第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運算

明：知

課標(biāo):教考

要求；導(dǎo)向

1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及意義.

2.掌握導(dǎo)數(shù)的運算.

課前——教材溫顧學(xué)習(xí)“2方案

11主干知識回顧一遍

1.函數(shù)y=/（x）在x=xo處的導(dǎo)數(shù)

稱函數(shù)y—/（X）在x—Xo處的瞬時變化率由瑞/一白雪Ax為函數(shù)y—/（X）

定義

在x=xo處的導(dǎo)數(shù)

記法記作/'（X。）或＜1-0,即/'（加―典o整9Ax9

幾何是曲線v=f（x）在點（xo,/fa）））處的切線的斜率,相應(yīng)的切線方程為V—/Uo）=

意義f的）（％—xo）

2.函數(shù)_/U）的導(dǎo)函數(shù)

函數(shù)尸（幻=&網(wǎng)"+弋—為/U）的導(dǎo)函數(shù).

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/（x）=c（c為常數(shù)）fW=0

_/U)=x"(aCQ*)f'(x)=axal

f(x)=sinxf'(x)=cos_x

f(x)=cosXf'(x)=—sin_x

fix)=er（*）=貯

f(x)=ax(a>0,〃W1)f(x)=ax\n_a

f(x)=J

/(x)=lnx

f(x)=logttx(a>0,a#1)于'⑴-疝a

4.導(dǎo)數(shù)的運算法則

d)[/(x)±g(x)]z=f'(x)±gz(x)；

(2)[/(x)-g(x)]'=￡(X)H(X)+./U)H'(x)；

網(wǎng)f(丫)*(*)—/Tx)*'(x)

(3)(g(x)WO).

Lg(x)Jfg(x)P

二級結(jié)論與微點提醒

(1)/'(xo)代表函數(shù)1Ax)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0))'是函數(shù)值八xo)的導(dǎo)數(shù)，且(/Uo))'

=0.

(2)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

(3)「L/J(_X)]_I,=一/麗'(聲x)

(4)曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個

公共點.

(5)函數(shù)y=/U)的導(dǎo)數(shù)/(X)反映了函數(shù)八工)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方

向，其大小，(創(chuàng)反映了變化的快慢，『(到越大，曲線在這點處的切線越“陡峭”.

i2經(jīng)典小題練悟一遍

1.下列函數(shù)中滿足1Ax)=/'(X)的是()

A.f(x)=3+xB.f(x)=~x

C.f(x)=lnxD./(x)=0

解析：選D若八x)=0,則/'(x)=0,從而有1Ax)=/'(x).故選D.

2.曲線y=±+2在點(1,M處的切線方程為()

A.y=2x~lB.y=-2x+l

C.y=2x—4D.y=-2x+3

122

解析：選D當(dāng)x=l時，y=不4+2=l.因為，=一(*_2)2，所以y'g=_q_2)2

=-2,則所求的切線方程為了一1=一2(*—1),即y=-2x+3.故選D.

3.下列式子錯誤的是()

A.(sinx)'=cosxB.(cosx)'=sinx

2_._

C.(21nx)'=~D.(e")'=—e~x

解析：選B對于A,(sinx)f=cosx,正確；對于B,(cosx)f=—sinx,錯誤；對于

2__

C,(21nx)'=",正確；對于D,(ex)'=-ex,正確，故選B.

f

4.已知/(x)=13—8x+2x2,f(Xo)=4,則M)=.

解析：???，(x)=-8+4x,：.f(xo)=-8+4xo=4,解得祀=3.

答案：3

5.曲線y=(ax+l)e，在點(0,1)處的切線的斜率為一2,則。=.

解析：=(ax+a+l)ex,

.,.當(dāng)x=0時，y'=a+l,

/.a+l=-2,解得。=一3.

答案：一3

三三三：三三三三課堂----輪深化學(xué)習(xí)“3層級”

層級一/基礎(chǔ)點——自練通關(guān)(省時間)

基礎(chǔ)點(一)導(dǎo)數(shù)的運算

［題點全訓(xùn)］

—=3°r.I/(I)—/(1+40

1.已知函數(shù)八丫)=*2,則-叫八弋-------2=()

Ax―0ZXX

A.-2B.一1C.JD.2

解析:選AV/(x)=2x,：.f'(1)=2,

/1+Ax)―/(1)

...limAD-Al+Ax)=iim

Ax->0AXAx->0Ax

=-f(l)=-2.

