，在正方體A5CD—AgGA中，CD_L平面A0A4,ARu平面AOQA，

所以CCAR,因?yàn)?。，4口，A}DC\DC=D,所以平面4。。，所以當(dāng)點(diǎn)M在線段4。上

時(shí)，有CMJ.A￡＞「所以點(diǎn)A/的軌跡為線段，所以A正確；

對(duì)于B,在正方體ABC。一AfCQi中，因?yàn)橛谩lBD，BDu平面BCQ,與"u平面BCQ,所以

耳。|||平面3。|。，同理A?！逼矫鍮G。，而42030=2,所以平面AD4||平面3G。，所以當(dāng)

點(diǎn)M在AD,上時(shí)，均有BtM//平面BQD,所以點(diǎn)M存在無(wú)數(shù)個(gè)位置滿足直線B}MII平面BCQ,所以

B正確；

對(duì)「C,異面直線耳M與。。所成的角是NAqM,當(dāng)“在線段AR上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M取A0的中點(diǎn)時(shí)，

NA4M最小，其正切值為也〉立，所以不存在點(diǎn)M，使異面直線與C。所成的角是30。，所以c

23

錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由正方體的性質(zhì)得，ACJL平面8G。，若正方體的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)M與4重合時(shí)，三棱錐B—GMD

的體積取得最大，其值為JxLxJIx血x走x2叵=1,所以D正確,

32233

故選：ABD

12.從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是工，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，?，從兩袋各摸出一個(gè)球，下列結(jié)論

32

正確的是（）

A.2個(gè)球都是紅球的概率為！B.2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為‘

62

c.至少有1個(gè)紅球的概率為2D.2個(gè)球不都是紅球的概率為！

33

【答案】ABC

【解析】

根據(jù)從甲袋或從乙袋中摸球互不影響,得到從兩個(gè)袋子中摸球的事件為相互獨(dú)立事件，然后各選項(xiàng)利用獨(dú)立事

件概率的乘法公式求解A因?yàn)閺募状忻鲆粋€(gè)紅球的概率是一，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是工，所以

32

2個(gè)球都是紅球的概率為0='*'=’，故正確；

326

B.因?yàn)閺募状忻鲆粋€(gè)紅球的概率是工，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是人,所以2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球

32

11

的概率為P=+x—'=~,故正確;

22

C.因?yàn)閺募状忻鲆粋€(gè)紅球的概率是工，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是所以至少有1個(gè)紅球的概率

32

1(1}1112

為p==7,故正確;

Jk乙JkDJ乙D乙J

D.因?yàn)閺募状忻鲆粋€(gè)紅球的概率是一，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是!，所以2個(gè)球不都是紅球的概

32

率為p=lx—=一，故錯(cuò)誤:

326

故選：ABC

三.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在一次全運(yùn)會(huì)男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽.羽毛球的比賽規(guī)則是3局2勝制，假設(shè)

每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，估計(jì)甲獲得冠軍的概率.為此，用

計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1?5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1,2或3時(shí)，表示一局比賽甲獲勝，其概率為06由于要比賽

三局，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組.例如，產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

423231423344114453525323152342

345443512541125342334252324254

相當(dāng)于做了20次重復(fù)試驗(yàn)，用頻率估計(jì)甲獲得冠軍的概率的近似值為.

【答案】0.65

【解析】

由20組隨機(jī)數(shù)中先求出甲獲勝的頻數(shù)，從而可求出甲獲勝的頻率，進(jìn)而可得答案解：由題意可知，20組隨機(jī)

數(shù)中甲獲勝的有：423231423114323152342512125342334252324有13組，

13

所以甲獲勝的頻率為，=0.65,

20

所以甲獲得冠軍的概率的近似值約為0.65,

故答案為：（）.65

14.已知力是空間兩個(gè)不同的平面，帆,〃是空間兩條不同的直線，給出的下列說(shuō)法：

①若m//c,〃//￡,且加〃〃，則。///?：

②若m//a,〃///?,且〃則

③若加_La,nLp,且〃?〃〃，則

④若加_La,n±j3,且〃z_L〃，則

其中正確的說(shuō)法為（填序號(hào)）

【答案】③④

【解析】

利用空間線面、面面平行、垂直的性質(zhì)定理和判定定理分別分析四個(gè)命題，得到正確答案.①加//a，〃//￡，

且〃〃/〃，則名△可能相交，故①錯(cuò)誤；

@mlla，nil且機(jī)_1〃，則a,僅可能相交，也可能平行，故②錯(cuò)誤;

③〃?_La，〃，/?.且加〃〃，則a〃4，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知③正確；

④加_La,〃，力、且加，“，則。，萬(wàn)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知④正確.

故答案為：③④.

