第66講拋物線(xiàn)及其性質(zhì)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一、拋物線(xiàn)的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，定點(diǎn)叫拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．注：若在定義中有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)二、拋物線(xiàn)的方程、圖形及性質(zhì)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，，其中一次項(xiàng)與對(duì)稱(chēng)軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)范圍，，，，對(duì)稱(chēng)軸軸軸焦點(diǎn)離心率準(zhǔn)線(xiàn)方程焦半徑【解題方法總結(jié)】1、點(diǎn)與拋物線(xiàn)的關(guān)系（1）在拋物線(xiàn)內(nèi)（含焦點(diǎn)）．（2）在拋物線(xiàn)上．（3）在拋物線(xiàn)外．2、焦半徑拋物線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線(xiàn)開(kāi)口越大．4、焦點(diǎn)弦若為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：（1）．（2）．（3）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式1：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長(zhǎng)度為．焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式2：（為直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的夾角）．5、拋物線(xiàn)的弦若AB為拋物線(xiàn)的任意一條弦，，弦的中點(diǎn)為，則（1）弦長(zhǎng)公式：（2）（3）直線(xiàn)AB的方程為（4）線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為6、求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)的快速方法（法）（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為（2）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為如，即，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線(xiàn)方程和切點(diǎn)弦方程拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程為，為切點(diǎn)切點(diǎn)弦方程為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)外與中點(diǎn)弦平行的直線(xiàn)為，此直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相離，點(diǎn)（含焦點(diǎn)）是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線(xiàn)的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果．9、拋物線(xiàn)的通徑過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的弦叫做拋物線(xiàn)的通徑．對(duì)于拋物線(xiàn)，由，，可得，故拋物線(xiàn)的通徑長(zhǎng)為．10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線(xiàn)的斜率的關(guān)系：11、焦點(diǎn)弦的?？夹再|(zhì)已知、是過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線(xiàn)相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設(shè)，為垂足，則、、三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上必考題型全歸納題型一：拋物線(xiàn)的定義與方程例1．（2024·福建福州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)C：上，則P到C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為（）A．4 B．3 C．2 D．1例2．（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）涪江三橋又名綿陽(yáng)富樂(lè)大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是繼東方紅大橋、涪江二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國(guó)慶全線(xiàn)通車(chē)．大橋的拱頂可近似地看作拋物線(xiàn)的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€(gè)位置，它到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c(diǎn)的距離為（

）A．6 B． C． D．例3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，的準(zhǔn)線(xiàn)交軸于點(diǎn)，若，則的方程為（

）A． B． C． D．變式1．（2024·陜西渭南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．變式2．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且，則拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是（

）A． B． C． D．變式3．（2024·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在拋物線(xiàn)上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的垂心恰好是此拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，則直線(xiàn)AB的方程是（

）A． B． C． D．變式4．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，過(guò)上的一點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．若，且的面積為，則的方程為（

）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線(xiàn)定義判斷它為拋物線(xiàn)并確定焦點(diǎn)位置：（2）根據(jù)題目條件列出P的方程（3）解方程求出P，即得標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：拋物線(xiàn)的軌跡方程例4．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F（1，0），直線(xiàn)，若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和到直線(xiàn)l的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程是.例5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．例6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）與點(diǎn)和直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是．變式5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．變式6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)與定直線(xiàn)的距離的差為1．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．變式7．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上，且垂直，則點(diǎn)的軌跡方程為．變式8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)訄AP與定圓C：（x+2）2+y2＝1相外切，又與直線(xiàn)x＝1相切，那么動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是．變式9．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)動(dòng)圓與定圓相外切，且與直線(xiàn)相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．變式10．（2024·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，直線(xiàn)：，兩個(gè)動(dòng)圓均過(guò)點(diǎn)且與相切，其圓心分別為、，若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的軌跡方程為.變式11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)、，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，且直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之差為，點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，則曲線(xiàn)的軌跡方程為【解題方法總結(jié)】常見(jiàn)考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線(xiàn)的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)點(diǎn)P和滿(mǎn)足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)做判斷．焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿(mǎn)足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線(xiàn)的定義，把曲線(xiàn)和滿(mǎn)足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線(xiàn)定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍．題型三：與拋物線(xiàn)有關(guān)的距離和最值問(wèn)題例7．（2024·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過(guò)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則的最小值為.例8．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.例9．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為．變式12．（2024·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為的直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與該拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若為該拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最小值為.變式13．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)，其焦點(diǎn)為F，PQ是過(guò)點(diǎn)F的一條弦，定點(diǎn)A的坐標(biāo)是，當(dāng)取最小值時(shí)，則弦PQ的長(zhǎng)是.變式14．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)M為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為..變式15．（2024·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為則的最小值為.變式16．（2024·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┮阎菕佄锞€(xiàn)上一點(diǎn)，則的最小值為.變式17．（2024·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，則的最小值是．變式18．（2024·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎c(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是.變式19．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，且，為焦點(diǎn)，則最大值為.變式20．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)Q的距離為，則的最小值為．變式21．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）的最小值為．變式22．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是.變式23．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和的最小值是.【解題方法總結(jié)】拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，利用這一定義可以把相等長(zhǎng)度的線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度之和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題或點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題，即在解題中掌握“拋物線(xiàn)的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到定直線(xiàn)（并非準(zhǔn)線(xiàn)）距離的最值問(wèn)題用參數(shù)法或切線(xiàn)法求解．題型四：拋物線(xiàn)中三角形，四邊形的面積問(wèn)題例10．（2024·四川樂(lè)山·統(tǒng)考三模）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于P，Q兩點(diǎn)，于H，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的面積之比為（

