第27章二次函數(shù)§27.1二次函數(shù)第一頁，編輯于星期六：六點四十四分。1.理解二次函數(shù)的概念.(重點)2.能夠表示實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系.(重點、難點)第二頁，編輯于星期六：六點四十四分。解答下列問題:1.某公司的生產(chǎn)利潤原來是a萬元,經(jīng)過連續(xù)兩年的增長達到了y萬元,如果每年增長的百分?jǐn)?shù)都是x,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=_______=_________.2.某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品,該商店可以自行定價.若每件商品售價為x元,則可賣出(350-10x)件商品,則銷售該商品盈利y元與售價x元的函數(shù)關(guān)系式為y=_________________=________________.a(1+x)2ax2+2ax+a(x-21)(350-10x)-10x2+560x-7350第三頁，編輯于星期六：六點四十四分。3.長方形的周長為24cm,其中一邊為xcm(x>0),面積為ycm2,則這樣的長方形中y與x的函數(shù)關(guān)系式.y=__________=_______.【總結(jié)】二次函數(shù)的概念:形如y=________(a,b,c是常數(shù),a___0)的函數(shù).

(12-x)·x-x2+12xax2+bx+c≠第四頁，編輯于星期六：六點四十四分。(1)自變量的次數(shù)是2次的函數(shù)就是二次函數(shù).()(2)y=ax2+3x+4是二次函數(shù).(

)(3)函數(shù)y=(x-3)(x+3)-x2是二次函數(shù).(

)(4)y=(x-1)(x+2)是二次函數(shù).()(5)在半徑為4cm的圓中,挖去一個半徑為xcm的與已知圓同心的圓面,剩下一個圓環(huán)的面積為ycm2,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-πx2+16π,其中自變量x的取值為任意實數(shù).(

)×××√×第五頁，編輯于星期六：六點四十四分。知識點1二次函數(shù)的概念【例1】已知函數(shù)是二次函數(shù),求這個函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式.【思路點撥】根據(jù)二次函數(shù)的概念可知未知數(shù)的最高次數(shù)為2,且二次項系數(shù)不為0,列出關(guān)系式求出m的值.

第六頁，編輯于星期六：六點四十四分?！咀灾鹘獯稹恳驗楹瘮?shù)是二次函數(shù),所以m2+1=2,且m+1≠0,解得m=1,則該函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為y=2x2-4x+2.第七頁，編輯于星期六：六點四十四分?！究偨Y(jié)提升】判斷二次函數(shù)的三步法第八頁，編輯于星期六：六點四十四分。知識點2實際問題中的二次函數(shù)關(guān)系【例2】一塊長方形的草地的長和寬分別為20米和16米,在它四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路,設(shè)小路的寬度為x米,小路的總面積為S平方米.(1)求小路的總面積S與寬度x的函數(shù)關(guān)系式.(2)若小路的總面積為160平方米,求小路的寬度.

第九頁，編輯于星期六：六點四十四分?！窘忸}探究】(1)分析題意,題中的等量關(guān)系是什么?提示:題中的等量關(guān)系是:小路的總面積加上草地的面積等于草地四周環(huán)繞的寬度相等的小路形成的大長方形的面積.(2)已知小路的寬度為x米,如何表示草地四周環(huán)繞的寬度相等的小路形成的大長方形的長和寬?面積如何表示?提示:草地四周環(huán)繞的寬度相等的小路形成的大長方形的長和寬分別為(20+2x)米,(16+2x)米.草地四周環(huán)繞寬度相等的小路形成的大長方形的面積為(16+2x)(20+2x)平方米.第十頁，編輯于星期六：六點四十四分。(3)已知小路的總面積為S平方米,則小路的總面積S與寬度x的函數(shù)關(guān)系式為S=______________________=_______.(4)當(dāng)S=160時,160=_______,解得:x1=__,x2=____.x=____不合題意,舍去,所以x=__.故小路的寬為__米.(16+2x)(20+2x)-16×204x2+72x4x2+72x2-20-2022第十一頁，編輯于星期六：六點四十四分。【總結(jié)提升】由實際問題建立二次函數(shù)關(guān)系的三個步驟1.審清題意,找出實際問題中的已知量和未知量,并分析它們之間的關(guān)系,將文字或圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言.2.分析實際問題中的等量關(guān)系,根據(jù)找出的等量關(guān)系或現(xiàn)實客觀存在的某種數(shù)量關(guān)系,建立二次函數(shù)關(guān)系式,并注意將關(guān)系式整理為y=ax2+bx+c(a≠0)的形式.3.根據(jù)實際問題中的自變量所表示的實際意義,注明自變量的取值范圍.第十二頁，編輯于星期六：六點四十四分。題組一:二次函數(shù)的概念1.下列函數(shù)中,是二次函數(shù)的是(