15.己知向量落B滿足|5|=1,a2-yab+l=O,則九（2M+S）的取值范圍是.

【答案】|,7

【解析】

I3o

由數(shù)量積公式結(jié)合-1tfcosO1得出§0萬(wàn)區(qū)3,再由?。?4+5）=2萬(wàn)萬(wàn)+1=：工+《結(jié)合二次函數(shù)的性

質(zhì)得出所求范圍.?.?展5=\a\\b|cos0=\a\cos0

I。10、°-

.二）2萬(wàn)?萬(wàn)+1=0可得|一_萬(wàn)|cos9+l=0可變形為C°S—10||

1＜團(tuán)+11

由-1KcosO1可知，10.解得一區(qū)3

1“3

---3。8「5一

:.b\2a^-b）=2a-b+\=-a2^-e-,7

故答案為：-,7

16.已知|。N|二|麗1=1,若存在R,使得加通+65與山而+麗夾角為60°，且

（加通+方）一（〃而+而）1=;,則I4耳的最小值為.

【答案】叵

2

【解析】

一_____1____1

設(shè)2=兩=加通+礪，6=南=”而+礪可得A,A',8,8'共線，又|a—b|=|B'A|=5,當(dāng)|B'A|=]

為最小時(shí)0回最小，而此時(shí)A'、8'關(guān)「y軸對(duì)稱，結(jié)合己知即可求|通|的最小值.由題意，AB=OB-OA'

，令a=OA'=?iAB+QA=(l-/n)OA+7nO3,b=OB'=nAB+OB=(1+n)OB-nOA,故有

共線,

y

.?歸一同=i配可=g,故當(dāng)且僅當(dāng)?兩i=g為最小時(shí)，口司最小,

...有4、3'關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，|麗|最小，此時(shí)。到AB的距離為G.號(hào)］=字

故答案為：叵.

2

四.解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17.已知復(fù)數(shù)z=o+i(o>0,o￡R),/?為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z+一為實(shí)數(shù).

Z

(1)求復(fù)數(shù)Z；

(2)在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)(m+z)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】⑴z=l+i；(2)(0,+。).

,,22

【解析】（1）因?yàn)閦=a+?o>0）,所以zd—=a+i+

z<7+Z

2((l-z)2a-2i2a

=a+i+=a+/+2.?^+―~~-

4+1Q-+1I+1

22

由于復(fù)數(shù)z+一為實(shí)數(shù)，所以1一

Z777=°'

因?yàn)閛>0,解得o=L因此，z=l+/\

(2)由題意(m+z)2=(m+l+/)2=(m+l)2—l+2(m+l)i=(m2+2m)+2(m+l)。

'2

m"+2m>0

由于復(fù)數(shù)（m+zF對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則（■解得m>0.

2(/7?+1n)>0n

因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0,+8）.

18.某市為了了解中學(xué)生課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了1000名高一學(xué)生，并獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位:

小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表.

組號(hào)分組頻數(shù)頻率

1[0,5)500.05

2[5,10)a0.35

3[10,15)300b

4[15,20)2000.20

5[20,25)1000.10

合計(jì)10001

頻率

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

時(shí)間

051015202530

（1）求。，力的值，并在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（用陰影涂黑）；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）;

（3）現(xiàn)從第4,5組中用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中任意抽取2人進(jìn)行調(diào)研《紅樓夢(mèng)》的閱讀情

況，求抽取的2人中至少有一人是5組的概率.

_3

【答案】（1）。=35（），力=0.30；圖象見(jiàn)解析：（2）x=12,25.中位數(shù)11.67：（3）

【解析】

（D根據(jù)頻率分布直方表，列出方程組，即可求得a,b的值，進(jìn)而得到頻率分布直方圖；

（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算公式，即可求得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；

（3）設(shè)第4組為A,,A4,第5組為⑸，B2,利用列舉法，求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包

含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.（1）根據(jù)頻率分布直方表，可得

50+4+300+200+100=1000

'0.05+0.35+Z?+0.20+0.10=l'

解得a=35(),/?=0.30,

頻率分布直方圖，如圖所示:

(2)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù):x=2.5x0.05+7.5x0.35+12.5x0.3+17.5x0.2+22.5x0.1=12.25>

由題圖可知，中位數(shù)應(yīng)在10至15之間，設(shè)中位數(shù)為x,

則0.05+0.35+10)x0.06=0.5,解得x*11.67，故中位數(shù)的估計(jì)值為11.67.

(3)從第4,5組抽取的人數(shù)分別為4,2,第4組的4人，

設(shè)為4，4，A&,第5組的2人，設(shè)為B2,

則從該人中選出人的基本事件有ABAB

624A2,4A,，44,\\-\2>44,AA-4g,A,B2,44,

,月冬，共種，

A3A，A3B2,Ag,A4B215

其中都是第4組的基本事件有44，AA3,AA“4A3,4A“4A”共6種，

693

所以至少有一名學(xué)生是5組的概率”=1——=—=一.

