專題02等式與不等式（講義）

01知識(shí)梳理

一、等式與不等式

1.不等式的依據(jù)：實(shí)數(shù)的有序性，即a>b?a-b>0;a<b<=>a-b<0;a=b?a-b=0;

2.等式與不等式的性質(zhì)：

性質(zhì)等式不等式

意義a二bG-b=0a>b=a-b>0;a<b=a-b<0

傳遞性a=b,b=cO二ca>b,b>c=一a>c

加法性質(zhì)a=bG+c=b+ca>b^a+c>b+c

推論a=b,c=d一a+c=b+da>b,c>d>a+c>b+d

推廣上-1

乘法性質(zhì)a=b一ac=bca>b,c>0-^ac>bc;a>b,c<0^ac<bc

推論a=b,c=d=ac=bda>b>0,c>d>0-^ac>bd

a1=b,(i￡N,i>2)a1>bi>0(ieN,i>2)

推廣

-a?...an~bib2一a1a2...an>bib2…bn。

...bn

乘方性質(zhì)a=b,n￡N,n>l^an=bna>b>0,n￡N,n>l>an>bn>0

開方性質(zhì)

a=b>0,n￡N,n>l^Va=Vb>0a>b>0,n￡N,n>2^>Va>Vb>0

|

一】I

?》—?一

a8/0a>b,ab>0社K

倒數(shù)性質(zhì)■h

L證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.

2.有關(guān)分式的性質(zhì)

bb+mbb-m

(1)若a>b>0,m>0,貝?。菀?lt;----；->--------(Z?-m>0).

aa+maa-m

,,廠11

⑵右ab>0,且。泌氣〈彳

二、基本不等式

..-a+b

1.基本不等式：y]ab<T^~

⑴基本不等式成立的條件:->0,Z?>0.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)歸立時(shí)，等號(hào)成立.

a+b_

(3)其中M叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平t均數(shù)，板叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.基本不等式的證明

(1).代數(shù)證法

要證J而<"b,只要證2，而<a+b①

2

要證①，只要誦a-bWO②

要證②，只要證-(VI-而24(x1)

要證③，只要證^-Vb)2>0@

顯然④成立，當(dāng)且僅當(dāng)i=b時(shí)，④中的等號(hào)成立

(2).幾何證法

如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD.可證

△ACD-ADCB,因而CDZab.由于CD小于或等于圓的半徑，用不等式表示為石顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)

C與圓心重合，即當(dāng)a=b時(shí)，上述不等式的等號(hào)成立.

例已知a,b,c都是正數(shù)，證明：,卜，)(a+b+b+Ja+J2

證明：

,3—島+擊+土)

??拈皓曲+隹+匍+冷密歸C+2+2+y，

即Q+b+c）（士

\aTOb-rca-rd2

三、幾個(gè)重要不等式

1.幾個(gè)重要的不等式

（1>2+b2>2ab（a,b^R）.（2），號(hào)2（。,b同號(hào)）.

（a+Z?\H+Zrfa+

（3）^<L—J2（tz（&GR）.,beR）.

以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b.

四、最值定理

⑴已知x,y都是正數(shù)，如果積孫等于定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2乖.

（2）已知尤,y都是正數(shù)，如果和尤+y等于定值S,那么當(dāng)尤=y時(shí)，積孫有最大值為乙

注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.

五、三角不等式

@|a+b|<|a|+|b|（當(dāng)且僅當(dāng)ab>0時(shí)，等號(hào)成立）

@|a-b|<|a|+|b|（當(dāng)且僅當(dāng)ab<0時(shí)，等號(hào)成立）

⑧||a|-|b歸a+b|（當(dāng)且僅當(dāng)ab<0時(shí)，等號(hào)成立）

@||a|-|b||<|a-b|（當(dāng)且僅當(dāng)ab>0時(shí)，等號(hào)成立）

即a、b￡R=>||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|

六、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表

判別式

/>0J=O/<0

4=b2-4ac

y

?

