第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長沙市開福區(qū)北雅中學(xué)九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.要使二次根式2x?4在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是(

)A.x>2 B.x≥2 C.x<2 D.x=22.今年“五一”假期，湖南省文旅市場持續(xù)升溫，文旅經(jīng)濟(jì)強(qiáng)勁復(fù)蘇.根據(jù)全省十四個市州綜合測算情況匯總，2023年“五一”假期全省共接待游客1787.1萬人次，同口徑比2022年“五一”假期增長了114.61%，其中數(shù)據(jù)1787.1萬用科學(xué)記數(shù)法表示為(

)A.1.7871×107 B.1.7871×108 C.3.不等式組x+1>0x?1≤0的解集在數(shù)軸上表示正確的是(

)A. B.

C. D.4.將直線y=2x向下平移1個單位得到的直線是(

)A.y=?2x+1 B.y=?2x?1 C.y=2x+1 D.y=2x?15.下列運(yùn)算正確的是(

)A.a3+a2=a5 B.6.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD、CE的中點(diǎn)，且S△ABC=8cm2，則SA.4cm2

B.3cm2

C.2c7.下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段不能構(gòu)成直角三角形的是(

)A.1，2，3 B.3，4，5 C.5，12，13 D.1，2，8.若(a+b)2=49，ab=12，則a2A.20 B.25 C.30 D.359.在?ABCD中，若∠A+∠C=140°，則∠B的度數(shù)是(

)A.70° B.110° C.120° D.140°10.一次函數(shù)y=4x+2的圖象經(jīng)過第(????)象限．A.一、二、三 B.一、二、四 C.一、三、四 D.二、三、四11.如果m、n是一元二次方程x2?x=5的兩個實(shí)數(shù)根，那么多項(xiàng)式m2?mn+n+1A.12 B.10 C.7 D.512.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,0)，如圖所示，下列結(jié)論：①4ac<b2；②方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=?1，x2=3；③b+2a=0；④當(dāng)y>0時，x的取值范圍是?1<x<3；A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。13.分解因式：x2?9=

．14.已知菱形的兩條對角線的長分別是10cm和24cm，那么菱形的每條邊長是______．15.如圖，直線y=kx+b與拋物線y=?x2+2x+3交于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，則不等式?16.如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=16，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=6，則AB的長為______．17.關(guān)于x的方程2x+ax?1=1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是

．18.設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2?3x+k=0的兩個根，且x1=2三、解答題：本題共7小題，共56分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題8分)

解下列方程：

(1)3x2?2x?1=0

20.(本小題8分)

先化簡，再求值：(2aa+2?1)÷a21.(本小題8分)

“讓我們攜起手來，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)空間命運(yùn)共同體，讓互聯(lián)網(wǎng)更好造福世界各國人民，共同創(chuàng)造人類更加美好的未來！”11月8日上午，國家主席習(xí)近平向2023年世界互聯(lián)網(wǎng)大會烏鎮(zhèn)峰會開幕式發(fā)表視頻致辭，科學(xué)分析全球互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展治理面臨的新形勢新要求，為攜手推動構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)空間命運(yùn)共同體提供了重要指引.與會人士紛紛表示，習(xí)近平主席的致辭凝聚合作共識、激發(fā)奮進(jìn)力量，為共同推動構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)空間命運(yùn)共同體邁向新階段進(jìn)一步指明了方向.為了共同推動構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)空間命運(yùn)共同體發(fā)展，某高校計劃在圖書館引進(jìn)計算網(wǎng)絡(luò)書籍，為合理搭配各類書籍，學(xué)校團(tuán)委以“我最喜愛的書籍”為主題，對全校學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，收集整理喜愛的書籍類型(A.網(wǎng)絡(luò)安全，B.計算軟件計算，C.計算數(shù)學(xué)，D.通信技術(shù))數(shù)據(jù)后，繪制出兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

(1)本次抽樣調(diào)查的樣本容量是______；

(2)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)求出扇形統(tǒng)計圖中類型D所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)；

(4)請你估計該校參加調(diào)查的1000名學(xué)生中喜歡類型C的學(xué)生人數(shù)．22.(本小題8分)

如圖，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE，A、C、D三點(diǎn)共線，∠ACB=∠DCE=90°，延長DE交AB于點(diǎn)F．

(1)求證：△ACE≌△BCD；

(2)若CD=1，AC=2，求AF的長度．23.(本小題8分)

如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC延長線上，且CF=BE．

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；

(2)連接AF，若AE=2，AD=3，求AF的長．24.(本小題8分)

定義：如果拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(x1,0)，B(x2,0)，那么我們把線段AB叫做雅禮弦，AB兩點(diǎn)之間的距離l稱為拋物線的雅禮弦長．

(1)求拋物線y=x2?2x?3的雅禮弦長；

(2)求拋物線y=x2+(n+1)x?1(1≤n<3)的雅禮弦長的取值范圍；

(3)設(shè)m，n為正整數(shù)，且m≠1，拋物線y=x2+(4?mt)x?4mt的雅禮弦長為l1，拋物線25.(本小題8分)