)A.y=8x2B.y=8x+1C.y=-8x

D.【解析】選A.A項中的函數(shù)符合二次函數(shù)的概念,是二次函數(shù);B,C項是一次函數(shù),不是二次函數(shù);D項是反比例函數(shù),不是二次函數(shù).第十三頁，編輯于星期六：六點四十四分。2.如果y=(a-1)x2-ax+6是關(guān)于x的二次函數(shù),則a的取值范圍是(

)A.a≠0

B.a≠1C.a≠1且a≠0D.無法確定【解析】選B.根據(jù)二次函數(shù)的定義,a-1≠0,即a≠1.第十四頁，編輯于星期六：六點四十四分。3.下列函數(shù):①y=5x-5;②y=3x2-1;③y=4x3-3x2;④y=2x2-2x+1;⑤其中是二次函數(shù)的是________.【解析】①y=5x-5是一次函數(shù);②y=3x2-1是二次函數(shù);③y=4x3-3x2自變量最高次數(shù)為3,不是二次函數(shù);④y=2x2-2x+1是二次函數(shù);⑤中不為整式,所以不是二次函數(shù).答案:②④第十五頁，編輯于星期六：六點四十四分。4.若是關(guān)于x的二次函數(shù),則a=________.【解析】根據(jù)題意得:3a2-1=2,解得a=±1,又因a-1≠0,即a≠1,所以a=-1.答案:-1第十六頁，編輯于星期六：六點四十四分。5.已知函數(shù)y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.(1)若這個函數(shù)是一次函數(shù),求m的值.(2)若這個函數(shù)是二次函數(shù),求m的取值范圍.第十七頁，編輯于星期六：六點四十四分。【解析】(1)由題意得:m2-m=0,解得m=0或m=1.又因為m-1≠0即m≠1,所以當(dāng)m=0時,這個函數(shù)是一次函數(shù).(2)根據(jù)二次函數(shù)的定義,得m2-m≠0,解得m≠0且m≠1,所以這個函數(shù)是二次函數(shù)時,m≠0且m≠1.第十八頁，編輯于星期六：六點四十四分?！練w納整合】二次函數(shù)常見的四種表現(xiàn)形式1.y=ax2(a是常數(shù),a≠0).2.y=ax2+bx(a,b是常數(shù),a≠0).3.y=ax2+c(a,c是常數(shù),a≠0).4.y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0).第十九頁，編輯于星期六：六點四十四分。題組二:實際問題中的二次函數(shù)關(guān)系1.進入夏季后,某電器商場為了減少庫存,對電熱取暖器連續(xù)進行兩次降價.若設(shè)平均每次降價的百分率是x,降價后的價格為y元,原價為a元,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為(

)A.y=2a(x-1)B.y=2a(1-x)C.y=a(1-x2)