二次函數(shù)y-ax2+bx+\1

卜4

c（a>0）的圖象O2

0詒電金or-^

有兩相等實(shí)

有兩相異

—元二次方程ax1+bx+c沒有

根Xl=X2

實(shí)根為,

=O(〃>O)的根b實(shí)數(shù)根

X2（X1<X2）二-五

“x2+for+c>0(〃>O)的解集{小<X1或X>X2}{如￥%1}{x|x^R}

ax1+Z?x+c<0(〃>0)的解集{X\X\<X<X2}00

七、分式不等式

(1)手〉O=/(x)?g(x)〉O

g(x)

(2)器<0=/(x),g(x)<0

(3)^^200f(x)?g(x)>0

g(x)g(x)豐0

f(x)?g(x)<0

(4)

g(x)g(X)H。

八、絕對(duì)值不等式

(1)|/(x)|>|g(x)|o"(切2>[g(初2

(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>0)Of(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；

|/(刈<g(x)(g(x)>0)o-g(x)</(x)<g(x);

(3)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解

九、一元高次不等式及其解法

1、概念

只含有一個(gè)未知數(shù)，最高次項(xiàng)的次數(shù)高于二次的不等式稱為高次不等式.

2、一元高次不等式的解法

一元高次不等式的常用解法是數(shù)軸標(biāo)根法，又稱穿針引線法，其具體步驟為

1.化形：將不等式的一側(cè)化為一次因式或二次不可約因式的積，且每個(gè)因式最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，另一側(cè)化為

0;

2.求根，標(biāo)根；求出各因式所對(duì)應(yīng)的方程的根，在數(shù)軸上依次標(biāo)出

溫馨提示:要仔細(xì)區(qū)分點(diǎn)的虛實(shí).

3.畫曲線；數(shù)軸的最右端上方起，從右到左依次經(jīng)過各個(gè)根畫曲線；

溫馨提示:奇次重根穿過數(shù)軸，偶次重根穿而不過.

4.寫解集：在數(shù)軸上畫出曲線后，根據(jù)不等號(hào)的方向，寫出不等式的解集.

溫馨提示：

1.考慮端點(diǎn)是否能取到；2.各因式中最高次項(xiàng)系數(shù)必須為正.

例：不等式(X2-9)(x-2)X)的解集是.

答案：{x|-3<xV2或x>3}

十、解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

⑴根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.

⑵根據(jù)判別式/與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù).

(3)有兩個(gè)根時(shí),有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.

十一、恒成立問題求參數(shù)的范圍

L一元二次不等式的恒成立問題對(duì)一元二次不等式的恒成立問題的考查常有以下幾種形式：

(1)在R上恒成立；

(2)在給定區(qū)間上恒成立；

(3)給定參數(shù)范圍的恒成立.

處理此類問題的常用方法有：①分參法；②函數(shù)法；③變換主元法.

2.一元二次不等式在R上恒成立的條件

a>0,

(1)不等式ax2+bx+c>0(。川)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立白

J<0.

[〃<(),

(2)不等式ax2+bx+c<0(存0)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立國(guó)

[j<0.

注意：只要二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，必須討論二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況.

3.給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法

⑴函數(shù)法：若為0>0在給定集合上恒成立，可利用一元二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式(組)求范圍.

(2)分參法：轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)危)的值域?yàn)閇加，n\,貝！]加)加恒成立不工加侖。；即m>a；j{x)<a恒

成立=^(x)max0Q,BPn<a.

4.給定參數(shù)范圍的恒成立問題解法

解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù).一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰

就是參數(shù).即把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.

02跟蹤訓(xùn)練

一、單選題

1.已知?jiǎng)t下列不等式正確的是()

%

A.l-x<l-yB.x2>y2C.|-I>lD.xz>yz

y

2.若a<人<0,則下列不等式一定成立的是（）

11

A.>—B.a1<ab

a-bb

bb+1

C.<D.an>bn

aa+1

3.下列不等式恒成立的是（）

A.%與2口,Ja+b^

B.ab>\------

abI2)

C.a+b>2J\ab\D.a2+b2>-2ab

4.已知a,b為實(shí)數(shù),且〃力力。，則下列命題錯(cuò)誤的是（）

―什a+b、

A.右a>0,b>0,則>4abB.若---->\[ab,則。>0,b>0

22

.什a+b

C.右aib,則>y[abD.右2>y[ab,則疝b

2

5.不等式（x+3）（x-l『（x—2）&0解集為（)

A.{%|%工一3或X22}B.{%|X4—3或尤21}

C.{x\-3<x<l^x>2]D.{%|工二一3或尤=1或無22}

函數(shù)y=3x+g（x>o）的最小值是（）

6.