2.已知函數(shù)兀r)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),且滿足式工)=2曠'(l)+lnx,則/'(1)=(

A.—eB.-1C.1D.e

解析：選B由｛X)=2J/'(l)+lnx,

得(x)=4,(l)+9

所以r(i)=?r(D+1,則/‘(i)=-i.

3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=cosx-sinx；

(2)j=(x+l)(x+2)(x+3)；

gInx

(3)J-x2+r

解：(l)y'=(cosx)'—(sinx)'=—sinx—cosx.

(2)Vj-=(x+l)(x+2)(x+3)

=(x2+3x+2)(x+3)

=x3+6x2+llx+6,

J.y'=3x2+12x+ll.

Qnx)，(x2+l)-lnx(x2+iy

(3)y'

(—+1)2

；(爐+1)—2x4nx

=(x2+l)2

x2(l~21nx)+l

=~x(x2+l)2--

［一“點”就過］

(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)運算、三角恒等式等對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，盡量避免不

必要的商的求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯.

(2)對解析式中含有導(dǎo)數(shù)值的函數(shù)，即解析式類似于式x)=f(xo)g(x)+/i(x)(xo為常數(shù))的

函數(shù)，解決這類問題的關(guān)鍵是明確TQo)是常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值為0.因此先求導(dǎo)數(shù)十(X),令x=xo,

即可得到尸(xo)的值，進而得到函數(shù)解析式，求得所求導(dǎo)數(shù)值.

基礎(chǔ)點(二)求曲線在某點處的切線方程

［題點全訓(xùn)］

1.(2020?全國I卷)函數(shù)/U)=*4—2好的圖象在點(1,八1))處的切線方程為()

A.y——2x~lB.y——2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

解析：選B=x4—lx3,(x)=4x3_6x2,.\f(1)=—2.又式1)=1—2=—1,

.?.所求的切線方程為j+l=—2(x_1),即y=-2x+l.故選B.

2.曲線y=2sinx+cosx在點(兀，一1)處的切線方程為()

A.x—j—7t—1=0B.2x—j—2n—1=0

C.2x+j—27t+l=0D.X+J—TT+1=0

解析：選C設(shè)y=/(x)=2sinx+cosx,

則f'(x)=2cosx—sinx,

：.f(n)=-2,

.,.曲線在點(k,-1)處的切線方程為y—(—1)=—2(x—k),即2x+y—2k+l=0.

2x—1

3.(2021?全國甲卷)曲線y=Ry在點(一1,一3)處的切線方程為.

解析：因為>=策，

2(x+2)—(2*—1)5

所以

y'(x+2)2=(x+2)2-

當(dāng)x=—l時，y=—3,y'=5,

所以所求切線方程為j+3=5(x+l),

即5x-j+2=0.

答案：5x—y+2=0

［一“點”就過］

函數(shù)y=/(x)在點A(xo,人孫))處的切線方程為：y~f(xo)=f,(xo)(x—xo),一定要抓住關(guān)

」［0=/(必)，

鍵.

lk=f(xo).

層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)

重難點(一)求曲線過某點的切線方程

［典例］若經(jīng)過點尸(2,8)作曲線y=》3的切線，則切線方程為()

A.12x-j-16=0

B.3x-y+2=0

C.12x—y+16=0或3*一廠2=0

D.12x-y-16=0或3x-y+2=0

［解析］①易知尸點在曲線>=好上，當(dāng)尸點為切點時，V=3x2,*=12,切線方程為

12x—j-16=0.

②當(dāng)P點不是切點時，設(shè)切點為A(xo,jo),由定義可求得切線的斜率為左=3蝴.

xj—8

二■點A在曲線上，???yo=x3,_^=3xJ,

A-01

2

二端一3蝴+4=0,.,.(xo+l)(xo-2)=O,

解得xo=-1或xo=2(舍去)，二刈=—1,4=3,

此時切線方程為y+l=3(x+l),即3x-y+2=0.

故經(jīng)過點P的曲線的切線有兩條，方程為12上一了-16=0或3x-j+2=0.

