第一講工程問題

工程問題是應(yīng)用題中的一種類型.在工程問題中，一般要出現(xiàn)三個(gè)量：工

作總量、工作時(shí)間（完成工作總量所需的時(shí)間）和工作效率（單位時(shí)間內(nèi)完成

的工作量）.

這三個(gè)量之間有下述一些關(guān)系式：

工作效率X工作時(shí)間=工作總量，

工作總量+工作時(shí)間=工作效率，

工作總量+工作效率=工作時(shí)間.

為敘述方便，把這三個(gè)量簡稱工量、工時(shí)和工效.

例1一項(xiàng)工程，甲乙兩隊(duì)合作需12天完成，乙丙兩隊(duì)合作需15天完成，甲

丙兩隊(duì)合作需20天完成，如果由甲乙丙三隊(duì)合作需幾天完成？

分析設(shè)這項(xiàng)工程為1個(gè)單位，則甲、乙合作的工效為《，乙、丙合

作的工效為《，甲、丙合作的工效為焉.因此甲、乙、丙三隊(duì)合作的工

效的兩倍為白+白+所以甲、乙、丙三隊(duì)合作的工效為（2+1+4）

X乙JLJ乙U，J1乙乙V

+2=》.因此三隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程的時(shí)間為1+#10（天）.

解:+幻

=1+[；+2]=1+'=10（天）

答：甲、乙、丙三隊(duì)合作需10天完成.

說明：我們通常把工量“一項(xiàng)工程”看成一個(gè)單位.這樣，工效就用工

時(shí)的倒數(shù)來表示.如例1中甲乙兩隊(duì)合作的工時(shí)為12天，那么工效就為白，

它表示甲乙兩隊(duì)一天完成全部工程的卷.

例2師徒二人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成任務(wù).師傅先做5天

后，因事外出，由徒弟接著做3天.共完成任務(wù)的白.如果每人單獨(dú)做這批零

件各需幾天？

分析設(shè)一批零件為單位“1”.其中6天完成任務(wù)，用?表示師徒的工效

和.要求每人單獨(dú)做各需幾天，首先要求出各自的工效，關(guān)鍵在于把師傅先做

5天，接著徒弟做3天轉(zhuǎn)化為師徒二人合作3天，師傅再做2天.

解：師傅工效：（［-JX3）+2=

1U01U

傅徒汨弟工6效10?15:

師傅單獨(dú)做需幾天：1+《=10（天）；

徒弟單獨(dú)做需幾天：1+（=15（天）.

答：如果單獨(dú)做，師傅需10天，徒弟需15天.

例3一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需9天.若甲先做若干天

后乙接著做，共用10天完成，問甲做了幾天？

分析解答工程問題時(shí)，除了用一般的算術(shù)方法解答外，還可以根據(jù)題目

的條件，找到等量關(guān)系，列方程解題。

解：設(shè)甲做了x天.那么，

甲完成工作量卷x,乙做的天數(shù)10-x,

乙完成工作量（10-x）X-,

因此—x+(10-x)X-=1?

兩邊同乘36,得到：3x+40-4x=36,

答：甲做了4天.

例4一件工作甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成.甲先做8小時(shí)，乙

接著做6小時(shí)也可以完成.如果甲做3小時(shí)后由乙接著做，還需要多少小時(shí)完

成？

分析設(shè)一件工作為單位“1”.甲做6小時(shí)，乙再做12小時(shí)完成或者甲先

做8小時(shí)，乙再做6小時(shí)都可完成，用圖表示它們的關(guān)系如下：

甲做6小時(shí)乙做12小時(shí)

甲做8小時(shí)乙做6小時(shí)

由圖不難看出甲2小時(shí)工作量=乙6小時(shí)工作量，.??甲1小時(shí)工作量=乙3小

時(shí)工作量.可用代換方法求解問題.

解：若由乙單獨(dú)做共需幾小時(shí)：

6X3+12=30（小時(shí)）.

若由甲單獨(dú)做需幾小時(shí)：

8+6*3=10（小時(shí)）.

甲先做3小時(shí)后乙接著做還需幾小時(shí)：

（10-3）X3=21（小時(shí)）.

答：乙還需21小時(shí)完成.

例5筑路隊(duì)預(yù)計(jì)30天修一條公路.先由18人修12天只完成全部工程

的;.如果想提前6天完工，還需增加多少人？

分析由18人修12天完成了全部工程的;，可通過18X12求出用一天

完成g工作量共需要的總?cè)藬?shù)，也可通過18X12求出用一人完成;工作量

共需要的總天數(shù).所以由（18X12）求出1人1天完成全部工程的幾分

之幾（即一人的工效）.

解：①1人1天完成全部工程的幾分之幾（即一人的工效）：

；（18'12）=焉

②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：

。-：）+［焉*（30-12-6）］

2.12

=___~T~,

3648

=36（人）.

③需增加幾人：

36-18=181人）.

答：還要增加18人.

例6蓄水池有一條進(jìn)水管和一條排水管.要灌滿一池水，單開進(jìn)水管需5

小時(shí).排光一池水，單開排水管需3小時(shí).現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水，

排水，進(jìn)水，排水…的順序輪流各開1小時(shí).問：多長時(shí)間后水池的水剛好排

完？（精確到分鐘）

分析與解答①在解答“水管注水”問題時(shí)，會出現(xiàn)一個(gè)進(jìn)水管，一個(gè)出

水管的情況.若進(jìn)水管、出水管同時(shí)開放，則積滿水的時(shí)間=1+（進(jìn)水管工

效-出水管工效），

排空水的時(shí)間=1+（出水管工效-進(jìn)水管工效）.