A.4B.5C.3亞D.2A/3

7.已知a>0,則的最小值為（）

a

A.2B.3C.4D.5

8.函數(shù),=/+/_5（尤2>5）的最小值為（)

A.2B.5C.6D.7

9.已知正數(shù)。，匕滿足a+2Z?=l,則（）

111

A.ab>-B.ab>-C.0<ab<-D.0<ab<—

8888

10.,若a>0,b>0,^a+b=ab,則2a+Z?的最小值為()

A.3+20B.2+20C.6D.3-2V2

71

11..已知實(shí)數(shù)a>l,b>0,滿足a+b=3,則=+:的最小值為()

a-1b

A3+2>/2B3+20「3+4近D3+4近

42'"2,4

12..對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)a,b,有時(shí)-網(wǎng)且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)（）成立.

A.ab^OB.a(a—&)>0C.ab>0D.b(a—b)>0

13.己知。都是實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)c滿足c=|a+目一司,實(shí)數(shù)d滿足d=|2a,|判斷以下哪個(gè)選項(xiàng)正確（）

A.對(duì)任意的實(shí)數(shù)。、b,恒有/成立B.若c=d,則a6W0

C.若c=d,則a20,b>0D.不存在實(shí)數(shù)a、b,使得cWd

14.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過

這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)/在半

圓。上，點(diǎn)C在直徑A3上，且口，設(shè)AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

a+

A.^>4ab^a>0,Z?>0)B.a1+b2>2y[ab(?>0,Z?>0)

2

。

Ita+b

C.—^―<yfab{ct>0,Z?>0)D.<(tz>0,Z?>0)

a+b2

15.己知關(guān)于x的不等式Y(jié)一依+bwo的解集為何2<彳<3},則關(guān)于x的不等式d-6元+a<（）的解集為（）

A.|x|2<x<3}B.1x|l<x<3}

C.{x|2<x<5|D.{x|l<x<5|

16.已知62+6x+c>o的解集為{x|-l<x<2},則不等式。卜?+1）+仇x-l）+c<2辦的解集為（）

A.{x|0<x<3}B.{九|%>0}

C.{x[%<0或x〉3}D.[x\x>3]

17.已知甲一小乙：關(guān)于“的不等式昔<°（。的，若甲是乙的必要不充分條件,則。的取值范圍是（）

A.a>lB.a>\C.a<0D.a<0

18.關(guān)于x的方程a?+（a+2）x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為,巧,且玉<1<々，那么。的取值范圍是（）

22

C.。<—D.-----<。<0

711

19.設(shè)X,y,z>O,4z=4x+—,Z?=4y+-,c=4z+—,貝!Ja,。,c三個(gè)數(shù)()

yzx

A.都小于4B.至少有一個(gè)不大于4

C.都大于4D.至少有一個(gè)不小于4

+

20.已知左eN*,x,y,zeR,若左（肛+yz+zx）>5（工2十%?）,則對(duì)此不等式描述正

確的是

A.若％=5,則至少存在一個(gè)以x,y,z為邊長(zhǎng)的等邊三角形

B.若左=6,則對(duì)任意滿足不等式的x，y，z鄢奇庫以x,y,z為邊長(zhǎng)的三角形

C.若k=7,則對(duì)任意滿足不等式的x,%z都有性以x,y,z為邊長(zhǎng)的三角形

D.若k=8,則對(duì)滿足不等式的x，y，z不奇庫以羽y,z為邊長(zhǎng)的直角三角形

二、填空題

21.已知實(shí)數(shù)X，y滿足-1<尤<、<1,則x+y的取值范圍是.

22.已知：a>b>c>0,A=ab+be,B=ac+b2,C=a2+b2,貝！JA、B、C大小關(guān)系是.

23.若實(shí)數(shù)羽y,z2O,且％+y+z=4,2%-y+z=5,則M=4%+3y+5z的取值范圍是.

24.不等式x：9x+ll」7的解集為___.

廠一2尤+1

25.關(guān)于彳的不等式5x+l+J2尤-1>4x-2+4-1的解集是.

26.函數(shù)丫=%+上7(x>2)取得最小值時(shí)的x值為_____.

x+1

27.《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今

有邑，東西七里，南北九里，各中開門，出東門一十五里有木，問出南門幾何步而見木？”其算法為：東門南到城

角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門

x里見到樹，則.若一小城，如圖所示，出東門1500步有樹，出南門1200步能見到此樹，則該

小城的周長(zhǎng)的最小值為________里(注：1里=300步).

