第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱九中高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（8月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|log2x≤1}，B={y|y=2A.A∪B=B B.A∪B=A C.A∩B=B D.A∩(2.下列說法正確的是(

)A.“a<b”是“1a>1b”的必要不充分條件

B.“x>0”是“x>2”的充分不必要條件

C.若不等式ax2+bx+c>0的解集為(x1,x2)3.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f′(π3)sinx?cosx，求f(x)在x=πA.2+1 B.2?1 C.4.函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能為(

)A.f(x)=xsinx+x2|x|+1 B.f(x)=xsinx|x|+15.已知函數(shù)f(x)=(a?1)x+5?3a,x<2,log2x,x≥2的值域為R，則實數(shù)A.(2,3] B.(1,2] C.(1,3] D.[2,+∞)6.定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(2?x)=f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)=log2(x+2)+a，若f(15)=3f(5)+b，則a+b=A.3?3log23 B.4?3log237.若函數(shù)f(x)=?12ax2+4x?2lnxA.(0,2) B.(0,1) C.(?∞,1) D.(2,+∞)8.已知函數(shù)f(x)=2x,x≤0,lnx,x>0,g(x)=|x(x?2)|，若方程f(g(x))+g(x)?a=0的所有實根之和為4，則實數(shù)A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(?∞,1) D.(?∞,1]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知正數(shù)x，y滿足x+2y=1，則下列說法正確的是(

)A.xy的最大值為18 B.x2+4y2的最小值為12

C.x10.已知函數(shù)f(x)=lnxx,g(x)=xex，若存在x1∈(0,+∞)A.x1+x2<1 B.lnx1=x211.對于任意實數(shù)x，y，定義運(yùn)算“⊕”x⊕y=|x?y|+x+y，則滿足條件a⊕b=b⊕c的實數(shù)a，b，c的值可能為(

)A.a=?log0.50.3，b=0.40.3，c=log0.50.4

B.a=0.40.3，b=log0.50.4，c=?log三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=3x,x>0f(x+2),x≤013.已知曲線f(x)=xex?1+1與直線y=kx相切，則k=14.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，若?x∈(0,+∞)，f(x)>[f(x)?xf′(x)]lnx，則不等式f(x)(ex?1?1)>0四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=4x+a?2x．

(1)若a=?5，求不等式f(x)≤?4的解集；

(2)若x∈[?2,2]時，f(x)16.(本小題15分)

某校學(xué)生社團(tuán)心理學(xué)研究小組在對學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線．

當(dāng)t∈(0,14]時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)t∈[14,45]時，曲線是函數(shù)y=loga(t?5)+83(a>0且a≠1)圖象的一部分．根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)p大于80時聽課效果最佳．

(1)試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式；

17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x?12ax2?ln(x+1)，其中實數(shù)a≥0．

(Ⅰ)求f(x)在x=0處的切線方程；

(Ⅱ)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0，求a的取值范圍；

(18.(本小題17分)

已知f(x)是定義在區(qū)間[?1,1]上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若m、n∈[?1,1]，m+n≠0時，有f(m)+f(n)m+n>0．

(1)證明函數(shù)f(x)在[?1,1]上單調(diào)遞增；

(2)解不等式f(log2(x+12))<f(12)；

(3)若119.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=alnx，其中a>0．

(1)令g(x)=f(x)?x?1x+1，討論g(x)的單調(diào)性；

(2)若對任意兩個不相等的正實數(shù)m，n，均有mn+m+n2參考答案1.A

2.C

3.D

4.A

5.B

6.C

7.A

8.C

9.ABD

10.ABD

11.BD

12.811613.2

14.(1,+∞)

15.解：(1)當(dāng)a=?5時，不等式f(x)≤?4即為4x?5?2x+4≤0，

所以(2x?1)(2x?4)≤0，

則有1≤2x≤4，則0≤x≤2，

故不等式f(x)≤?4的解集為[0,2]；

(2)令t=2x，x∈[?2,2]，則t∈[14,4]，

f(x)=g(t)=t2+at開口向上，對稱軸方程為t=?a2，

①當(dāng)?a2<14，即a>?12時，g(t16.解：(1)當(dāng)t∈(0,14]時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，頂點坐標(biāo)為(12,82)，圖象過(14,81)，設(shè)f(t)=at2+bt+c，帶入求解，可得f(t)=?14(t?12)2+82，

當(dāng)t∈[14,45]時，曲線是函數(shù)y=loga(t?5)+83(a>0且a≠1)圖象的一部分，圖象過(14,81)，代入求解可得：a=13

則f(t)=log13(t?5)+83．

則p=f(t)=?14(t?12)2+82,(t∈(0,14])log13(t?5)+83,(t∈[14,45])

(2)由題意，指數(shù)p大于80時聽課效果最佳，

當(dāng)17.解：(Ⅰ)f′(x)=1?ax?1x+1，

因為f′(0)=0，f(0)=0，所以f(x)在x=0處的切線方程為y=0．

(Ⅱ)f′(x)=1?ax?1x+1=?ax2+(1?a)xx+1=[?ax+(1?a)]xx+1．

(i)當(dāng)a=0時，f′(x)=xx+1≥0在[0,+∞)恒成立，所以f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增，

所以f(x)在[0,+∞)的最小值為f(0)=0，不符合題意(舍)．

(ⅱ)當(dāng)0<a<1時，令f′(x)>0，解得0<x<1?aa；令f′(x)<0，解得x>1?aa，

所以f(x)在(0,1?aa)單調(diào)遞增，在(1?aa,+∞)單調(diào)遞減．

又f(0)=0，所以存在x∈(0,1?aa)，使得f(x)>0，不符合題意(舍)．

(iii)當(dāng)a≥1時，f′(x)≤0在[0,+∞)恒成立，

所以f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減，則f(x)在[0,+∞)的最大值為f(0)=0，符合題意．

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)．

(Ⅲ)證明：當(dāng)a=0時，要證f(x)=x?ln(x+1)>x?ex?1，

需證g(x)=ex?1?ln(x+1)>0，

g′(x)=ex?1?1x+1在(?1,+∞)單調(diào)遞增，又g′(0)=e?1?1<0，g′(1)=1?12=118.解：(1)?x1，x2∈[?1,1]，且x1<x2，則f(x1)?f(x2)=f(x1)+f(?x2)=f(x1)+f(?x2)x1?x2(x1?x2)，

因為?1≤x1<x2≤1，x1+(?x2)≠0，

由已知可得f(x1)+f(?x2)x1?x2>0，x1?x2<0，

所以f(x1)?f(x2)<0，

所以f(x1)<f(x2)，

所以函數(shù)f(x)在[?1,1]上單調(diào)遞增；

(2)因為19.解：(1)g(x)=f(x)?x?1x+1=alnx?x?1x+1，定義域為{x|x>0}，

g′(x)=ax?x+1?(x?1)(x+1)2=ax?2(x+1)2=a(x+1)2?2xx(x+1)2=ax2+(2a?2)x+ax(x+1)2，

令?(x)=ax2+(2a?2)x+a，x>0，

又a>0，

所以g(x)為開口向上的二次函數(shù)，g(0)=a>0，Δ=4(a?1)2?4a2=4?8a，

若△≤0，即a≥12，?(x)≥0恒成立，即g′(x)≥0恒成立，g(x)單調(diào)遞增，

若Δ>0，即0<a<12時，

令?(x)=0得x1=1?a?1?2aa，x2=1?a+1?2aa，

x1x2=1>0，x1+x2=?2+2a>0，

所以x1>0，x2>0，

所以在(0,1?a?1?2aa)上?(x)>0，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

在(