②這道應(yīng)用題是分析推理與計(jì)算相結(jié)合的題目.根據(jù)已知條件推出水池

中的水每2小時(shí)減1少1水2池中有半池水即g1經(jīng)過6小時(shí)后還剩

121..

-nX（6+2）=歷.如果按進(jìn)水，排水的順序進(jìn)行，則又應(yīng)進(jìn)水1小時(shí)，

這時(shí)水池內(nèi)共有水而+-=如果按每小時(shí)行的流速排出需要經(jīng)過京一

1Q9

]=記（小時(shí)），共用的時(shí)間為6+1+元=7.9（小時(shí)）=7小時(shí)54分剛

好排完.

例7一件工作，甲5小時(shí)先完成了乙6小時(shí)又完成了剩下任務(wù)的一

4

半，最后余下的部分由甲、乙合作，還需要多少時(shí)間才能完成？

分析這道題是工程問題與分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的復(fù)合題.解題時(shí)先要分別求出

甲、乙工作效率，再把余下的工作量轉(zhuǎn)化為占單位“1”（總工作量）的幾分

之幾？

解：甲工作效率："-5=義，

乙工作效率：a-J）x；+6=±,

4216

余下部分甲、乙合作需要幾小時(shí)：

（1-9）X（1-3）+*+看）=31（小時(shí)）

答：還需要6小時(shí)才能完成任務(wù).

例8甲、乙二人植樹.單獨(dú)植完這批樹甲比乙所需要的時(shí)間多：，如果

二人一起干，完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植樹36棵，這批樹一共多少棵？

分析求這批樹一共多少棵，必須找出與36棵所對應(yīng)的甲、乙工效

差.已知甲比乙所用的時(shí)間多,可以求出甲與乙所用的時(shí)間比為4：3.

當(dāng)工作總量一定的情況下，工效與工時(shí)成反比例，甲與乙的工時(shí)比為［：1

=4：3,所以甲與乙的工效比是3：4.這個(gè)間接條件一旦揭示出來，問題就得

到解決了.

解：設(shè)乙所用時(shí)間為“1”，甲的時(shí)間是乙的1+；=（倍），則甲與

乙的時(shí)間比是4:3.

工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比例，所以甲與乙的工效比是時(shí)

間比的反比，為3：4.

共植樹多少棵：36-=252（棵）.

答：這批樹一共252棵.

例9加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成.現(xiàn)在由甲先做16天，

然后乙再做12天，還剩下這批零件的!沒有完成.已知甲每天比乙多加工3個(gè)

零件，求這批零件共多少個(gè)？

分析欲求這批零件共多少個(gè)，由題中條件只需知道甲、乙二人每天共做

多少個(gè)即可，然后這就轉(zhuǎn)化為求甲、乙兩人單獨(dú)做各需多少天，有了這個(gè)結(jié)論

后，只需算出3個(gè)零件相當(dāng)于總數(shù)的幾分之幾即可.由條件知甲做16

3

天，乙做12天共完成工程的熱也即相當(dāng)于甲乙二人合做12天，另外加上

甲又做4天共完成這批零件的點(diǎn)又知道甲乙二人合做24天可以完成，因此

甲單獨(dú)做所用天數(shù)可求出，那么乙單獨(dú)做所用天數(shù)也就迎刃而解.

解：甲、乙合作12天，完成了總工程的幾分之幾？

-7X12=7.

242

甲1天能完成全工程的幾分之幾？

乙1天可完成全工程的幾分之幾？

J__J_=J_

藥■一而-60

這批零件共多少個(gè)？

3+C140—607=3+—12—0=3601C個(gè)J）-

答；這批零件共360個(gè).

第二講比和比例

在應(yīng)用題的各種類型中，有一類與數(shù)量之間的（正、反）比例關(guān)系有關(guān).

在解答這類應(yīng)用題時(shí)，我們需要對題中各個(gè)量之間的關(guān)系作出正確的判斷.

成正比或反比的量中都有兩種相關(guān)聯(lián)的量.一種量（記作X）變化時(shí)另一

種量（記作y）也隨著變化.與這兩個(gè)量聯(lián)系著，有一個(gè)不變的量（記為k）.

在判斷變量x與送否成正、反比例時(shí)，我們要緊緊抓住這個(gè)不變量k.如

果不變量k是變量y與x的商，即在x變化時(shí)y與x的商不變：±=k,那么y與x成

正比例；如果k是y與x的積，即在x變化時(shí)，y與x的積不變：xy=k,那么y與x

成反比例.如果這兩個(gè)關(guān)系式都不成立，那么y與x不成（正和反）比例.

下面我們從最基本的判斷兩種量是否成比例的例題開始.

例1下列各題中的兩種量是否成比例？成什么比例？

①速度一定，路程與時(shí)間.

②路程一定，速度與時(shí)間.

③路程一定，己走的路程與未走的路程.

④總時(shí)間一定，要制造的零件總數(shù)和制造每個(gè)零件所用的時(shí)間.

⑤總產(chǎn)量一定，畝產(chǎn)量和播種面積.

⑥整除情況下被除數(shù)一定，除數(shù)和商.

⑦同時(shí)同地，竿高和影長.

⑧半徑一定，圓心角的度數(shù)和扇形面積.