函數(shù)〃》4)=)+，,+￡］的最小值為￡,則實(shí)數(shù)機(jī)取值的集合

28.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=m,

為.

X

29.己知實(shí)數(shù)x，y滿足段-24+卜-才=|2*7|且尸0,則］的最小值是

30.己知關(guān)于x的不等式k+U+|x-a歸5有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

31.對(duì)任意實(shí)數(shù)無，若不等式歸-1|+歸-恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

32.若關(guān)于x的不等式|尤-1|-|尤-2性片+a+l有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

33.已知函數(shù)〃力=/+2依+8(a>0),集合A=｛中(尤)4。｝,<8|,若A=3w0,則"的取

值范圍為.

34.解不等式:

35.解下列一元二次不等式：

⑴2/-2缶+1>0;

(2)爐+x—1<0;

(3)-3X2+5X-4>0;

(4)(2X-1)2<4；

(5)(x+1)(尤+2)<(x+l)(2—x)+l；

(6)(3x+2)(無+2)>4.

36.⑴求不等式|3-2x閆x+l|的解集；

(2)已知a<4,若卜―4|+歸-4的最小值為3,求實(shí)數(shù)“的值；

(3)若不等式|2a+l|+|2a-1以2a+閡+|2a-時(shí)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)°恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

37.建設(shè)生態(tài)文明是關(guān)系人民福祉、關(guān)乎民族未來的大計(jì)，是實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)的重要內(nèi)容.習(xí)近平指出：“綠水青山就

是金山銀山”.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)決定開墾荒地打造生態(tài)水果園區(qū)，其調(diào)研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水果樹的產(chǎn)量w(單位：千克)

5X2+10(0<X<2)

與肥料費(fèi)用10x(單位：元)滿足如下關(guān)系：w(x)=<,33530.此外，還需要投入其它成本(如施肥的

-----------(2<x<5)

I8x

人工費(fèi)等)20%元.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)為16元/千克，且市場(chǎng)需求始終供不應(yīng)求.記該棵水果樹獲得的利潤(rùn)

為"X)(單位：元).

(1)求/(X)的函數(shù)關(guān)系式

(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該水果樹獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

38.已知函數(shù)〃xbSi+l)%2-(m-l)x+m-l.

(1)若不等式/"(%)<1的解集為R,求m的取值范圍；

⑵解關(guān)于尤的不等式/(x)>(m+l)^；

⑶若不等式/'(x"。對(duì)一切xe恒成立，求機(jī)的取值范圍.

39.如果函數(shù)y=/(x)滿足以下兩個(gè)條件，我們就稱y=/(x)為L(zhǎng)型函數(shù).

①對(duì)任意的xe(o,l),總有/(x)>0；

②當(dāng)士>0,%>。，占+工2<1時(shí)，總有了(占+/)</(占)+/(工2)成立.

⑴記g(無)=f+g,求證：y=g(x)為L(zhǎng)型函數(shù)；

(2)設(shè)b^R,記0(%)=1no+b),若y=p(x)是L型函數(shù)，求b的取值范圍；

⑶是否存在L型函數(shù)y="%)滿足：對(duì)于任意的相?。,4),都存在毛￡(0,1),使得等式―(%)=加成立？請(qǐng)說明理由.

專題02等式與不等式（講義）

01知識(shí)梳理

二、等式與不等式

1.不等式的依據(jù)：實(shí)數(shù)的有序性，即a>b=a-b>0;a<b=a-b<0;a=b=a-b=。；

2.等式與不等式的性質(zhì)：

性質(zhì)等式不等式

意義a=b=a-b=0a>b=a-b>0;a<b=a-b<0

傳遞性a=b,b=c=a=ca>b,b>c=一a>c

加法性質(zhì)a=b=a+c=b+ca>b=a+c>b+c

推論a=b,c=d一a+c=b+da>b,c>d>a+c>b+d

推廣上-1

乘法性質(zhì)a=b一ac=bca>b,c>0-^ac>bc;a>b,c<0^ac<bc

推論a=b,c=d=ac=bda>b>0,c>d>0-^ac>bd

a1=b,(ieN,i>2)ai>bi>0(iEN?i>2)

推廣

-a?...an~bib2一a1a2...an>bib2…bn。

...bn

乘方性質(zhì)a=b,n￡N,n>l^an=bna>b>0,n￡N,n>1>an>bn>0

開方性質(zhì)

a=b>0,n￡N,n>l->Va=Vb>0a>b>0,n￡N,n>2^>Va>Vb>0

一】I|

?》—?一

a8/0a>b,ab>0社K

倒數(shù)性質(zhì)■h

L證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.

