第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省福州市部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)M(1,1,1)在平面Oxy上的投影的坐標(biāo)為(

)A.(0,1,1) B.(1,0,1) C.(0,0,1) D.(1,1,0)2.已知{a,b,A.a+b，b+c，a?cB.a+2b，b，a?c

C.2a3.如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在OA上，且OM=23OA，點(diǎn)A.12a+12b?124.已知向量a=(9,8,5)，b=(2,1,1)，則向量a在向量b上的投影向量c=A.(313,?316,?316)5.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，則(

)A.f(x)=sinB.f(x)=2sin(π2x?πD.f(x)=2sin(6.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中正確的命題是(

)A.若acosA=bcosB=ccosC，則△ABC一定是等邊三角形

B.若acosA=bcosB，則△ABC一定是等腰三角形

C.若tanAtanB=a7.如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為BB1，A1C1中點(diǎn)，過A，E，F(xiàn)作三棱柱的截面交BA.13

B.12

C.238.在梯形ABCD中，AB//DC，∠BAD為鈍角，且AB=AD=2DC=2，若E為線段BD上一點(diǎn)，AE=BE，則BE?AC=A.12 B.1 C.32 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是(

)A.向量a，b，若a?b=0，則a⊥b

B.若對空間中任意一點(diǎn)O，有OP=16OA+13OB+12OC，則P，A，B，C四點(diǎn)共面

C.設(shè){a,b,c}10.已知正方體ABCD?A1B1C1A.BC1//平面ACD1

B.直線BC1與直線AD1為異面直線

C.直線B11.如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=AA1=1，點(diǎn)D為側(cè)棱BA.存在點(diǎn)D，使得AD⊥平面BCM

B.△ADC1周長的最小值為1+2+3

C.三棱錐C1?ABC的外接球的體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知cos(π3?θ)=4513.圓錐的高為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為2π3，則該圓錐的體積為______．14.若存在實(shí)數(shù)m，使得對于任意的x∈[a,b]，不等式m2+sinxcosx≤2sin(x?π4)?m恒成立，則b?a取得最大值時(shí)，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為矩形，且AA1=AB=2AD，E，F(xiàn)分別為C1D1，DD116.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b(1+cosC)=3csinB．

(1)求角C的大??；

(2)若c=213，17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AD//BC，AD=2BC=2，PA=AB，點(diǎn)E在PB上，且PE=2EB．

(1)證明：PD//平面AEC；

(2)當(dāng)二面角E?AC?B的余弦值為63時(shí)，求點(diǎn)P到直線CD的距離．18.(本小題17分)

平面四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，∠ABC+∠ADC=π，∠BCD=π3．

(1)求BD；

(2)求四邊形ABCD周長的取值范圍；

(3)若E為邊BD上一點(diǎn)，且滿足CE=BE，S△BCE=219.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是邊長為2的等邊三角形，CC1=2，D，E分別是線段AC、CC1的中點(diǎn)，C1在平面ABC內(nèi)的射影為D．

(1)求證：A1C⊥平面BDE；

(2)若點(diǎn)F為棱A1C1的中點(diǎn)，求三棱錐F?BDE的體積；參考答案1.D

2.B

3.B

4.C

5.D

6.A

7.B

8.B

9.ABCD

10.AD

11.ACD

12.±313.π314.215.(1)證明：不妨設(shè)AD=1，則AA1=AB=2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A1(1,0,2)，B(1,2,0)，E(0,1,2)，A(1,0,0)，F(xiàn)(0,0,1)，D(0,0,0)，

所以A1E=(?1,1,0)，A1B=(0,2,?2)，AF=(?1,0,1)，

設(shè)m=(x,y,z)是平面A1EB的一個(gè)法向量，

則m?A1E=?x+y=0m?A1B=2y?2z=0，取x=1，則y=z=1，

所以平面A1EB的一個(gè)法向量m=(1,1,1)，

又AF?m=0，所以AF⊥m，

因?yàn)锳F?平面A1EB，

所以AF//平面A116.解：(1)因?yàn)閎(1+cosC)=3csinB，由正弦定理可得sinB(1+cosC)=3sinCsinB，

又因?yàn)锽∈(0,π)，則sinB≠0，

所以1+cosC=3sinC，

整理得2sin(C?π6)=1，即sin(C?π6)=12，

因?yàn)镃∈(0,π)，所以C?π6∈(?π6,5π6)，

所以C?π6=π6，

所以C=π3；

(2)由余弦定理c2=a2+b217.解：(1)證明：連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，

因?yàn)锳D//BC，所以BFFD=BCAD=12，

又PE=2EB，即BEEP=12，

所以BFFD=BEEP=12，

所以PD/?/EF，

因?yàn)镋F?面AEC，PD?面AEC，

所以PD/?/平面AEC．

(2)以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(0,0,m)，m>0，則B(m,0,0)，C(m,1,0)，E(2m3,0,m3)，

則AC=(m,1,0)，AE=(2m3,0,m3)，

設(shè)平面EAC的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AC=0n?AE=0，即mx+y=02m3x+m3z=0，

令x=1，可取n=(1,?m,?2)，

平面ABC的法向量可取18.解：(1)因?yàn)椤螦BC+∠ADC=π，∠BCD=π3，

所以∠BAD=2π3，

在△BCD中由余弦定理得，BD=AB2+AD2?2AB?ADcos∠BAD=12+22?2×1×2×(?12)=7；

(2)在△BCD中，BD2=CB2+CD2?2CB?CDcos∠BCD，

即7=CB2+CD2?CB?CD，

所以CB2+CD2=7+CB?CD≥2CB?CD，

所以0<CB?CD≤7，當(dāng)且僅當(dāng)CB=CD時(shí)取等號；

又(CB+CD)2=CB2+CD2+2CB?CD=7+3CB?CD，當(dāng)且僅當(dāng)CB=CD時(shí)取等號

則7<7+3CB?CD≤28，即7<(CB+CD)2≤28，

所以7<CB+CD≤27，

所以CABCD=AC+AD+CB+CD=3+CB+CD∈(3+7,3+27],19.(1)證明：連接C1D，C1A，

因?yàn)镃1在平面ABC內(nèi)的射影為D，

所以C1D⊥平面ABC，

因?yàn)锽D?平面ABC，

所以C1D⊥BD，

因?yàn)镈是AC中點(diǎn)，且△ABC是正三角形，

所以AC⊥BD，

又AC∩C1D=D，AC、C1D?平面ACC1A1，

所以BD⊥平面ACC1A1，

因?yàn)锳1C?平面ACC1A1，

所以BD⊥A1C，

因?yàn)镃C1=2=AC，

所以四邊形ACC1A1是菱形，

所以C1A⊥A1C，

而D，E分別是線段AC、CC