⑨兩個(gè)齒輪嚙合轉(zhuǎn)動時(shí)轉(zhuǎn)速和齒數(shù).

?圓的半徑和面積.

（11）長方體體積一定，底面積和高.

（12）正方形的邊長和它的面積.

（13）乘公共汽車的站數(shù)和票價(jià).

（14）房間面積一定，每塊地板挎的面積與用磚的塊數(shù).

（15）汽車行駛時(shí)每公里的耗油量一定，所行駛的距離和耗油總量.

分析以上每題都是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變

化，那么怎樣來確定這兩種量成哪種比例或不成比例呢？關(guān)鍵是能否把兩個(gè)

相關(guān)的變量x、y用?=k或用時(shí)=竦表示，其中k是定量.如果不能寫出這兩

種號式，或只能寫由加減法關(guān)系，那么這兩種量就不成比例.例如①

器=速度，速度一定，路程與時(shí)間成正比例.④制造每個(gè)零件用的時(shí)間X

零件數(shù)=總時(shí)間，總時(shí)間一定，制造每個(gè)零件用的時(shí)間與要制造的零件總數(shù)成

反比例.③路程一定，己走的路程和未走的路程是加減法關(guān)系，不成比例.

解：成正比例的有：①、⑦、⑧、（15）

成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、（11）、（14）

不成比例的有：③、?、（12）,（13）.

例2一條路全長60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長的比依

次是1：2：3,某人走各段路程所用時(shí)間之比依次是4：5：6,已知他上坡的速

度是每小時(shí)3千米，問此人走完全程用了多少時(shí)間？

分析要求此人走完全程用了多少時(shí)間，必須根據(jù)己知條件先求出此人走

上坡路用了多少時(shí)間，必須知道走上坡路的速度（題中每小時(shí)行3千米）和上

坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1：2:

3,就可以求出上坡路的路程.

解：上坡路的路程：

60X1+:=10（千米）?

走上坡路用的時(shí)間：

10+3=3：（小時(shí)）.

上坡路所用時(shí)間與全程所用時(shí)間比:

44

4+5+615

走完全程所用時(shí)間:

4?學(xué)X/畀嗎（小時(shí)）.

答:此人走完全程共用嗎小時(shí).

例3一塊合金內(nèi)銅和鋅的比是2：3,現(xiàn)在再加入6克鋅，共得新合金36

克，錄新合嚏內(nèi)銅和絳的比？

分析要求新合金內(nèi)銅和鋅的比，必須分別求出新合金內(nèi)銅和鋅各自的重

量.應(yīng)該注意到銅和鋅的比是2：3時(shí)，合金的重量不是36克，而是（36-6）

克.銅的重量始終沒有變.

解：銅和鋅的比是2：3時(shí)，合金重量:

36-6=30（克）.

銅的重量:

2

30X=12（克）.

2+3

新合金中鋅的重量:

36-12=24（克）.

新合金內(nèi)銅和鋅的比:

12：24=1：2.

答：新合金內(nèi)銅和鋅的比是1:2.

例4師徒兩人共加工零件168個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用5分鐘，徒弟加工一

個(gè)零件用9分鐘，完成任務(wù)時(shí)，兩人各加工零件多少個(gè)？

分析師傅加工一個(gè)零件用5分鐘，每分鐘可加工（個(gè)零件，徒弟加工

一個(gè)零件用9分鐘，每分鐘可加工零件9個(gè)，師徒兩人效率的比是J：

由于兩人的工作時(shí)間是一定的，根據(jù)冉褰=工作時(shí)間（一定），

-L作效率

工作量與工作效率成正比例.

解法1：設(shè)師傅加工x個(gè)，徒弟加工（168-x）個(gè).

1

x:

168-x-T

9

x_9

168-x=5

5X=168X9-9X,

14x=168X9,

x=108.

168-x=168-108=60（個(gè)）.

答：師傅加工108個(gè)，徒弟加工60個(gè).

解法2：由于師、徒兩人工作效率的比是，那么他們工作量的

比也是1因此師傅工作量是徒弟工作量的3+￡=0（倍），徒弟

的工作量為1倍量.

168+[+：+1)

4

=168+2-

=601個(gè)），（徒弟）.

60X《+》=108（個(gè)），（師傅）.

解法3：師傅每分鐘加工2個(gè)，徒弟每分鐘加工（個(gè)，用相遇問題思考方

法可求出兩人各用了多少分鐘.然后用師、徒每分鐘各自的效率，分別乘以

540就是各自加工零件的個(gè)數(shù).

1114

168-（：+9）=168+?=540（分鐘）.

3X540=108（個(gè)），（師傅）

：X540=60（個(gè)），（徒弟）.

例5洗衣機(jī)廠計(jì)劃20天生產(chǎn)洗衣機(jī)1600臺，生產(chǎn)5天后由于改進(jìn)技術(shù)，效

率提高25%,完成計(jì)劃還要多少天？

分析這是一道比例應(yīng)用題，工效和工時(shí)是變量，不變量是計(jì)劃生產(chǎn)5天后

剩下的臺數(shù).從工效看，有原來的效率1600+20=80臺/天，又有提高后的效

率80X（1+25%）=100臺/天.從時(shí)間看，有原來計(jì)劃的天數(shù)，要求效率提

高后還需要的天數(shù).

根據(jù)工效和工時(shí)成反比例的關(guān)系，得：

提高后的效率X所需天數(shù)=剩下的臺數(shù).

解法L設(shè)完成計(jì)劃還需x天.

