PAGEPAGE4課時(shí)過關(guān)檢測(cè)(三十八)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積A級(jí)——基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．(2024·天津模擬)已知一個(gè)圓錐的母線長為4，且其側(cè)面積是其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為()A．π B．eq\f(3π,2)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(π,2)解析：A不妨設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，依據(jù)題意，則4×eq\f(1,2)×2rh＝πrl，所以h＝eq\f(π,4)l＝eq\f(π,4)×4＝π．2．如圖所示，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積為()A．eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2) B．1＋eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\r(2) D．2＋eq\r(2)解析：D由題意，依據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，可得該平面圖形是上底長為1，下底長為1＋eq\r(2)，高為2的直角梯形OABC，如圖所示，所以計(jì)算得面積為S＝eq\f(1,2)(1＋1＋eq\r(2))×2＝2＋eq\r(2)．故選D．3．一個(gè)球的表面積是16π，那么這個(gè)球的體積為()A．eq\f(16,3)π B．eq\f(32,3)πC．eq\f(64,3)π D．eq\f(256,3)π解析：B設(shè)這個(gè)球的半徑為R，則4πR2＝16π，得R＝2，所以這個(gè)球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π．故選B．4．(2024·青島質(zhì)檢)如圖，一個(gè)直三棱柱形態(tài)的容器中盛有水，側(cè)棱AA1＝4，若側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，水面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)酌鍭．2 B．eq\f(5,2)C．3 D．eq\f(7,2)解析：C當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，水的形態(tài)為四棱柱，底面是梯形，面積為S，此時(shí)水的體積V＝S·AA1＝4S，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形態(tài)為三棱柱，設(shè)水面高為h，此時(shí)水的體積V＝S△ABC·h，又S＝eq\f(3,4)S△ABC，∴h＝eq\f(4S,S△ABC)＝3，故選C．5．(多選)下列說法正確的是()A．棱柱的側(cè)棱長都相等B．棱柱的兩個(gè)相互平行的面肯定是棱柱的底面C．棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形D．用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面解析：ADA正確；B不正確，例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也相互平行；C不正確，棱臺(tái)的側(cè)棱長可能不相等；D正確，用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面．故選A、D．6．(多選)如圖所示的圓錐的底面半徑為3，高為4，則()A．該圓錐的母線長為5B．該圓錐的體積為12πC．該圓錐的表面積為15πD．三棱錐S-ABC體積的最大值為12解析：ABD該圓錐的母線長為eq\r(32＋42)＝5，A正確；該圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×32×4＝12π，B正確；該圓錐的表面積為π×3×(3＋5)＝24π，C錯(cuò)誤；當(dāng)OB⊥AC時(shí)，△ABC的面積最大，此時(shí)S△ABC＝eq\f(1,2)×6×3＝9，三棱錐S-ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×9×4＝12，D正確．故選A、B、D．7．(2024·珠海模擬)一個(gè)六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________．解析：設(shè)六棱錐的高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×4×6h＝2eq\r(3)，解得h＝1．設(shè)六棱錐的斜高為h′，則h2＋(eq\r(3))2＝h′2，故h′＝2．所以該六棱錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×2×2×6＝12．答案：128．(2024·武漢月考)已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r，R，且側(cè)面積等于兩底面積之和，則圓臺(tái)的母線長為________．解析：設(shè)圓臺(tái)的母線長為l，則圓臺(tái)的側(cè)面積為S側(cè)＝π(r＋R)l，圓臺(tái)的兩底面積之和為S＝π(r2＋R2)，由已知得π(r＋R)l＝π(r2＋R2)，所以l＝eq\f(r2＋R2,r＋R)．答案：eq\f(r2＋R2,r＋R)9．(2024·江蘇高考)如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0．5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3．解析：正六棱柱的體積為6×eq\f(\r(3),4)×22×2＝12eq\r(3)(cm3)，圓柱的體積為π×0．52×2＝eq\f(π,2)(cm3)，則該六角螺帽毛坯的體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3．答案：12eq\r(3)－eq\f(π,2)B級(jí)——綜合應(yīng)用10．若正三棱臺(tái)上、下底面邊長分別是a和2a，棱臺(tái)的高為eq\f(\r(33),6)a，則此正三棱臺(tái)的側(cè)面積為()A．a(chǎn)2 B．eq\f(1,2)a2C．eq\f(9,2)a2 D．eq\f(3,2)a2解析：C如圖，設(shè)O1，O分別為上、下底面的中心，D，D1分別是AC，A1C1的中點(diǎn)，過D1作D1E⊥OD于點(diǎn)E．在直角梯形ODD1O1中，OD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×2a＝eq\f(\r(3),3)a，O1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×a＝eq\f(\r(3),6)a，∴DE＝OD－O1D1＝eq\f(\r(3),6)a．在Rt△DED1中，D1E＝eq\f(\r(33),6)a，則D1D＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(33),6)a))2)＝eq\r(\f(3,36)a2＋\f(33,36)a2)＝a．∴S側(cè)＝3×eq\f(1,2)(a＋2a)a＝eq\f(9,2)a2．11．如圖，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，圖中陰影部分繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為________．解析：由題意知，所求旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓臺(tái)，從上面挖去一個(gè)半球，圓臺(tái)的上底面面積S1＝4π，下底面面積S2＝16π，∴圓臺(tái)的體積為V1＝eq\f(1,3)×(4π＋eq\r(4π×16π)＋16π)×3＝28π，又半球的體積為V2＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×π×23＝eq\f(16π,3)，故旋轉(zhuǎn)體的體積為V1－V2＝28π－eq\f(16π,3)＝eq\f(68π,3)．答案：eq\f(68π,3)12．沙漏是一種古代的計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形態(tài)完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，起先時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所須要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)，如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)相同的圓錐組成，圓錐的高為1，若上面的圓錐中裝有高度為eq\f(2,3)的液體，且液體能流入下面的圓錐，則液體流下去后的液面高度為________．解析：由題意可得，eq\f(V液,V圓錐)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，所以eq\f(V圓錐－V液,V圓錐)＝1－eq\f(8,27)＝eq\f(19,27)，又上下兩圓錐是對(duì)頂?shù)南嗤瑘A錐，所以液體流下去后的液面與下圓錐底面形成一個(gè)圓臺(tái)，其體積等于液體未流前小圓錐體積，