第二十六章

解直角三角形26.4解直角三角形的應用第4課時

解直角三角形的

一般應用1課堂講解借助工具測量的應用借助影子測量的應用2課時流程逐點導講練課堂小結作業(yè)提升1知識點借助工具測量的應用知1－導想一想如圖,小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50m至B處，測得仰角為60°，那么該塔有多高？(小明的身高忽略不計，結果精確到1m)知1－講1.運用銳角三角函數(shù)解決實際問題的方法：

(1)弄清題意，畫出示意圖；(2)找出圖形中的線段、角所表示的實際意義，并找到所要

解決的問題；(3)尋找要求解的直角三角形，有時需要作適當?shù)妮o助線；(4)選擇合適的邊角關系式，進行有關銳角三角函數(shù)的計算；(5)按照題目要求的精確度確定答案，并注明單位，作答．知1－講2、常見的圖形與關系式如下表所示：圖形關系式BD＝CEAC＝BC·tanαAE＝AC＋CEBD＝BC－DC＝AC·AG＝AC＋CG＝AC＋BEBC＝DC－DB＝AD·(tanα－tanβ)知1－講續(xù)表：圖形關系式BC＝BD＋DC＝AD·AB＝DE＝AE·tanβCE＝AE·tanαCD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)BC＝BE＋EF＋FC＝BE＋AD＋FC＝AD＋h·知1－講例1“中國益陽”網上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通

狀況，計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．

如圖，新大橋的兩端位于A，B兩點，小張為了測量A，B

之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線形道路l上測得如下

數(shù)據：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82m．求

AB的長．(結果精確到0.1m．

參考數(shù)據：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)知1－講設AD＝xm，在Rt△ABC中，利用∠BCA的正切值，可以用含x的代數(shù)式表示AB.同理在Rt△ABD中，利用∠BDA的正切值表示出AB，從而列出關于x的方程，求出x的值就能求出AB的長了．導引：知1－講設AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝∴AB＝AC·tan∠BCA＝(x＋82)tan68.2°m.在Rt△ABD中，tan∠BDA＝∴AB＝AD·tan∠BDA＝xtan76.1°m.∴(x＋82)tan68.2°＝xtan76.1°.∴x≈136.67.∴AB≈4×136.67≈546.7(m)．即AB的長約為546.7m.解：總

結知1－講（來自《點撥》）解直角三角形的應用問題，需要把實際問題轉化為數(shù)學模型來解決．解決直角三角形有關的應用題最常用的方法是畫圖(包括作輔助線，構造直角三角形或特殊平行四邊形)，根據所給數(shù)據，選用恰當?shù)匿J角三角函數(shù)求出有關的量或用含有未知數(shù)的式子表示有關的量進行求解．警示點：(1)注意方程思想的運用；(2)注意結果必須根據題目要求進行保留．如圖，為固定電線桿AC，在離地面高度為6m的A處引拉線AB，使拉線AB與地面上的BC的夾角為48°，則拉線AB的長度約為(

)(結果精確到0.1m，參考數(shù)據：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)A．6.7mB．7.2mC．8.1mD．9.0m知1－練（來自《典中點》）知1－練（來自《典中點》）一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為θ.現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA＝4米，樓梯寬度1米，則地毯的面積至少需要(

)A.米2

B.米2C.米2

D．(4＋4tanθ)米2知2－講2知識點借助影子測量的應用例2如圖，一幢樓房AB背后有一臺階CD，臺階每層高0.2m，且

AC＝17.2m，設太陽光線與水平地面的夾角為α，當α＝60°

時，測得樓房在地面上的影長AE＝10m，現(xiàn)有一只小貓睡在

臺階的MN這層上曬太陽(取1.73)．(1)求樓房的高度約為多少米．(2)過了一會兒，當α＝45°時，

問小貓還能否曬到太陽？

請說明理由．(1)當α＝60°時，在Rt△ABE中，

∵tan60°＝

∴AB＝10·tan60°＝10≈10×1.73＝17.3(m)．

即樓房的高度約為17.3m.(2)當α＝45°時，小貓仍可以曬到太陽．理由如下：假設沒有臺階，當α＝45°時，從點B射

下的光線與地面AD的交點為點F，與射線CM的交點

為點H(如下圖)．（來自《典中點》）知2－講解：∵∠BFA＝45°，∴tan45°＝＝1，此時的影長AF＝AB≈17.3m．∴CF＝AF－AC≈17.3－17.2＝0.1(m)．∴CH＝CF≈0.1m．∴大樓的影子落在臺階MC這個側面上，∴小貓仍可以曬到太陽．（來自《典中點》）知2－講如圖，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝(4－2)m，則電線桿AB的長為________．知2－練（來自《典中點》）如圖，要在寬為22m的九州大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長2m，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，當燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳，此時，路燈的燈柱BC高度應該設計為(

)A．(11－2)m

B．(11－2)mC．(11－2)m

D．(11－4)m知2－練（來自《典中點》）利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程：(1)將實際問題抽象為數(shù)學問題(畫出平面圖形，轉化為解

直角三角形的問題)；(2)根據問題中的條件，適當選用銳角三角函數(shù)，運用直

角三角形的