1600-20X（1+25%）Xx=1600-1600+20X5

80X1.25Xx=1600-400

100x=1200

x=12.

答：完成計(jì)劃還需12天.

解法2：此題還可以轉(zhuǎn)化成正比例.根據(jù)實(shí)際效率是原來效率的1+25

%=1"倍，把原來效率看成“1”，實(shí)際和原來效率的比是1"：1=5：4,因

為工效和工時(shí)成反比例，所以實(shí)際與原來所需時(shí)間的比是4：5,如果設(shè)實(shí)際還

需要x天，原來計(jì)劃的天數(shù)是20-5=15天，根據(jù)實(shí)際與原來時(shí)間的比等于實(shí)際

天數(shù)與原來天數(shù)的比，可以用正比例解答.設(shè)完成計(jì)劃還需x天.

4_x

5=20-5'

5x=60,

x=12.

例6一個(gè)長方形長與寬的比是14：5,如果長減少13厘米，寬增加13厘

米，則面積增加182平方厘米，那么原長方形面積是多少平方厘米？

畫出圖便于解題:

解法LBC的長:182-13=141厘米），

BD的長:14+13=27（厘米），

從圖中看出AB長就是原長方形的寬，AD與AB的比是14：5,

AB與BD的比是5：（14-5）=5：9,

Q

AB的長是27+5=15（厘米），

AD的長是15+4=42（厘米），

原長方形面積是42X15=630（平方厘米）.

答：原長方形面積是630平方厘米.

解法2：設(shè)原長方形長為14x,寬為5x.由圖分析得方程

（14x-13）X13-5xX13=182,

9x=*+13,

9x=27,

x=3.

則原長方形面積

（14X3）X（5X3）=630（平方厘米）.

例4、例5、例6是綜合性較強(qiáng)的題，介紹了幾種不同解法.要求大家從不

同角度、綜合、靈活運(yùn)用所學(xué)知識，多角度去思考解答應(yīng)用題，從而提高自己

思維判斷能力.

六年級奧數(shù)上冊：第三講分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（一）

笫三講分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（一）

分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是小學(xué)數(shù)學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)之

一.一方面它是在整數(shù)應(yīng)用題基礎(chǔ)上的繼續(xù)和深化；另一方面，它有其本身的

特點(diǎn)和解題規(guī)律.因此在這類問題中，數(shù)量之間以及“量”、“率”之間的

相依關(guān)系與整數(shù)應(yīng)用題比較，就顯得較為復(fù)雜，這就給正確地選擇解題方法，

正確解答帶來一定困難.

為了學(xué)好分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解法必須做好以下幾方面工作.

①具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力.解答整數(shù)應(yīng)用題的基礎(chǔ)知識，如概念、性

質(zhì)、法則、公式等仍廣泛用于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題.

②在理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運(yùn)用.

③學(xué)會畫線段示意圖.線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間

的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件.它可以幫助我們在復(fù)雜的條件

與問題中理清思路，正確地進(jìn)行分析、綜合、判斷和推理.

④學(xué)會多角度、多側(cè)面思考問題的方法.分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條件與問題

之間的關(guān)系變化多端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時(shí)很難找到正確解題方法.因

此，在解題過程中，要善于掌握對應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等多種解題方法，在尋找正

確的解題方法同時(shí)，不斷地開拓解題思路.

例1（1）本月用水量比上月節(jié)約7%,可以聯(lián)想到哪些關(guān)系？

①上月用水量與單位“1”的關(guān)系.

②本月節(jié)約用水量與上月用水量的7氏的關(guān)系.

③本月用水量與上月用水量的（1-7%）的關(guān)系.

（2）藍(lán)墨水比紅墨水多20%,可以聯(lián)想到哪些關(guān)系？

①紅墨水與單位“1”的關(guān)系.

②藍(lán)墨水比紅墨水多出的量與紅墨水的20%的關(guān)系.

③藍(lán)墨水與紅墨水的（1+20%）的關(guān)系.

（3）己看的頁數(shù)比未看的頁數(shù)多15%,可以聯(lián)想哪些關(guān)系？

①未看的貝數(shù)與單位“1”的關(guān)系.

②己看的與未看的員數(shù)的差與未看反數(shù)的15%的關(guān)系.

③己看的頁數(shù)與未看的頁數(shù)的（1+15%）的關(guān)系.

例2小華看一本書，每天看15頁，4天后還剩全書的芻殳看，這本故事書

是多少頁？

分析每天看15貝，4天看了15X4=60頁.解題的關(guān)鍵是要找出

這6。頁相當(dāng)于全書頁數(shù)的幾分之幾，還剩下全書的童殳看，已經(jīng)看了的是

全書的1-5=亍60貫與全書的$直接對應(yīng)，全書的頁數(shù)就可以順利求出.

解：①看了多少貫？

15X4=60（頁）.

②看了全書的幾分之幾？

32

1-5=5-

③這本書有多少頁？

2

60+5=150（頁）.

3

綜合算式：15X4+

2

=60+5=150（頁）

答：這本故事書是150更.

例3小華看一本故事書，第一天看了全書的:還多21瓦，第二天看

O

了全書的?少6瓦，還剩下172頁，這本故事書一共有多少五？

0

分析要想求這本書共有多少頁，需要找條件里的多21頁，少6或，剩下

172頁所對應(yīng)的百分率.也就是說，要從這三個(gè)量里找出一個(gè)能明確占全書的

幾分乏幾雨量.