2.有關(guān)分式的性質(zhì)

bb+mbb-m

(1)若a>b>0,m>0,貝?。菀?lt;----；->--------(Z?-m>0).

aa+maa-m

,,廠11

(2)右ab>0,且。>人0,<分

二、基本不等式

..-a+b

1.基本不等式：y]ab<T^~

⑴基本不等式成立的條件:->0,Z?>0.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)歸立時(shí)，等號(hào)成立.

a+b_

(3)其中M叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平t均數(shù)，板叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.基本不等式的證明

(1).代數(shù)證法

要證J而<"b,只要證2，而<a+b①

2

要證①，只要誦a-bWO②

要證②，只要證-(VI-而24(x1)

要證③，只要證^-Vb)2>0@

顯然④成立，當(dāng)且僅當(dāng)i=b時(shí)，④中的等號(hào)成立

(2).幾何證法

如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD.可證

AACD-ADCB,因而CD=Wb.由于CD小于或等于圓的半徑，用不等式表示為2'顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)

C與圓心重合，即當(dāng)a=b時(shí)，上述不等式的等號(hào)成立.

例已知a,b,c都是正數(shù)，證明：,卜，)(a+b+b+Ja+J2

證明：

,3—島+擊+土)

??拈皓曲+隹+匍+冷密歸C+2+2+y，

即Q+b+c）（士

\aTOb-rca-rd2

三、幾個(gè)重要不等式

1.幾個(gè)重要的不等式

（1>2+b2>2ab（a,b^R）.（2,+號(hào)2（。,b同號(hào)）.

（a+Z?\H+Zrfa+

（3）^<L—J2（tz（&GR）.,beR）.

以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b.

四、最值定理

⑴已知x,y都是正數(shù)，如果積孫等于定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2乖.

（2）已知尤,y都是正數(shù)，如果和尤+y等于定值S,那么當(dāng)尤=y時(shí)，積孫有最大值為乙

注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.

五、三角不等式

@|a+b|<|a|+|b|（當(dāng)且僅當(dāng)ab>0時(shí)，等號(hào)成立）

@|a-b|<|a|+|b|（當(dāng)且僅當(dāng)ab<0時(shí)，等號(hào)成立）

⑧||a|-|b歸a+b|（當(dāng)且僅當(dāng)ab<0時(shí)，等號(hào)成立）

@||a|-|b||<|a-b|（當(dāng)且僅當(dāng)ab>0時(shí)，等號(hào)成立）

即a、beR=>||a|-|b|^|a±b|<|a|+|b|

六、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表

判別式

/>0J=O/<0

4=b2-4ac

y

?

二次函數(shù)y-ax2+bx+\1

卜4

c（a>0）的圖象O2

0詒電金or-^

有兩相等實(shí)

有兩相異

—元二次方程ax1+bx+c沒有

根Xl=X2

實(shí)根為,

=0(〃>0)的根b實(shí)數(shù)根

X2（X1<X2）二-五

ax2+for+c>0(〃>0)的解集{小<X1或X>X2}{如￥%1}{x|x^R}

ax1+Z?x+c<0(〃>0)的解集{X\X\<X<X2}00

七、分式不等式

⑴券〉。"辦g（x）〉。

(2)得?！璯(x)<0

(3)^^200f(x)?g(x)>0

g(x)g(x)豐0

f(x)?g(x)<0

(4)

g(x)g(X)H。

八、絕對(duì)值不等式

(1)|/(x)|>|g(x)|o"(切2>[g(初2

(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>0)Of(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；

|/(刈<g(x)(g(x)>0)o-g(x)</(x)<g(x);

(3)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解

九、一元高次不等式及其解法

1、概念

只含有一個(gè)未知數(shù)，最高次項(xiàng)的次數(shù)高于二次的不等式稱為高次不等式.