）A．6 B．8 C．12 D．16例11．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，與及其準(zhǔn)線(xiàn)依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若，,則的面積是（

）A． B． C． D．例12．（2024·北京·101中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)，定點(diǎn)，P是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，P的圓與l相切，則這個(gè)圓的面積的最小值為（

）A． B． C． D．變式24．（2024·黑龍江大慶·高三肇州縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓作切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，則四邊形的面積的最小值為（

）A．3 B． C． D．變式25．（2024·貴州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，若，則(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是（

）A． B．1 C．2 D．4變式26．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線(xiàn)：，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓：作切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．變式27．（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為的直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)且與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，，若與的面積之比為2，則的值為（

）A． B． C． D．變式28．（2024·安徽淮南·統(tǒng)考二模）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，，垂足為K，若的面積是，則p的值為（

）A．1 B．2 C． D．3【解題方法總結(jié)】解決此類(lèi)問(wèn)題經(jīng)常利用拋物線(xiàn)的定義，將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計(jì)算其面積或面積之比．題型五：焦半徑問(wèn)題例13．（2024·江西·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知為拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，，，為上的三點(diǎn)，若，則.例14．（2024·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為曲線(xiàn)上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．例15．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若，則．變式29．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若過(guò)點(diǎn)向拋物線(xiàn)作兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則．變式30．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)A作的垂線(xiàn)，垂足為，設(shè)，若與相交于點(diǎn)的面積為，則拋物線(xiàn)的方程為.變式31．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)與圓于四點(diǎn)，則.變式32．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）拋物線(xiàn)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，若，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為．變式33．（2024·河南南陽(yáng)·南陽(yáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線(xiàn):的焦點(diǎn)為,設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)與兩點(diǎn)，且,則.變式34．（2024·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎獮樽鴺?biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，與拋物線(xiàn)及其準(zhǔn)線(xiàn)依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若.則的面積是.變式35．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)E：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)l交x軸于點(diǎn)C，直線(xiàn)m過(guò)C且交E于不同的A，B兩點(diǎn)，B在線(xiàn)段上，點(diǎn)P為A在l上的射影．下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若P，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，則C．若，則 D．對(duì)于任意直線(xiàn)m，都有變式36．（多選題）（2024·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，下面說(shuō)法正確的是（

）A．拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為 B．C．時(shí)， D．變式37．（多選題）（2024·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是拋物線(xiàn)：上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則（

）A．直線(xiàn)AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，最小值為4B．直線(xiàn)AB過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為時(shí)，C．若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，則最大值為5D．變式38．（多選題）（2024·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎c(diǎn)是拋物線(xiàn)上過(guò)焦點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則（

）A．焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0） B．C． D．變式39．（多選題）（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn).則以下描述正確的是（

）A．線(xiàn)段的長(zhǎng)為4 B．的面積為C． D．拋物線(xiàn)在、兩點(diǎn)處的切線(xiàn)交于點(diǎn)變式40．（多選題）（2024·山東德州·三模）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．若，則 B．C． D．面積的最小值為16變式41．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線(xiàn)上的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，面積分別為，若F為的重心，且，則該拋物線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．變式42．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)P，交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)Q，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若O為線(xiàn)段PQ中點(diǎn)，則PF＝1 B．若PF＝4，則OP＝2C．存在直線(xiàn)l，使得PF⊥QF D．△PFQ面積的最小值為2變式43．（2024·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，則（

）A．6 B．4 C．3 D．2變式44．（2024·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，若直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7變式45．（2024·廣東珠?！ぶ楹Ｊ卸烽T(mén)區(qū)第一中學(xué)校考三模）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若，則的面積為（

）A．4 B． C． D．2變式46．（2024·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)與的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與交于，兩不同點(diǎn)，拋物線(xiàn)在，兩點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)，且的橫坐標(biāo)為4，則弦長(zhǎng)（

）A．16 B．26 C．14 D．24【解題方法總結(jié)】（1）．（2）．（3）． 題型六：拋物線(xiàn)的性質(zhì)例16．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于拋物線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．開(kāi)口向左 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線(xiàn)為 D．對(duì)稱(chēng)軸為軸例17．（多選題）（2024·山東日照·高三校聯(lián)考期末）（多選）對(duì)于拋物線(xiàn)上，下列描述正確的是（

）A．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 B．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4 D．準(zhǔn)線(xiàn)方程為例18．（多選題）（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，焦點(diǎn)F是的重心．記直線(xiàn)AB，AC，BC的斜率分別為，則（

）A．線(xiàn)段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為B．直線(xiàn)BC的方程為C．D．變式47．（多選題）（2024·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B．若，則周長(zhǎng)的最小值