畫線段圖：

1/821頁1/6

_/___A___________V_A______\_______________/人

|||______________I1

'~7"'

6頁

172頁

解：（172-6+21）+（1-

O0

=264（頁）.

答：這本故事書共有264瓦.

例4惠華百貨商場運(yùn)到一批春秋西服，按原（出廠）價(jià)加上運(yùn)費(fèi)、營

業(yè)費(fèi)和利潤出售.運(yùn)費(fèi)是原價(jià)的白，營業(yè)費(fèi)和利潤一共是原價(jià)的《，已知售

價(jià)是123元，求出廠價(jià)多少元？

分析設(shè)出廠價(jià)（原價(jià)）是“1”，那么售價(jià)是原價(jià)的1+焉+工,它相當(dāng)

loIN

于123元,

出廠價(jià)?_____________________?

1/181/12

售價(jià)I廠一―一

X_____________________________7_________________________________/

123元

如上圖可以得出解答：

123+Q+5+5）

5

=123+1為

3言

=108（元）.

答：春秋西服每套出廠價(jià)是108元.

例5菜園里西紅柿獲得豐收，收下全部的1時(shí)，裝滿3筐還多24千克，收

完其余部分時(shí)，又剛好裝滿6筐，求共收西紅柿多少千克？

解法1：分析可以從“收下全部的!”著手，其余部分必然是1-彥

OO

=鼠總千克數(shù)的注6筐，依據(jù)這個(gè)對應(yīng)關(guān)系，總筐數(shù)就是6,卜9維.

oooJ

收下全部的《就是白X紅3：筐.

OJoJ

根據(jù)題目中的條件筐比3筐多高筐，這個(gè)白筐正好是24千克，“量與百

分率”的關(guān)系已經(jīng)直接對應(yīng)，求每筐的千克數(shù)的條件完全具備.

解：其余部分是總千克數(shù)的幾分之幾:

西紅柿總數(shù)共裝了多少筐:

6+三=9"（筐）.

收下全部的《應(yīng)裝多少筐:

9二X胃=3=（筐）.

3三筐比3筐多多少筐:

3—-3=—（筐）.

每筐是多少千克：

3

24+5=40（千克）.

共收西紅柿多少千克：

3

4Qx9y=384（千克）.

綜合算式：

333

24+[6+（1--）Xg-3]X[6+（1--）]

OOO

35

=24-[3--3]X[6--]

□O

53

=24X-X9-=384（千克）.

答：共收西紅柿384千克.

解法2：（以下列式由學(xué)生自己理解）

33

24+[京一（1--）+（6+3）]

35

=24-[----2]

OO

=24^—=384（千克）.

10

答：共收西紅柿384千克.

例6建筑工地需要一批水泥，從倉庫第一次運(yùn)走全部的高，第二次

運(yùn)走余下的;，第三次運(yùn)走（前二次運(yùn)后）又余下的：，這時(shí)還剩下15噸水泥

沒運(yùn)走.這批水泥共是多少噸？

1

第一次2/5

全部？噸

1/3

余下？噸

3/4

剩下15噸

又余下？噸

分析上圖中有3個(gè)相對各自討論范圍內(nèi)的單位“1”（“全部”、“余

下”、“又余下”）.依據(jù)逆向思路可以得出，最后剩下的15噸對應(yīng)的是

“又余下”的：，因此求出“又余下”的噸數(shù)60噸（即“又余下”含義中

的1個(gè)單位是60噸）.這60噸對應(yīng)的恰是“余下”的這樣可以求“余下”

的噸數(shù)90噸（即“余下”含義中的1個(gè)單位是90噸）.這90噸恰是“全

部”的提至此這批水泥的全部噸數(shù)可以求出。

“312

列式：15+（1-+

=150（噸）.

例7某人在公共汽車上發(fā)現(xiàn)一個(gè)小偷向相反方向步行，10秒鐘后他

下車去追小偷，如其速度比小偷快一倍，比汽車慢*,則追上小偷要多少秒?

分析與解答這是一個(gè)追及問題，因此求追上所花時(shí)間必須求出相距距離

及它們速度差.相距距離是因?yàn)檐嚿现伺c小偷反向走了10秒鐘產(chǎn)生的.而速

度差是易求的.

設(shè)小偷速度為V。，某人追趕速度為2%,由于人比汽車慢?所以汽車

4

速度為+即是10%,所以相距距離是

lox（WV0+V0）=110%,

所以追上所花時(shí)間是

110%+（2V0-V0）=110（秒）.

答：追上小偷要110秒.

例8A有若干本書，B借走一半加一本，剩下的書，C借走一半加兩本，再

剩下的書，D借走一半加3本，最后梃有2本書，問A原有多少本書.

解法1：列方程求解，設(shè)A原有x本書，

分析B借走了：；x+l,

C借走了：；［x-（；x+l）］+2,

即Jgx-1）+2,

D借走了：-1）（1-；）-2］+3,

最后時(shí)（］下了：—［（—x-1）（1--2］-3,

由條件知?T）（l--2］-3=2,

11

萬（守-1）-2=10,

gx-1=24,

x=50（本）

答：A原有50本書.

解法2：用倒推法解.

分析AtJ下的2本應(yīng)是C借走后剩下的一半差3本，所以C借走后還

剩下（2+3）即10本，這10本又是B借走后剩下的一半差2本，所以

B借走后剩下（10+2）即是24本，這24本是A原有書的一半差1本，這

祥A原有書為（24+1）即A原有書50本.