D.y=a(1-x)2第二十頁，編輯于星期六：六點四十四分?！窘馕觥窟xD.原價為a元,第一次降價后的價格是a×(1-x)元,第二次降價是在第一次降價后的價格的基礎(chǔ)上降價的,為a×(1-x)×(1-x)=a(1-x)2元.所以函數(shù)關(guān)系式是y=a(1-x)2.第二十一頁，編輯于星期六：六點四十四分。2.在半徑為4的圓中,挖去一個邊長為x的正方形,剩下部分的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為(

)A.y=πx2-4yB.y=16π-x2C.y=16-x2D.y=x2-4y【解析】選B.圓面積是16π,正方形面積是x2,則函數(shù)關(guān)系式是:y=16π-x2.第二十二頁，編輯于星期六：六點四十四分?！咀兪絺溥x】如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=6,點E,F分別在線段AD,DC上(點E與點A,D不重合),若∠ABC=60°,∠BEF=120°,AE=x,DF=y,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________.第二十三頁，編輯于星期六：六點四十四分?！窘馕觥恳驗锳D∥BC,AB=DC=AD=6,∠ABC=60°,AE=x,所以∠A=∠D=120°,DE=6-x,又因為∠AEB+∠DEF=180°-∠BEF=60°,∠AEB+∠ABE=180°-∠A=60°,所以∠ABE=∠DEF,所以△ABE∽△DEF.所以即所以答案:第二十四頁，編輯于星期六：六點四十四分。3.寫出下列問題中的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出自變量的取值范圍):(1)某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.為了擴大銷售,增加利潤,盡快減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果每件襯衫降價1元,商場平均每天可多售出2件.則商場降價后每天盈利y(元)與降價x(元)的函數(shù)關(guān)系式為________.(2)汽車油箱中原有油100升,汽車每行駛50千米耗油9升,油箱中剩余油量y(升)與汽車行駛路程x(千米)之間的函數(shù)關(guān)系式為__________.第二十五頁，編輯于星期六：六點四十四分。(3)矩形的周長為30,則面積y與一條邊長x之間的函數(shù)關(guān)系式為__________.在上述各式中,__________是一次函數(shù),__________是二次函數(shù)(只填序號).第二十六頁，編輯于星期六：六點四十四分。【解析】(1)因為每件襯衫降價1元,商場平均每天可多售出2件,所以每件襯衫降價x元,商場平均每天可多售出2x件,因為原來每件的利潤為40元,現(xiàn)在降價x元,所以現(xiàn)在每件的利潤為(40-x)元,所以y=(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800.第二十七頁，編輯于星期六：六點四十四分。(2)因為汽車每行駛50千米耗油9升,則行駛x千米耗油量為升,所以油箱中剩余油量y(升)與汽車行駛路程x(千米)之間的函數(shù)關(guān)系式為第二十八頁，編輯于星期六：六點四十四分。(3)因為矩形的周長為30,一邊長為x,則另一邊的長為15-x,所以面積y與一條邊長x之間的關(guān)系式為y=(15-x)x=-x2+15x.三個式子中(2)是一次函數(shù),(1),(3)是二次函數(shù).答案:(1)y=-2x2+60x+800(2)(3)y=-x2+15x(2)(1)(3)第二十九頁，編輯于星期六：六點四十四分。4.如圖,某小區(qū)廣場要設(shè)計一個矩形花壇,花壇的長、寬分別為30m,20m,花壇中有一橫一縱的兩條通道,余下部分種植花卉.橫、縱通道的寬度均為xm.(1)求兩條通道的總面積S與x的函數(shù)關(guān)系式,不要求寫出自變量x的取值范圍.(2)當(dāng)種植花卉面積為551m2時,求橫、縱通道的寬度為多少m.第三十頁，編輯于星期六：六點四十四分?！窘馕觥?1)S=20x+30x-x2=-x2+50x.(2)因為橫、縱通道的寬度均為xm,所以根據(jù)題意,列方程得:(30-x)(20-x)=551.解這個方程得:x1=1,x2=49(不符題意,舍去).答:橫、縱