第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年深圳市海德學(xué)校九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的圖形個數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.42.下列方程中一定是一元二次方程的是(

)A.2x2?7=3y+1 B.5x2?6y?2=03.關(guān)于x的一元二次方程(a?1)x2+x+a2?1=0的一個根是0A.1 B.?1 C.1或?1 D.124.如圖，在矩形ABCD中，點A的坐標(biāo)是(1,0)，點C的坐標(biāo)是(?2,4)，則BD的長是(

)A.17B.5C.335.關(guān)于x的方程kx2+3x?1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是A.k≤94 B.k≥?94且k≠0 C.k≥?96.下列說法中，正確的是(

)A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

D.對角線互相垂直的四邊形是菱形7.如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，且l1//l2.若∠1=57°A.108° B.36° C.72° D.129°8.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如圖所示的方式放置，其中點B1在yA.(12)2016 C.(33二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。9.因式分解2a2?a=10.將一元二次方程(x?2)(2x+1)=x2?411.若關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+m=0沒有實數(shù)根，則實數(shù)m取值范圍是______．12.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，作DE⊥AB交BA的延長線于點E，連接OE，若AB=6，OE=5，則菱形13.如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E是邊BC上一動點，F(xiàn)是對角線BD上一動點，且BE=DF，則DE+CF的最小值為______．三、計算題：本大題共1小題，共5分。14.先化簡代數(shù)式(1?3a+2)÷a2?2a+1a2?4，再從?2四、解答題：本題共6小題，共56分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題8分)

解方程：

(1)(x+1)2=49；

16.(本小題8分)

先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：同學(xué)們，我們把學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識的時候，經(jīng)常利用“化歸“的數(shù)學(xué)思想方法解決問題，比如，我們在學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法時，是通過“消元”的方法將二元方程化歸成我們所熟悉的一元方程，從而正確求解．下面我們就利用“化歸”的數(shù)學(xué)方法解決新的問題．首先，我們把像這樣，只含有一個未知數(shù)，并且未知教的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．通過以前的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)認(rèn)識了一無一次不等式、一元一次不等式組并掌握了它們的解法．同學(xué)們，你們能類比一元一次不等式(組)的解法求出一元二次不等式的解集嗎？例題：解一元二次不等式x2?9>0分析：為了解決這個問題，我們需要將一元二次不等式“化歸”到一元一次不等式(組)，通過平方差公式的逆用，我們可以把x2?9>0寫成(x+3)(x?3)的形式，從面將x2?9>0轉(zhuǎn)化為(x+3)(x?3)>0，然后再利用兩數(shù)相乘的符號性質(zhì)將一元二次不等式轉(zhuǎn)化成一元一次不等式(組)，從而解決問題．解：∵x2?9=(x+3)(x?3)∴x2?9>0可化為(x+3)(x?3)>0，

由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，得①x+3>0x?3>0②x+3<0x?3<0，

解不等式組①，x>3，

解不等式組②，x<?3，

即一元二次不等式x2?9>0的解集為x>3或17.(本小題8分)

如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，且DE//AC，CE//BD．

(1)求證：四邊形OCED是菱形；

(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面積．18.(本小題10分)

根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何確定拍照打卡板素材一設(shè)計師小聰為某商場設(shè)計拍照打卡板(如圖1)，圖2為其平面設(shè)計圖.該打卡板是軸對稱圖形，由長方形DEFG和等腰三角形ABC組成，且點B，F(xiàn)，G，C四點共線.其中，點A到BC的距離為1.2米，F(xiàn)G=0.8米，DG=1.5米．素材二因考慮牢固耐用，小聰打算選用甲、乙兩種材料分別制作長方形DEFG與等腰三角形ABC(兩種圖形無縫隙拼接)，且甲材料的單價為85元/平方米，乙材料的單價為100元/平方米．問題解決任務(wù)一推理最大高度小聰說：“如果我設(shè)計的方案中CB長與C，D兩點間的距離相等，那么最高點B到地面的距離就是線段DG長”，他的說法對嗎？請判斷并說明理由．任務(wù)二探究等腰三角形ABC面積假設(shè)CG長度為x米，等腰三角形ABC的面積為S.求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)三確定拍照打卡板小聰發(fā)現(xiàn)他設(shè)計的方案中，制作拍照打卡板的總費用不超過180元，請你確定CG長度的最大值．19.(本小題10分)

數(shù)學(xué)課上，李老師提出問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F.求證：AE=EF.(不需要證明)

經(jīng)過思考，小聰展示了一種正確的解題思路：如圖5，取AB的中點H，連接HE，則BH=BE，則△BHE為等腰直角三角形，這時只需證△AHE與△ECF全等即可，在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們進行了進一步的探究：

(1)小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上(不含點B，C)的任意一點”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程，如果不正確，請說明理由；

(2)小華提出：如圖3，如果點E是邊BC延長線上的任意一點，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”是否成立：______(填“是”或“否”)；

(3)小麗提出：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點O與點B重合，正方形的邊長為1，當(dāng)E為BC邊上(不含點B，C)的某一點時，∠AEF=90°，點F恰好落在直線y=?2x+3上，請直接寫出此時點E的坐標(biāo)______，以及△AEF的面積______．20.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把矩形OABC沿對角線AC所在直線折疊，點B落在點D處，DC與y軸相交于點E，矩形OABC的邊OC，OA的長是關(guān)于x的一元二次方程x2?12x+32=0的兩個根，且OA>OC．