綜合算式:

([2+3)-1+2]-^+l)-1=50.

答：A原有50本書.

六年級奧數(shù)上冊：第三講分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（二）

第四講分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（二）

在解題過程中，除了要利用上一講中所說的一些技巧和方法（如畫線段示

意圖等）之外，還要注意在解題過程中量的轉(zhuǎn)化.例如，在解題過程的不同階

段，有時(shí)需把不同的量看成單位1,即要把單位1進(jìn)行“轉(zhuǎn)化”；有時(shí)，在解題

過程中需把相等的量看成完全一樣，即其中之一可“轉(zhuǎn)化”為另一.通過這樣

的轉(zhuǎn)化，往往能使解題思路清晰，計(jì)算簡便.

例1某車間男工人數(shù)比女工人數(shù)多|,女工人數(shù)比男工人數(shù)少幾分之

幾？

分析與解答條件中男工比女工多|,是把女工人數(shù)看作單位“1”.而

問題“女工人數(shù)比男工人數(shù)少幾分之幾”是把男工人數(shù)看作單位“1解答

這題必須轉(zhuǎn)化單位“1

題意表明，女工人數(shù)是“1”，男工人數(shù)是1+|=1|.求女工比男工少

幾分之幾，應(yīng)該用男工與女工的人數(shù)差除以男工人數(shù)，即此時(shí)把男工人數(shù)

(11)看成單位"1”

222

即5+(1+5)=1

答：女工人數(shù)比男工人數(shù)少5

所求的量也可以表示為“1”減去女工的“1”除以男工的之商，

BP1-1*(1+12)=y2.

說明：“1”倍量的轉(zhuǎn)換引起了“百分率”的轉(zhuǎn)化，其規(guī)律是，甲數(shù)是

乙數(shù)的9則乙數(shù)就是甲數(shù)的B.甲數(shù)比乙數(shù)多；,則乙數(shù)就比甲數(shù)少號-；

甲數(shù)比乙數(shù)少I則乙數(shù)就比甲數(shù)多掌握了這些規(guī)律，在進(jìn)行百分

率轉(zhuǎn)化時(shí)就可以做到快而準(zhǔn).

例2第三修路隊(duì)修一條路，第一天修了全長的;，第二天與第一天所修

路程的比是4：3,還剩500米沒修，這條路全長多少米？

分析此題條件中既有百分率又有比，可以把比轉(zhuǎn)化成百分率，按分?jǐn)?shù)應(yīng)

用題解答.

第二天與第一天所修路程的比是4：3.即第二天修的占4份，第一天

修的占3份，4-3=1.第二天修的占第一天的也就是第二天修的占全

長的=知道了已修的占全長的幾分之幾，就可以找到未修的500

米相對應(yīng)的百分率，進(jìn)而求出全長有多少米.

51/14、

解：500*[1---（-X-）]

11

=500-[l---y]

=500+——

12

=1200（米）.

答：全長是1200米.

例3有120個(gè)皮球，分給兩個(gè)班使用，一班分到的!與二班分到的?相

等，求兩個(gè)班各分到多少皮球？

1/3

一班:八1______I______I]

1/2\120個(gè)

二」f一fIJ

分析上圖中:是以一班為單位“1”，〈是以二班為單位“1”.單位

“1”不一致，因此一班與二班分到的皮球之間缺乏統(tǒng)一的倍數(shù)關(guān)系，

也就是說:、：的單位“1”不統(tǒng)一，不能直接相加、減，必須進(jìn)行“百分

率”轉(zhuǎn)化，才能做此題.

解法1：用百分率轉(zhuǎn)化法統(tǒng)一單位“1”，題目中告訴我們“一班的!

與二班的9相等”，即一班的:和二班的（相對應(yīng)，可以用得到

二班的球數(shù)相當(dāng)于一班的幾分之幾.總球數(shù)120就和兩個(gè)班的百分率之和相對

應(yīng)，求出一班分到多少皮球.

二班分到的球占一班的幾分之幾：

_1_T.*_1=_2

3__23'

一班分到多少皮球：120+(1+I)=72(個(gè))，

二班分到多少皮球：120-72=48(個(gè)).

答：一班分到72個(gè)皮球，二班分到48個(gè)皮球.

根據(jù)上面解題思路，也可以用！請?jiān)囍鲆蛔觥?/p>

解法2：用倍比轉(zhuǎn)化法統(tǒng)一單位“1”，看一班的“1”中有幾個(gè);，

即有幾個(gè)二班的：，找到一班分到的球數(shù)占二班的幾分之幾，轉(zhuǎn)化成和

倍題，就可求出二班分到多少球.

一班分到的占二班幾分之幾：

1X(1-1)=—

213，2，

二班分到多少球：

3

120+(1+-)=48個(gè)，

一班分到多少球：120-48=72(個(gè))?

例4甲、乙兩班共84人，甲班人數(shù)的g與乙班人數(shù)的9共有58人，問兩

84

班各多少人？

畫出線段圖：

5/8

_A_

?_______________________________________X

甲班111111111

?7

卜84人

3/4J

/._________________________/X_____________、_____________

乙班IIIII

-

分析從上圖可看出甲班人數(shù)的9和乙班人數(shù)的;，就是甲、乙兩班

44

總?cè)藬?shù)的白是（84X：=）63人.而甲班人數(shù)』與乙班人數(shù)的:共58

4484

人，這就可以看出甲班人數(shù)的［與甲班人數(shù)的;相差（63-58=）5人.

o4

由量、百分率的對應(yīng)就不難求出甲班人數(shù)了.