已知拋物線y=ax2+bx?4(a,b為常數(shù)，a≠0)交x軸于A(?1,0)，B(4,0)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求該拋物線解析式；

(2)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接PB，過C作CQ/?/BP交x軸于點(diǎn)Q，連接PQ，求△PBQ面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，將拋物線y=ax2+bx?4向右平移經(jīng)過點(diǎn)(12,0)，得到新拋物線y=a1x2+b1x+c1，點(diǎn)參考答案1.B

2.A

3.C

4.D

5.B

6.C

7.A

8.B

9.B

10.A

11.A

12.D

13.(x+3)(x?3)

14.13cm

15.x<0或x>3

16.12

17.a<?1且a≠?2

18.2

19.解：(1)∵3x2?2x?1=0，

∴(x?1)(3x+1)=0，

∴x=1或x=?13；

(2)∵(x?1)2?16=0，

∴(x?1)20.解：原式=(2aa+2?a+2a+2)?a+2(a?2)2

=21.(1)400；

(2)喜歡D類型的人數(shù)：400×10%=40(人)，

喜歡B類型的人數(shù)：400?100?140?40=120(人)，補(bǔ)全的條形統(tǒng)計圖如下：

(3)扇形統(tǒng)計圖中類型D所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)=10%×360°=36°，

答：扇形統(tǒng)計圖中類型D所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)為36°．

(4)400名學(xué)生中喜歡類型C的學(xué)生人數(shù)占比為：140400=35%，

∴該校參加調(diào)查的1000名學(xué)生中喜歡類型C的學(xué)生人數(shù)為：1000×35%=350(人)，

答：估計該校參加調(diào)查的1000名學(xué)生中喜歡類型C的學(xué)生人數(shù)有350人．22.(1)證明：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE中，AC=BC，∠ACB=90°，CD=CE，∠DCE=90°，

在△ACE和△BCD中，

AC=BC∠ACB=∠DCE=90°CE=CD，

∴△ACE≌△BCD(SAS)；

(2)解：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE中，∠EDC=45°，∠BAC=45°，

∴DF=AF，∠DFA=90°，

∴AF2+DF2=2AF2=AD2，

23.(1)證明：∵在平行四邊形ABCD中，

∴AB//DC且AB=DC，

∴∠ABE=∠DCF，

在△ABE和△DCF中，

AB=DC∠ABE=∠DCFBE=CF，

∴△ABE≌△DCF(SAS)，

∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，

∴AE//DF，

∴四邊形ADFE是矩形；

(2)解：由(1)知：四邊形ADFE是矩形，

∴EF=AD=3，

在Rt△AEF中，AE=2，

AF=24.解：(1)x2?2x?3=0，

(x?3)(x+1)=0，

∴x1=3，x2=?1，

∴雅禮弦長AB=4；

(2)x2+(n+1)x?1=0，A(x1,0)B(x1,0)，

∴AB=|x1?x2|=(x1+x2)2?4x1x2，

∵Δ=(n+1)2+4>0，x1+x2=?(n+1)x1x2=?1，

∴AB=(n+1)2+4，

∵1≤n<3，

∴當(dāng)n=1時，AB最小值為22，

當(dāng)n=3時，AB最大值小于25，

∴22≤AB<25；

25.解：(1)將A(?1,0)，B(4,0)代入拋物線y=ax2+bx?4，

∴a?b?4=016a+4b?4=0，解得a=1b=?3．

∴拋物線的解析式為：y=x2?3x?4．

(2)如圖，連接BC，則△BCP的面積=△BQP面積，過點(diǎn)P作PT/?/y軸交BC于點(diǎn)T，

令x=0，則y=?4，

∴C(0,?4)；

∴OB=OC=4，直線BC的解析式為：y=x?4，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P(m,m2?3m?4)，T(m,m?4)，

∴TP=m?4?(m2?3m?4)=?m2+4m，

∴S△BCP=12?TP?(xB?xC)=12?(?m2+4m)?4=?2(m?2)2+8，

∵?2<0，

∴當(dāng)m=2時，S△BCP的最大值為8；此時P(2,?6)．

綜上，△PBQ面積的最大值為8，此時P(2,?6)．

(3)∵將拋物線y=x2?3x?4=(x?32)2?254向右平移經(jīng)過點(diǎn)(12,0)，

∴點(diǎn)A(?1,0)向右平移32個單位，

∴平移后的拋物線為：y=(x?3)2?254．

∵點(diǎn)E在平移后拋物線的對稱軸上，

∴設(shè)點(diǎn)E(3,t)，該對稱軸與x軸交于點(diǎn)G，

①當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時，過點(diǎn)P作x軸的平行線，交GH于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作y軸的平行線交PH于點(diǎn)H，

∴∠APE=∠PHE=∠M=90°，AM=6