八年級數(shù)學(xué)上冊

期末提升訓(xùn)練一、三角形的基礎(chǔ)知識1．三角形的概念由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形.2．三角形的三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形；

②當(dāng)已知兩邊時，可確定第三邊的范圍；

③證明線段不等關(guān)系．3．三角形的內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°．推論：①直角三角形的兩個銳角互余；②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．4．三角形中的重要線段（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線．（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線．（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）．（4）連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．典例1．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）A．2cm，5cm，8cm B．3cm，3cm，6cmC．3cm，4cm，5cm D．1cm，2cm，3cm2.點G為△ABC的重心，則S△ABG∶S△ACG∶S△BCG的值是（）A．1∶2∶3B．2∶1∶2C．1∶1∶1D．無法確定3.直角三角形中兩銳角之差為20°，則較大銳角為（）A．45°B．55°C．65°D．50°二、多邊形1．多邊形的相關(guān)概念（1）定義：在平面內(nèi)，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．（2）對角線：從n邊形的一個頂點可以引(n–3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n–2)個三角形；n邊形對角線條數(shù)為．2．多邊形的內(nèi)角和、外角和（1）內(nèi)角和：n邊形內(nèi)角和公式為(n–2)·180°；（2）外角和：任意多邊形的外角和為360°.3．正多邊形（1）定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.（2）正n邊形的每個內(nèi)角為，每一個外角為．（3）正n邊形有n條對稱軸.（4）對于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．典例1．一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和為2520°，則原多邊形的邊數(shù)是A．17 B．16 C．15 D．16或15或172．如果一個多邊形的每一個內(nèi)角都是108°，那么這個多邊形是A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形3.若一個正n邊形的每個內(nèi)角為144°，則這個正n邊形的所有對角線的條數(shù)是A．7 B．10 C．35 D．70三、三角形全等1．三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（4）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2．全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；（3）全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．典例：1.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中線，AF⊥BD，F(xiàn)為垂足，過點C作AB的平行線交AF的延長線于點E.求證：(1)∠ABD=∠FAD；(2)AB=2CE.如圖，操場上有兩根旗桿CA與BD之間相距12m，小強(qiáng)同學(xué)從B點沿BA走向A，一定時間后他到達(dá)M點，此時他測得CM和DM的夾角為90°，且CM=DM，已知旗桿AC的高為3m，小強(qiáng)同學(xué)行走的速度為0.5m/s，則：（1）請你求出另一旗桿BD的高度；（2）小強(qiáng)從M點到達(dá)A點還需要多長時間？四、角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.2.角的平分線的判定定理角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.3.三角形的角平分線三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.典例1.已知：如圖，OD平分∠POQ，在OP、OQ邊上取OA＝OB，點C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求證：CM＝CN．2.四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求證：2AE=AB+AD．五、軸對稱1．常見的軸對稱圖形等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓．2．折疊的性質(zhì)折疊的實質(zhì)是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．【注意】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個字眼時，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關(guān)的條件量．解決折疊問題時，首先清楚折疊和軸對稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關(guān)系，借助勾股定理建立關(guān)系式求出答案，所求問題具有不確定性時，常常采用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．3．作某點關(guān)于某直線的對稱點的一般步驟（1）過已知點作已知直線（對稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足；（2）在這條直線另一側(cè)從垂足除法截取與已知點到垂足的距離相等的線段，那么截點就是這點關(guān)于該直線的對稱點．4．作已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形的一般步驟（1）作出圖形的關(guān)鍵點關(guān)于這條直線的對稱點；（2）把這些對稱點順次連接起來，就形成了一個符合條件的對稱圖形．六、等腰、等邊三角形1．等腰三角形的性質(zhì)（1）定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．（2）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．（3）推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°．2．等腰三角形的判定（1）定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等．（2）推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．（4）推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．等邊三角形1．定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．2．性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°．3．判定：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．1.等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，它的一腰上的高與底邊所夾的角的度數(shù)是（）A．35°B．20°C．35°或20° D．無法確定2.如圖，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底邊BC上截取BD=AB，過D作DE⊥BC交AC于E，連接AD，則圖中等腰三角形的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．43.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B，C，D，E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠EFD=__________°七、整式的乘除運算與因式分解

典例

典例

八、分式的運算（一）分式1．分式的定義（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．【注意】①若B≠0，則有意義；②若B=0，則無意義；③若A=0且B≠0，則＝0

4．最簡分式分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．【注意】約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結(jié)果有時可能成為整式．5．通分及通分法則（1）通分根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過程稱為分式的通分．（2）通分法則把兩個或者幾個分式通分：①先求各個分式的最簡公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、分母，使每個分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡公分母為分母的分式；③若分母是多項式，則先分解因式，再通分．【注意】通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的最簡公分母．6．最簡公分母幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．

典例

（二）分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個方程為分式方程的依據(jù)．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．學(xué)=科網(wǎng)（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當(dāng)分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根．易錯提醒：解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程變形時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．溫馨提示：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個整式方程本身無解，當(dāng)然原分式方程就一定無解．4．分式方程的應(yīng)用（1）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個問題中涉及到三個量的關(guān)系，如：工作時間＝，時間＝等．（2）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)未知數(shù)；②找等量關(guān)系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答．典例

例

已知兩條線段的長分別是3cm、8cm，要想拼成一個三角形，且第三條線段a的長為奇數(shù)，問第三條線段應(yīng)取多長？解：由三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊得8-3<a<8+3,∴5<a<11.又∵第三邊長為奇數(shù),∴第三條邊長為7cm或9cm.例

如圖，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，BC=8cm，求邊AC的長．解：∵CD為△ABC的AB邊上的中線，∴AD=BD，∵△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，∴BC-AC=3，∵BC=8，∴AC=5．例

如圖，D是△ABC的邊BC上任意一點，E、F分別是線段AD、CE的中點，且△ABC的面積為24，求△BEF的面積．例

如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數(shù)．例

如圖，△ABC中，BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠3=∠C,求∠1的度數(shù).ABCD))))2413例

如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度數(shù).ABCFGDE第十二章全等三角形例

已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），

BC＝CB（公共邊），∠ACB＝∠DBC（已知），證明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA

）.BCAD例

如圖,∠1=∠2,點P為BN上的一點，∠PCB+∠BAP=180°，求證:PA=PC.BACN))12P第十三章軸對稱例

下列“禁止行人通行、注意危險、禁止非機(jī)動車通行、限速60”四個交通標(biāo)志圖中，為軸對稱圖形的是（）ABCD例

等腰三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，求該等腰三角形的頂角的度數(shù).例

如圖,在△ABC中,AD是角平分線,AC=AB+BD.求證∠B=2∠C.例

如圖所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F．求證：BF=2CF．第十四章整式的乘法與因式分解例

下列計算正確的是()A．(a2)3＝a5 B．2a－a＝2C．(2a)2＝4aD．a(chǎn)·a3＝a4例

計算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.例

計算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y,其中x=1,y=3.例

計算：(1)(－2xy2)2·3x2y·(－x3y4)．(2)x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1)(3)(－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2；(4)(2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)；(5)[x(x2