解：甲班人數(shù)：（84xJ—58）+（j-1）

44o

=5*-=40（人）.

O

乙班人數(shù)：84-40=44（人）.

答：甲班有40人，乙班有44人.

例5加工一批零件，甲乙二人合作需12天完成；現(xiàn)由甲先工作3天，

然后由乙工作2天還剩這批零件的g沒完成.已知甲每天比乙少加工4個(gè)，這批

零件共有多少個(gè)？

分析解答此題要用條件轉(zhuǎn)化法，即把“甲工作3天，乙工作2天“，轉(zhuǎn)化

為“二人合作2天，再由甲獨(dú)干一天”，問題便可以得到解決.

由“甲乙二人合作12天可完成“可知甲乙二人每天共加工這批零件的看，

根據(jù)“還剩這批零件的24"可求出完成的部分是這批零件的14-提1這

:是甲3天和乙2天的工作量，也可以看成是甲、乙二人合作2天和甲再單獨(dú)

工作1天的工作量，由此可得出：甲的工作效率是，4X2)+(3-2)q,

乙的工作效率則是5-焉=這樣就可以找到甲、乙每天相差的4個(gè)零

，乙Jv乙U

件所對應(yīng)的百分率，求出這批零件有多少個(gè).

解：甲每天完成這批零件的幾分之幾：

乙每天完成這批零件的幾分之幾：

\___1_=J_

12-30=20

這批零件共有多少個(gè)：

4+弓-疝=240(個(gè))

答：這批零件共有240個(gè).

例6服裝廠一車間人數(shù)占全廠的25%,二車間人數(shù)比一車間少，

三車間人數(shù)比二車間多得3，三車間是156人，這個(gè)服裝廠全廠共有多少

人？

分析題目中除全廠外，還有兩個(gè)單位“1”：一個(gè)是一車間，另一個(gè)是二

車間.可以通過轉(zhuǎn)化的思路，統(tǒng)一到一車間.找到三車間的156人相當(dāng)于一車

間的幾分之幾，從而先求出一車間的人數(shù)，由于一車間人數(shù)占全廠的25%,從

而直接求出全廠的人數(shù)，這樣可無需求出二車間的具體人數(shù).

解：二車間人數(shù)是一車間的幾分之幾:

三車間的人數(shù)是一車間的幾分之幾:

一車間有多少人：

26.

156+行=150（人）

全廠共有多少人：

150+25%=600（人）.

綜合算式：

156+[(-3><(1+5]+25%

43

=156^[-X1—]H-25%

26

=156+77+25%

25

=600(A)

答：這個(gè)服裝廠全廠共有600人.

六年級奧數(shù)上冊：第五講長方體和正方體

第五講長方體和正方體

長方體和正方體在立體圖形中是較為簡單的，也是我們較為熟悉的立體圖

形.

如下圖，長方體共有六個(gè)面（每個(gè)面都是長方形），八個(gè)頂點(diǎn)，十二條

棱.

在六個(gè)面中，兩個(gè)對面是全等的，即三組對面兩兩全等（疊放在一起能夠

完全重合的兩個(gè)圖形稱為全等圖形.兩個(gè)全等圖形的面積相等，對應(yīng)邊也相

等）,

長方體的表面積和體積的計(jì)算公式是:

長方體的表面積：S長方體=2（ab+bc+ac）；

長方體的體積：V長方體=abc.

正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的六個(gè)面都是正方

形.如果它的棱長為a,那么：

S正方體=6aJV正方體=at

例1有一個(gè)長方體，它的底面是一個(gè)正方形，它的表面積是19評方厘米，

如果用一個(gè)平行于底面的平面將它截成兩個(gè)長方體，則兩個(gè)長方體表面積的和

為24評方厘米，求原來長方體的體積.

解：設(shè)原來長方體的底面邊長為涯米，高為涯米，則它被截成兩個(gè)長方

體后，兩個(gè)截面的面積和為2/平方厘米，而這也就是原長方體被截成兩個(gè)長方

體的表面積的和比原長方體的表面積所增加的數(shù)值，因此，根據(jù)題意有：

190+2a：=240,可知，a』25,故a=5（厘米）.

又因?yàn)?a葉4疝=190,

190-2X25

解得，h7（厘米）.

4X5

所以，原來長方體的體積為：

V=a:h=25X7=175（立方厘米）.

例2如下圖，一個(gè)邊長為3aM米的正方體，分別在它的前后、左右、上下

各面的中心位置挖去一個(gè)截口是邊長為遮米的正方形的長方體（都和對面打

通）.如果這個(gè)鏤空的物體的表面積為2592平方厘米，試求正方形截口的邊

長.

解：原來正方體的表面積為：

6X3aX3a=6X9/（平方厘米）.

六個(gè)邊長為a的小正方形的面積為：

:

6XaXa=6a（平方厘米）；

挖成的每個(gè)長方體空洞的側(cè)面積為：

3aXaX4=12ai（平方厘米）；

三個(gè)長方體空洞重疊部分的校長為熱小正方體空洞的表面積為：

aXaX4=4#（平方厘米）.

根據(jù)題意：6X9a2-6a2+3（12a:-4a:）=2592,

化簡得：54a-6a2+24a:=2592,解得aj36（平方厘米），故a=6厘米.

即正方形截口的邊長為6厘米.