2、一元高次不等式的解法

一元高次不等式的常用解法是數(shù)軸標(biāo)根法，又稱穿針引線法，其具體步驟為

1.化形：將不等式的一側(cè)化為一次因式或二次不可約因式的積，且每個(gè)因式最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，另一側(cè)化為

0;

2.求根，標(biāo)根；求出各因式所對(duì)應(yīng)的方程的根，在數(shù)軸上依次標(biāo)出

溫馨提示:要仔細(xì)區(qū)分點(diǎn)的虛實(shí).

3.畫曲線；數(shù)軸的最右端上方起，從右到左依次經(jīng)過各個(gè)根畫曲線；

溫馨提示:奇次重根穿過數(shù)軸，偶次重根穿而不過.

4.寫解集：在數(shù)軸上畫出曲線后，根據(jù)不等號(hào)的方向，寫出不等式的解集.

溫馨提示：

1.考慮端點(diǎn)是否能取到；2.各因式中最高次項(xiàng)系數(shù)必須為正.

例：不等式(X2-9)(x-2)X)的解集是.

答案：{x|-3<xV2或x>3}

十、解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

⑴根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.

⑵根據(jù)判別式/與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù).

(3)有兩個(gè)根時(shí),有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.

十一、恒成立問題求參數(shù)的范圍

L一元二次不等式的恒成立問題對(duì)一元二次不等式的恒成立問題的考查常有以下幾種形式：

(1)在R上恒成立；

(2)在給定區(qū)間上恒成立；

(3)給定參數(shù)范圍的恒成立.

處理此類問題的常用方法有：①分參法；②函數(shù)法；③變換主元法.

2.一元二次不等式在R上恒成立的條件

a>0f

(1)不等式ax2+bx+c>0(。邦)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立

J<0.

a<0,

(2)不等式ax2+bx+c<0(存0)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立

J<0.

注意：只要二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，必須討論二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況.

3.給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法

⑴函數(shù)法：若加)>0在給定集合上恒成立，可利用一元二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式(組)求范圍.

(2)分參法：轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)危)的值域?yàn)椋琻\,貝［］加)加恒成立,即m>a；j{x)<a恒

成立=^/(x)max0Q,BPn<a.

4.給定參數(shù)范圍的恒成立問題解法

解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù).一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰

就是參數(shù).即把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.

02跟蹤訓(xùn)練

一、單選題

1.已知?jiǎng)t下列不等式正確的是()

%

A.l-x<l-yB.x2>y2C.|-I>lD.xz>yz

y

【答案】A

【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷A項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤，通過舉反例可說明B,C兩項(xiàng)錯(cuò)誤.

【解析】%一xv一x+1v—y+1,即1—%vl—y,故選項(xiàng)A正確；

X—11

當(dāng)尤=-L,y=-2時(shí)，滿足x>y,但爐=1,9=4,此時(shí)Y<y2,1-1=1—|=-<1,故選項(xiàng)B,C錯(cuò)誤;

y-22

當(dāng)z<0時(shí)，由x>y可得xzcyz,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:A.

2.若。<6<0,則下列不等式一定成立的是()

A.------>—B.a2<ab

a-bb

bb+1

C.—<-------D.an>hn

【答案】c

【分析】對(duì)A、D,可借助特殊值法舉出反例即可得；對(duì)B、C,借助不等式的基本性質(zhì)即可得.

【解析】對(duì)A,令a=-2,b=-l,有」===-!=:，故A錯(cuò)誤；

a-b-1b

對(duì)B,由，<b<0,故”2>。人>0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,—<------|Z?|(|<7|+1)<|a|(|Z>|+1)|a|\b\+\b\<\a\\b\+\a\,

dIA

即只需，回<同，由。<6<0,故例<時(shí),故c正確;

對(duì)D,令〃=0,有優(yōu)=k=1,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

3.下列不等式恒成立的是()

2

A.臉屋2a+b

B.ab>

ab2

C.a+b>2J\ab\D.a2+b2>-2ab

【答案】D

【分析】利用特殊值判斷A、C,利用重要不等式判斷B,作差可判斷D；

【解析】解：對(duì)于A：若。=1、6=-1時(shí)2+/=一2,故A錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于B：因?yàn)?a-6)220,所以所以」+b：+2ab06,即［等當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取等號(hào),