［答案］D

［方法技巧］

過點的切線方程的求解方法

設(shè)切點為P(xo,jo),則斜率左=/'(xo),過切點的切線方程為y—yo=/'(xo)(x—xo),又

因為切線方程過點A("z,n),所以"一刈=/'(XO)(〃LXO),然后解出刈的值.(x()有幾個值，

就有幾條切線)

［提醒］在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

［針對訓(xùn)練］

設(shè)曲線y=x+lnx的一條切線過點(0,1),則此切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為()

ee

A，2(l+e)B?不

2

e2e

C，2(e2+1)D?e2+l

解析：選C設(shè)切點為(%o,jo),y'=l+~,切線方程為y一必一lnxo=(l+；)cr—xo),

X\**-0z

切線過點(0,1),

1-xo-Inxo=-xo-1,Inxo=2,xo=e2,

二切線方程為y=(l+/)x+l,故可得切線在x,y軸上的截距為一富彳，1.故三角形的

面積為2仁2+1)?

重難點(二)求切點坐標(biāo)或參數(shù)

［典例］(1)已知曲線y=2e，一l在xo處的切線方程為2ex-y+m=0,貝！J()

A.m=—1B.m——1—e

C.m=lD.m=e

(2)函數(shù)/(x)=lnx+ax的圖象上存在與直線2x-j=0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍

是.

［解析］(1)因為y=2e>—1,所以y'=2ex,

所以曲線y=2e*-l在沏處的切線的斜率為k=y'|x=Xo=2e^,

又因為切線方程為2ex—y+?i=0,即y=2ex+/n,得《=2e,

所以2e*o=2e,解得xo=l,

所以當(dāng)x=xo=l時，y=2exo—l=2e—1,即切點為(l,2e—1),

將其代入切線方程得2eX1—(2e—l)+?i=0,得m=-l.

(2)函數(shù)八x)=lnx+ax的圖象上存在與直線2x—y=0平行的切線，即/(x)=2在(0,

+8)上有解，而r(X)=1+%即：+。=2在(0,+8)上有解，a=2—1在(0,+8)上有解,

因為x>0,所以2—；<2,所以。的取值范圍是(一8,2).

［答案］(DA(2)(—8,2)

［方法技巧］

求切點、參數(shù)問題的方法

通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)，注意以下

幾點：切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；切點在切線上；切點在曲線上.

［針對訓(xùn)練］

1.過曲線)=好一2%+3上一點P作曲線的切線，若切點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是1,1，

則切線的傾斜角的取值范圍是()

A.0,.B.0,￡C.［0,.D.［普,兀)

3

解析:選B因為V=2了-2,1^^<3，所以0〈2工一2?1.設(shè)切線的傾斜角為?則0<1311

7T

.因為0/aV7t,所以故選B.

2.曲線產(chǎn)sinx+2x+l在點P處的切線方程是3x-j+l=0,則切點P的坐標(biāo)是

解析：由函數(shù)y=sinx+2x+l,則y'=cosx+2,

設(shè)切點尸的坐標(biāo)為(xo,jo),則斜率左=)'b=xo=cosM)+2=3,所以COSX()=1,解得

XQ=2kn(k^Z),

當(dāng)左=0時，切點為(0,1),此時切線方程為3x-y+l=0;當(dāng)上W0,切點為(2抬t,4kn+

i)(*ez),不滿足題意.綜上可得，切點為(0,1).

答案：(0,1)

重難點(三)公切線問題

［典例］已知函數(shù)人工)=/一2帆，g(x)=31nx-x,若》=｛幻與丁=虱幻在公共點處的切線

相同，則m=()

A.-3B.1C.2D.5

［解析］設(shè)函數(shù)｛10=/一2m，g(x)=3Inx—X的公共點設(shè)為(xo，jo)，

rxi-2m=3\nxo-xo，

Axo）=g（xo），

則1即，

r（M））=g'a。），

,xo>O,

解得孫=冽=1.

［答案］B

［方法技巧］

確定兩曲線的公切線問題，切點是切線的核心，解決這類問題的關(guān)鍵是設(shè)出切點的坐標(biāo)，

用好相切的特征，即若兩個函數(shù)的圖象有相同的切線，則需根據(jù)函數(shù)與切線在切點處的函數(shù)

值相等以及兩函數(shù)在切點處的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值也相等，構(gòu)建方程(組)加以求解.