例3有一些相同尺寸的正方體積木，準(zhǔn)備在積木的各面上粘貼游戲所需的

字母和數(shù)目字.但全部積木的表面總面積不夠用，還需增加一倍，請你想辦

法，在不另添積木的情況下，把積木的各面面積的總和增加一倍.

解：把每一塊積木鋸三次，鋸成8塊小立方體（如下圖）.這樣，每鋸

一次便得到兩個(gè)大截面，使表面積增加:倍，鋸三次使截面增加3X；=1

（倍），因此全部小積木的表面總面積就比原積木表面總面積增加了一倍.

例4有大、中、小三個(gè)正方形水池，它們的內(nèi)邊長分別為4米、3米、2米,

把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水中，兩個(gè)水池的水面分別升高了4厘米

和11厘米.如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池中，大水池水面將升高多少厘

米？

解：水池中水面升高部分水的體積就是投入水中的碎石體積.

沉入中、小水池中的碎石的體積分別是：

3X3X0.04=0.36立方米，

2X2X0.11=0.44立方米.

它們的和是：

0.36+0.44=0一8立方米.

把它們都沉入大池里，大池水面升高部分水的體積也應(yīng)當(dāng)是68立方米，而

大池的底面面積是4X4=16平方米，所以，大水池的水面升高：

ng

0.8+16=百米=5厘米.

例5下圖是正方體的展開圖之一，當(dāng)用它組成立方體時(shí)，圖中的哪一邊與

帶★記號的邊相接觸呢？

解：對于這個(gè)問題，考慮將各面拼湊成正方體是一種方法，但如只考慮邊

的連接會更簡潔：首先☆和G連接，其次折口1連接，且X、Y,Z三點(diǎn)重合為正

方體的一個(gè)頂點(diǎn)，因此與★連接的是K邊.

例6下圖是正方體的11種展開圖和2種偽裝圖（即它們不是正方體的展開

圖）.請你指出偽裝圖是哪兩個(gè)？

(1)(2)(3)(4)

⑸(6)⑴(8)

加工叫

⑸(10)(11)02)

(13)

解:無論哪一個(gè)圖中都有六個(gè)小正方形，都好像有道理，但當(dāng)我們把相鄰

兩邊逐一拼合后，不能變成正方體的是(10)和(12),這兩個(gè)圖形，都是有

五面在拼合時(shí)不成問題，但是最后一面總是擠在外面而成不了正方體.

例7如下面的各圖中均有若干個(gè)六面體，每小題圖中的幾個(gè)六面體上A、

B,C、D、E、F六個(gè)字母的排列順序完全相同(即每個(gè)小題中六面體上刻字母

的方式是完全一樣的)試判斷各小題的圖中A、B、C三個(gè)字母的對面依次是哪

幾個(gè)字母？

9000

(1)C2)

⑷(5)(6)

解：（1）由圖中可知，A與B、C、E、F都相鄰，故A的對面是D.E,F的

位置可按右手關(guān)系得出，伸出右手，伸直大拇指按（1）中右圖所示，讓四指

方向從A轉(zhuǎn)動而指向F,此時(shí)大拇指正好指向E（向上）.如果，判斷為尸在（2對

面，由（1）中左圖所示，讓四指的方向從A向F,此時(shí)大拇指指向B,與（1）

中右圖矛盾，故F在B的對面，E在C的對面.

（2）~（6）按A、B、C順序給出對面的字母：

（2）E、D、F；（3）F,E,D；（4）D,F、E；

（5）E,D、F；（6）F,E、D.

例8有一塊正方體的蛋糕.用刀子將它一刀切成兩半，為了使切口成正六

邊形，應(yīng)該怎樣切呢？

解:

(1)(2)(3)(4)⑸

一般地，按照平常習(xí)慣的切法切下去，得到的切口成為上圖中（1）的正

方形或者像（2）、（3）那樣的長方形.如果斜切下去時(shí)樣子就不一樣了，比

如像（4）那樣，以打算切的頂點(diǎn)作一方，將不相鄰的某一邊的中點(diǎn)作另一

方，沿它的連接線來切，切口變成菱形.

如果再進(jìn)一步，連接相鄰邊的中點(diǎn)，沿著它的連線來切，如上圖中（5）

所示，因?yàn)榍锌诘母鬟叾际沁B接邊和邊的中點(diǎn)的直線，所以長度都相等，相鄰

邊夾角也相等，邊數(shù)是六，故是正六邊形.

六年級奧數(shù)上冊：第六講立體圖形的計(jì)算

第六講立體圖形的計(jì)算

在小學(xué)階段，我們除了學(xué)習(xí)平面圖形外，還認(rèn)識了一些簡單的立體圖形，

如長方體、正方體（立方體）、直圓柱體，直圓錐體、球體等，并且知道了它

們的體積、表面積的計(jì)算公式，歸納如下.見下圖.

在數(shù)學(xué)競賽中，有許多幾何趣題，解答這些趣題的關(guān)鍵在于精巧的構(gòu)思和

恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)，把形象思維和抽象思維結(jié)合起來.

例1下圖是由18個(gè)邊長為1厘米的小正方體拼成的，求它的表面積.

分析與解答求這個(gè)長方體的表面積，如果一面一面地去數(shù)，把結(jié)果累計(jì)

相加可以得到答案，但方法太瞥.如果仔細(xì)觀察，會發(fā)現(xiàn)這個(gè)立體的上下、左

右、前后面的面積分別相等.因此列式為：

（9+8+7）X2=48（平方厘米）.

答：它的表面積是48平方厘米.

例2