15155

19.已知向量。=cosTX,Sin|X）出=[os泉一sin楙）,且嗚求:

(1)75及I。+BI；

____3

(2)若/(光)=1〃+5]的最小值為一萬(wàn)，求實(shí)數(shù)義的值.

【答案】(1)ab=cos2x?\a+b\=2cosx(2)2=—.

【解析】

(1)利用向量的數(shù)量積和向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算公式，直接運(yùn)算，即可求解;

(2)由(1)求得函數(shù)/(%)=2以”21-4*05%-1,%€[0,§,令，=cosxe[0,l],得到

y=2z2-42r-l,Ze[0,l],結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.(1)由題意，向量

￡=(cos|x,sin|x),B=X.X、

cos—.-sin一

22)

3.3)%x3x3x3xx

可得a?坂=cos—x,sin-xcos-,-sin-=cos-xcos一一sin-xsin-=cos(一+—)=cos2x,

22)22j222222

又由二Jcos2|-x+sin2|-x=l,|^|=J(cos])2+(-sin^)2=1

所以

|￡+b|=JU+B+2a?B=Vl+l+2cos2x=j2+2cos2犬=2cosx,

—?—"—?—?jri

(2)由(1)可得/(冗)=a?。-24|a+b|=cos2x—4Xcosx,x￡[0,—|,

21

,式

即/(x)=coslx-4/icos%=2cos2x-42cosx-l,xe[0,—],

☆f=cosxw[0,l],所以y=2r-4力,

對(duì)稱軸為f=4,

若/IWO,則ymin=-l，不符合題意；

若人21,則^^=1—4/1=—=3,解得2=59(舍去)；

2o

若0<4<1，則^^=一1—2丸2=——,解得；!=；,

22

綜上可得：義=上

2

20.AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知(2sinA—6sinB)2=4sin2C-sin28.

(1)求角C的大小；

(2)若5=1,c=J7,求cos(B—C)的值.

【答案】⑴C=工；⑵區(qū).

614

【解析】

(1)將等式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C；

⑵利用正弦定理求出sinB，辦根據(jù)b<c，可知8<C，進(jìn)而可根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，求出cosB，再利用

兩角差的余弦公式可求得答案.⑴由(2sinA—百sin8產(chǎn)=4sin?C—sin?B化簡(jiǎn)，

得sin?A+sin?8-si/C=百sinAsin5，由正弦定理，得a?+b?-c?=&ib，

由余弦定理得cosCL=走,又Ce(O,?),所以。=工.

2ab26

⑵因?yàn)閎=l，c=J7,所以由正弦定理一絲=」一，得sin6=如吐=巫，

sinBsinCc14

因?yàn)?<c,所以B<C，所以cos3=Jl—sin2B=￡^，

14

所以cos(5—C)=cosBcosC+sin5sinC=x2^+X—=5g

14214214

cF-j

所以cos(8—C)=得一.

21.如圖，在三棱柱ABC—A'B'C'中，側(cè)棱CC_L底面ABC,AB=AC,。，瓦尸分別為棱AA',83',8c

的中點(diǎn).

(1)求證：BC1AF；

(2)若A3=2,3C=CC'=2痣,求三棱錐D-AEF的體積.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）上.

3

【解析】

（1）可證AF，平面BCC，從而得到BC'A.AF.

（2）取AB的中點(diǎn)為G，連接FG，可證FG，平面ADE，故可求三校錐D-AEF的體積.因?yàn)閭?cè)

棱CC'i?底面ABC,AFu平面ABC.所以CC'_LAR，

因?yàn)閎為中點(diǎn)，AB=AC,故5CJ_AF,而CC'cBC=C,

故AEL平面3CC，而B(niǎo)C'u平面8CC'，故8C'_LAR.

（2）取A8的中點(diǎn)為G，連接FG.

因?yàn)锳5=AC=2,3C=2&，故BC?=+,故ACLAB,

因?yàn)镃F=EB,AG=G8,故,FGHAC，且FG=1,故尸GJ_A3，

因?yàn)槿庵鵄BC-A'B'C中，側(cè)棱CCJ■底面ABC，

故三棱柱A5C—AB'C'為直棱柱，故88'，底面ABC，

因?yàn)镋Gu底面ABC，故8?_LEG，而B(niǎo)B'cAB=B，

故R7_L平面A￡>E，

而SAnF=—xADxAB=—xAA'xAB=—xCC'xAB=yjl,

-ADE244

故匕MF~%ADF='XV2xl=.

A-UtLrr-/yUtZ3'3

B

22.在四棱臺(tái)ABC。-