［針對訓(xùn)練］

17

已知直線I：y=%+小為曲線/(x)=ex的切線，若直線/與曲線g(x)=—尹2+必一5也相

切，則實數(shù)機的值為.

解析：設(shè)直線與曲線相切于點(xo,exo),由/'(xo)=e*o=l,得

=0,所以切點坐標(biāo)為(0,1),所以直線/的方程為y=x+l.又由直線/與曲線g(x)相切，聯(lián)立

17

方程，消去y得一不r?+次J—5=3+1,化簡得“2—2(帆一l)x+9=0,所以4=4(帆-1)2—4X9

=0,解得，"=4或，〃=-2.

答案：4或一2

層級三/細微點一一^優(yōu)化完善(掃盲點)

1.（混淆求導(dǎo)公式）下列導(dǎo)數(shù)的運算中不正確的是（）

A.（3*）'=3xln3

B.（x2lnx）'=2xlnx+x

-

c-（chosdx\,=xsinxcosx

D,（sinxcosx）f=cos2x

,Acosx\,—xsinx-cosx..,….

解析：選C因為=------?------,所以C項錯誤，其余都正確.

2.（混淆點P處的切線和過產(chǎn)點的切線）函數(shù)式萬）=，+]的圖象在點（1,直1））處的切線方

程為（）

A.x—y+l=0B.3x—y—1=0

C.x—y—1=0D.3x—，+1=0

解析：選A函數(shù)於）=*2+1的導(dǎo)數(shù)為r（x）=2x一可得圖象在點（1,八1））處的切線

斜率為左=2—1=1,切點為（1,2）,可得圖象在點（1,八1））處的切線方程為y—2=*—1,即X

一7+1=0.故選A.

3.（創(chuàng)新學(xué)科情景）中國魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家劉徽在運用“割圓術(shù)”求圓的周長時，在

圓內(nèi)作正多邊形，用多邊形的周長近似代替圓的周長，隨著邊數(shù)的增加，正多邊形的周長也

越來越接近于圓的周長.這是世界上最早出現(xiàn)的“以直代曲”的例子以直代曲”的思想，

在幾何上，就是用直線或者直線段來近似代替曲線或者曲線段.利用“切線近似代替曲線”

]

的思想方法計算e加，所得的結(jié)果用分數(shù)表示為.

解析：構(gòu)造函數(shù)/（x）=e\則有期（x）=e\-0）=1,f（0）=1,所以/（x）在點（0,1）處的

切線方程為y=x+l,根據(jù)“切線近似代替曲線”的思想方法可得￡^）=e逅?式函+1

_2024

=2023°

竺案.2024

口柒?2023

4.（銜接高等數(shù)學(xué)）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為藍型，比如：當(dāng)x-0

時，丁e*—的1極限即為年0型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達

在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)，再求極限來確定未

e*—1（e*—1），My-2lriy

x=

定式值的方法.如：lim—~—=lim,—=lim-j-=lime=e°=l,貝!Jlim2_1

x->0Xx->0xx-01x—0X->1X1

5kx2lnx（x2lnx）'2xlnx+x：lnx+.t\=lnl+,1=1

解析：吧序=吧（1），=吧~=1?l^22-

答案：|

5.（創(chuàng)新學(xué)科情景汝口圖，水缸為圓錐形，圓錐底面直徑為2.5米，高為5"2.5

米，水被以九立方米/小時的速度注入水缸中，當(dāng)水缸中的水深為2米時，水一^

面上升的瞬時速度（變化率）為（單位：米/小時）.5\

解析：設(shè)圓錐底面半徑為，，水深的高度為加水注入的時間為。70

則有*段=4,貝寸加=%/同i,則，=；X壺XMx/i,化簡得爐=

-2~

1_

480則無=(48。1.

1t_2[1./i\_2

3f33

h'=48X-X^3,當(dāng)h=2時，代入於=4即，貝"￡=不v=h=48X-X(T)=

11j-J1

63X83X§X63=6X-X83=4.

答案：4

6.（強化開放思維）已知曲線y=/（x）存在兩條互相平行的切線，請寫出一個滿足條件的

函數(shù)：.

解析：兩條切線互相平行應(yīng)先滿足在切點處的導(dǎo)數(shù)值相等，例如八*）=3,r（*）=3*2,

{1）=1,八-1）=一1,此時r（1）=3,r（—1）=3,函數(shù)在（1,1）處的切線方程為：y=3x-2;

函數(shù)在（一1,—1）處的切線方程為：j=3x+2,符合題意.