(1)求線段OA，OC的長；

(2)求證：△ADE≌△COE，并求出線段OE的長；

(3)直接寫出點D的坐標(biāo)；

(4)若F是直線AC上一個動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P，使以點E，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

參考答案1.D

2.C

3.B

4.B

5.C

6.C

7.D

8.C

9.a(2a?1)

10.x211.m>1

12.213.614.解：原式=a+2?3a+2÷(a?1)2(a+2)(a?2)

=a?1a+2?(a+2)(a?2)15.解：(1)(x+1)2=49

x+1=7或x+1=?7，

解得x=6或x=?8，

∴原方程的解為：x1=6，x2=?8；

(2)3x2=6x?2

3x2?6x+2=0，

a=3，b=?6，c=2，

Δ=b2?4ac=36?24=12，16.解：(1)(x+4)(x?4)>0，

原不等式可轉(zhuǎn)化為①x+4>0x?4>0或②x+4<0x?4<0，

解不等式組①，x>4，

解不等式組②，x<?4，

即一元二次不等式x2?16>0的解集為x>4或x<?4；

(2)原不等式可轉(zhuǎn)化為①x?1>0x?3<0或②x?1<0x?3>0，

解不等式組①，1<x<3，

解不等式組②無解

即分式不等式x?1x?3<0的解集為1<x<3；

(3)x(2x?3)<0，

原不等式可轉(zhuǎn)化為①x>02x?3<0或②x<02x?3>0，

17.(1)證明：∵CE//OD，DE//OC，

∴四邊形OCED是平行四邊形，

∵矩形ABCD，

∴AC=BD，OC=12AC，OD=12BD，

∴OC=OD，

∴平行四邊形OCED是菱形；

(2)解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，

∴BC=2，

∴AB=DC=23，

連接OE，交CD于點F，

∵四邊形OCED為菱形，

∴F為CD中點，

∵O為BD中點，

∴OF=118.解：任務(wù)1：他的說法對，理由如下：

如圖：過點B作BH⊥DC于點H，

∴∠BHC=90°．

∵四邊形EFGD是長方形，

∴∠DGC=90°．

∴∠BHC=∠DGC，

在△BCH與△DCG中，

∠BHC=∠DGC∠BCH=∠DCGBC=DC，

∴△BCH≌△DCG(AAS)，

∴BH=DG．

∴最高點B到地面的距離就是線段DG長．

任務(wù)2：∵該指示牌是軸對稱圖形，四邊形EFHD是長方形，

∴設(shè)BF=CG=x，則BC=2x+0.8．

又△ABC的高為1.2米，

∴三角形ABC的面積S=12×(2x+0.8)×1.2=1.2x+0.48．

任務(wù)3：由題意，當(dāng)長方形用甲種材料制作，三角形用乙種材料制作時，

又長方形的面積為：DH?DE=0.8×1.5=1.2(平方米)，

∴1.2×85+(1.2x+0.48)×100≤180．

解得x≤0.25，

故CG19.(1)證明：如圖2，在AB上截取BH=BE，連接HE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°=∠BCD，

∵CF平分∠DCG，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=135°，

∵BH=BE，AB=BC，

∴∠BHE=∠BEH=45°，AH=CE，

∴∠AHE=∠ECF=135°，

∵AE⊥EF，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

∵∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠FEC=∠BAE，

∴△AHE≌△ECF(ASA)，

∴AE=EF；

(2)解：如圖3，在BA的延長線上取一點N，使AN=CE，連接NE，

∵AB=BC，AN=CE，

∴BN=BE，

∴∠N=∠FCE=45°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD//BE，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠NAE=∠CEF，

在△ANE和△ECF中，

∠N=∠FCEAN=CE∠ANE=∠CEF，

∴△ANE≌△ECF(ASA)，

∴AE=EF，

故答案為：是；

(3)解：如圖4，在BA上截取BH=BE，連接HE，過點F作FM⊥x軸于點M，

設(shè)點E(a,0)，

∴BE=a=BH，

∴HE=2a，

由(1)可得△ANE≌△ECF，

∴CF=HE=2a，

∵CF平分∠DCM，

∴∠DCF=∠FCM=45°，

∵FM⊥CM，

∴∠CFM=∠FCM=45°，

∴CM=FM=2a2=a，

∴BM=1+a，

∴點F(1+a,a)，

∵點F恰好落在直線y=?2x+3上，

∴a=?2(1+a)+3，

∴a=13，

∴點E(13,0)，點F(43,13)，

在Rt△ABE中，

AE=AB2+BE2=12+(13)2=103，

在Rt△EMF中，根據(jù)勾股定得：EF=EM2+MF2=(43)2+(13)2=173，

∴S△AEF=12?AE?EF=12×103×173=17018．

20.解：(1)解方程x2?12x+32=0得，x1=8，x2=4，∵OA>OC，

∴OA=8，OC=4；

(2)∵四邊形ABCO是矩形，

∴AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，

∵把矩形OABC沿對角線AC所在直線折疊，點B落在點D處，

∴AD=AB，∠ADE=∠ABC=