故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：若〃=—1、b=-l時(shí)，a+干=一2<2^崗=2,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：因?yàn)?a+b)&0,所以儲(chǔ)+〃+2“620,HPa2+b2>-2ab>當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取等號(hào)，故D正確；

故選：D

4.已知a,6為實(shí)數(shù)，且。力片0,則下列命題傕誤的是()

A.若a>0,b>0,則“；"B.>4ab,貝?。輆>0,b>0

C.若a'b,則土！2>yjabD.若———>yfab,則ob

22

【答案】C

【分析】對(duì)于A,利用基本不等式判斷，對(duì)于B,由己知結(jié)合完全平方式判斷，對(duì)于C,舉例判斷，對(duì)于D,利用

基本不等式判斷

【解析】對(duì)于A,由基本不等式可知當(dāng)a>0,b>0時(shí)，皆2府,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào)，所以A正確，

a+b>0/r—L\2…

對(duì)于B,因?yàn)轲?，a-b^O,所以O(shè)b〉。，且>0,所以a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等

號(hào)，所以B正確，

對(duì)于C,若。=-l,6=T,則乎=W<疝=4=2,所以C錯(cuò)誤，

22

對(duì)于D,因?yàn)槭?gt;<石，a-b^O,所以a+b>0.—/LL\2

Ob〉。，5.a+b-2y[ab>0,所以a>0,〃>。，>0,所以

a>0,b>0且a】b,所以D正確，

故選：C

5.不等式(彳+3)(%-1)2(%-2)320解集為()

A.{x|xV-3或xN2}B.{x|xV-3或xNl}

C.{x|-34x41或xN2}D.{x|-3或x=l或2}

【答案】D

【分析】解高次不等式使用穿根法求解.

【解析】根據(jù)高次不等式的解法，使用穿根法如圖得不等式的解集為{尤1》<-3或犬=1或尤22}

故選：D.

6.函數(shù)y=3無+1(x>0)的最小值是()

A.4B.5C.3&D.2月

【答案】D

【分析】利用基本不等式即可得解.

【解析】因?yàn)?>0,

所以y=3x4—N2.3x,-=2^/^,

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)3x=,，即X=走時(shí)，等號(hào)成立.

X3

則y=3九+：（%>。）的最小值是26.

故選：D.

7.已知。>0,則QH的最小值為（）

a

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】用基本不等式求解即可.

【解析】因?yàn)椤?gt;0,

所以—+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)〃=—即a=1時(shí)取等號(hào)；

a\aa

故選：B

8.函數(shù)>=》2+總導(dǎo)（尤2>5）的最小值為（）

A.2B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】由基本不等式即可求解.

【解析】由—>5可得爐-5>0,所以丫=工2+^^=x2一5+——+522、卜2一5）（」一］+5=7,

x-5x-5丫\/-5J

當(dāng)且僅當(dāng)爐-5=，，即x=C時(shí)等號(hào)成立，

故選:D

9.已知正數(shù)。，力滿足a+2fo=l,則（）

A.ab>—B.ab>-C.0<ab<—D.0<ab<—

8888

【答案】c

【分析】根據(jù)基本不等式直接計(jì)算即可.

【解析】由題意得，a>0,b>0,則。6>0,a+2b=l>2^/2ab,即

8

當(dāng)且僅當(dāng)4=功，即。=1,6=9時(shí)等號(hào)成立.

24

故選：C

10.若a>0,b>0,且=則2a+Z?的最小值為（）

A.3+2應(yīng)B.2+2也C.6D.3-20

【答案】A

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【解析】a>0,b>0,由a+=得'=

ab

2fl+Z>=(2?+Z?)f-+->|=2+1+—+->3+2.=3+272,

\ab)ba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)=2,即a=l+變力=l+&時(shí)，等號(hào)成立，

ba2

故2a+8的最小值為3+2后.

故選：A

71

11.已知實(shí)數(shù)a>l,10,滿足a+6=3,則=7+7的最小值為()

a—1b

A3+272n3+2&c3+4應(yīng)n3+40

A.----------B.-----------C.-----------L).------

4224

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.

【解析】實(shí)數(shù)a>l,b>0,由a+Z?=3,得(〃—l)+b=2,

因止匕^^+:=;[(〃-勿(一^+)^^)之:(2ba-lx3+2夜

1)+:=((3+-^+3+2,丁)=^,

a—1b2a—1b2a-