答案：式用=二（答案不唯一）

［課時驗收評價］

一、點全面廣強基訓(xùn)練

1.已知函數(shù)大幻=50§”,則大元）+/'便等于（）

3131

A.B.C.

7T7T

解析：選C因為/(x)=-*cos%+5—sin%),所以刎+/'(^)=—^+^X(—1)=

3

n

2.函數(shù)/（x）=；+2x在x=l處切線的傾斜角為（）

.71It—27t

A4Bn-6C3D-T

解析：選A由題得r(*)=一±+2,

：.f(1)=-1+2=1,二切線的斜率為1,

jr

...切線的傾斜角為?

3.函數(shù)式口的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()-

A.r(1)>/，(2)>04(3)

B.f(2)<f(3)<0

C.0</-z(l)<f(2)<f'(3)[...

O\123

D.fm>f(2)>f(3)>0

解析：選D如圖，作出函數(shù)｛x)在x=l,2,3處的切線A,l2,h,

可見三條切線的斜率依次遞減，但是都大于零，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可

知,fd)>f(2)>f(3)>0,故選D.

4.若曲線直x)=xsin*在％=■^處的切線與直線ax+2y+l=0互

相垂直，則實數(shù)。等于()

A.-2B.-1

C.1D.2

解析：選D由題意可得(x)=sinx+尤cosx,/'e^=l,...曲線/(x)=xsinx在

處的切線的斜率為1,

又?.?直線ax+2y+i=0的斜率為一*

Xl=-1,解得”=2.故選D.

5.已知點尸(xo,泗)在曲線C：y=*3一/+i上移動，曲線C在點尸處的切線的斜率為

k,若21],則xo的取值范圍是()

A.[—qB[-1，3_

D.[-7,9]

解析：選B由)=“3一好+1,得，=3x2—2x,則曲線。在點P(“0,yo)處的切線的斜

率為k=yf|x=xo=3xj_2xo,

?:kG...3端一2刖￡

3x8-2xo^21,7

3

即〈1一

才

3xi-2xQ^—y

6.已知直線y=-x+1是函數(shù)/)=—%圖象的切線，則實數(shù)。=.

解析：設(shè)切點為(須，3b),則/(須)=——?e飛=—1,

a

2

,e飛=Q，又——?e"o=一須十1,■??須=2,a=e.

a

答案：e2

7.(2023?河南高三?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=acosx(a>l)在&底))處的切線與坐標(biāo)軸圍

成的三角形的面積為去則實數(shù)。的值為.

解析：；/(")=歐。§%,:?，(x)=—asinx,

???/'e)=一又；周=°，

.?./(X)在點七，扈))處的切線方程為y=(-a)Q—圖，

令x=0,得y=5〃；令y=0,得x=],

?gx為x^=5,解得〃=：.

答案：；

it

8.若點P是曲線尸爐―in%上任意一點，則點p到直線y=R—2的最小距離為.

解析：由丁=/一in%,得<=2x—^(x>0),

設(shè)點PoUo,yo)是曲線y="2—lux上到直線y=x—2的距離最小的點，

則y'lx=x=2xo—7-=1,解得xo=l或劭=一；(舍去).

.?.點Po的坐標(biāo)為(1,1).

所求的最小距離為~[=y[2.

答案：爽

9.設(shè)八x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x》0時，式x)=2*2.

⑴求x<0時，段)的表達式；

(2)令g(x)=lnx,問是否存在即，使得/U),g(x)在x=x0處的切線互相平行？若存在，

求出刈的值；若不存在，請說明理由.

解：⑴當(dāng)x<0時，-x>0,

f(x)=—f(—x)=—2(—x)2=—2x2.

當(dāng)x<0時，式x)的表達式為f(x)=—2x2.

(2)若/(x),g(x)在Xo處的切線互相平行，

則r(Xo)=g'(xo),

當(dāng)x>0時，/'(xo)=4xo=g‘(xo)=：,

**-0

解得X0=±；.故存在Xo=；滿足條件.

10.已知函數(shù)/)=ax+《(xW0)在x=2處的切線方程為3x-4y+4=o.

(1)求a,5的值；

(2)求證：曲線上任一點P處的切線/與直線加y=x,直線5x=0圍成的三角形的面

積為定值.

解：(1)由/(x)=ax+g,得/(x)=a一如W0).

,3

由題意得，/⑵一不

.3X2一欽2)+4=0,

53

-=-

4夕

6

2a+=

O.

(2)證明：由⑴知於)=x+±

設(shè)曲線的切點為&0,Xo+Jj)，/'(xo)=l一點，

曲線在點尸處的切線方程為

廠《。+￡HT)(xr。)，

即產(chǎn)(1一捻+卻當(dāng)x=°時，y=i

即切線I與l2:x=0的交點坐標(biāo)為4(0,￡).

由卜0一玨+/得尸23

尸x,42x。，

即/與小y=x的交點坐標(biāo)為B(2xo,2xo).

12

又人與，2的交點為0(0,0),則所求的三角形的面積為S=T-|2XO|--=2.

/X0

即切線/與/l,b圍成的三角形的面積為定值.

二、重點難點培優(yōu)訓(xùn)練

1.設(shè)點尸在曲線y=e*上，點。在曲線y=lnx上，則|PQ|的最小值為()

B.鄧

C.l+ln2D.也

解析：選D因為函數(shù)7=0"與y=lnx互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y=x對稱，所以可先

求點P到直線y=x的最近距離d,設(shè)曲線y=e”上斜率為1的切線為y=x+b,因為=ex,

由e'=l,可得x=0,所以切點的坐標(biāo)為(0,1),即8=1,所以,=券,所以|「。|

yJl2+(—l)2/~

的最小值為也.

/(1+2AX)—yg—Ax)

2.已知函數(shù)加:)=or一加x,且口4=3,則函數(shù)於)在(1,加)處

Ax

的切線方程是.

翻訴小1-Al+2Ax)-/(l-Ax)

解析：由螞)Ax

Jl+2Ax)~/(lAx)q

酗

=33Ax'、'

得r⑴=1,

而于'(X)=Q—已，所以a=2,f(x)=2x—\nx,f(l)=2,

所以切線方程為j—2=x—1,即y=x+l.

答案：y=x+l

3.已知曲線式工)=好+“工+：在x=0處的切線與曲線g(x)=—InX相切，則。的值為

解析：由式幻="3+奴+:，得(幻=37+凡f(0)=a,/(0)=1,

曲線y=/(x)在x=0處的切線方程為y—^=ax.

設(shè)直線y—~^=ax與曲線g(x)=—Inx相切于點(x。，—Inxo),

g'a)=T，

r1

-Inxo~~^=axo9①

一3

將②代入①得lnxo=*

3

1e*

-3

e"

答案：-e^

4.已知函數(shù)八幻=*3+(1—a)/—a(a+2)x+5(a,》GR).

⑴若函數(shù)/(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為-3,求a,6的值;

⑵若曲線y=/(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍.

解：f'(x)=3x2+2(1—a)x~a(a+2).

Xo)=*=o,

(1)由題意，得，

f(0)=-a(a+2)=-3,

解得Z>=0,a=—3或a=l.

⑵因為曲線y=/(x)存在兩條垂直于y軸的切線，

所以關(guān)于x的方程/'(*)=3/+2(1—a)x-a(a+2)=0有兩個不相等的實數(shù)根,

所以J=4(l-a)2+12a(a+2)>0,

即4a2+4a+l>0,所以ar一1.

所以a的取值范圍為(一8,—1,+8).

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

明：知

課標(biāo):教考

要求；導(dǎo)向

L了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)不超過三次).

課前——教材溫顧學(xué)習(xí)"2方案

i1主干知識回顧一遍

i.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

設(shè)函數(shù)/U)在3,力內(nèi)可導(dǎo)，r(X)是八X)的導(dǎo)函數(shù)，貝！J

fU)>0_/U)在(a,公內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)

fU)<0在(a,Z>)內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)

f(x)=01Ax)在3,方)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)

2.充分、必要條件與導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性

a/(?>o(或ra)<o)是/(?在(“，力內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件.

(2)/'(x)》0(或r(x)W0)是/(?在(a,力內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的必要不充分條件.

(3)若/'(x)在區(qū)間(a,6)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0,則(x)》0(W0)是人x)在區(qū)間(a,

方)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充要條件.

二級結(jié)論與微點提醒

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實質(zhì)是解不等式，求解時，要堅持“定義域

優(yōu)先”原則.

(2)有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個時，用“，”隔開或用“和”連接，不能用“U”

連接.

(3)函數(shù)式》)在區(qū)間[a,句內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，可得r(x)》0(或r(x)WO)在該區(qū)間恒

成立,而不是ra)>o(或r。)<0)恒成立，“=”不能少.必要時還需對“=”進行檢驗.

z2經(jīng)典小題練悟一遍

1.函數(shù)八x)=cosx-x在(0,7T)上的單調(diào)性是()

A.先增后減B.先減后增

C.增函數(shù)D.減函數(shù)

解析：選D'.'f'(x)=—sinx—KO,

.,.人勸在①，兀)上是減函數(shù).

2.函數(shù)Ax)=2/—inx的單調(diào)遞減區(qū)間是()

1

-

-B

2J

c.(o,9

解析：選C

由r(制<0,解得

解析：選D由題圖可知當(dāng)x>0時，/'(x)>0,當(dāng)xVO時，/'(x)VO,所以函數(shù)式比)

在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，D選項符合.

4.函數(shù)/(x)=(x—3)e*的單調(diào)遞增區(qū)間為.

解析：f(x)=[(x_3)ex]/=e*+(x—3)e*=(x—2)e*.令f(x)>0,解得x>2.故所求單調(diào)

遞增區(qū)間為(2,+8).

答案：(2,+°°)

5.已知函數(shù)/(*)=一R+"2-%-1在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)”的取值范圍是.

解析：由題意知r(")=一35+2改一1<0在R上恒成立，所以4=4層-12<0,解得

一小WaW小.

答案：［一書,書］

BBBBnBBBhnB課堂------輪深化學(xué)習(xí)"3層級"

層級一/基礎(chǔ)點——自練通關(guān)(省時間)

基礎(chǔ)點判斷不含參函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間

［題點全訓(xùn)］

1.已知函數(shù)/(x)=x(e*—er),則/(x)()

A.是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減

B.是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增

C.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減

D.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增

解析：選D因為兀t)=x(ex—e"),xGR,

定義域關(guān)于原點對稱，

x)=-x(e-x-ex)=x(ex-ex)=f(x),

所以<x)是偶函數(shù).

當(dāng)x>0時，f(x)=ex-e-x+x(ex+e-x)>0,

所以八x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故選D.

2.(2023?南崗期末)函數(shù)_Ax)=%：2—91nx的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(0,3)B.(一8,3)

C.(3,+8)D.(-3,3)

解析：選A函數(shù)/(X)的定義域為(0,+°°),

令f'(x)W0,解得一3Wx<3,

又因為x>0,所以0<rW3,

故函數(shù)式x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),故選A.

3.函數(shù)/(x)=?詈(xG［e,+8))的單調(diào)遞增區(qū)間為

--

EL-，X1Inx

解析：f(x)=(x—l)2，

令g(x)=x—l-lnx,g'(x)=l-

,-*xe[e,+0°),Al—1>0,g'(x)>0,

.，.g(x)在xG［e,+8)上是增函數(shù)，

g(x)》g(e)=e-2>0,即/'(x)>0,

.?JU)的單調(diào)遞增區(qū)間為［e,+8).

答案：［e,+°°)

［一“點”就過］

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

(1)確定函數(shù)兀T)的定義域；

(2)求/'(x);

(3)解不等式r(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

(4)解不等式r(x)<o,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)

重難點(一)判斷含參函數(shù)的單調(diào)性

［典例］已知函數(shù)八x)=lnx+±-：(aGR且。#0),討論函數(shù)兀r)的單調(diào)性.

［解］f(x)=^^(x>0),

①當(dāng)a<0時，f(x)>0恒成立，

函數(shù)式x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)。>0時，由f'>0,得x*；

由/'(x)=^ax^<0,得。

函數(shù)人X)在(},+8)上單調(diào)遞增，在(0,J上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng).<0時，函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時，函數(shù)/U)在g,+8)上單調(diào)遞增，在(0,0上單調(diào)遞減.

［方法技巧］

(1)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.

(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點和函數(shù)的間

斷點.

［針對訓(xùn)練］

已知函數(shù)式了)=好一X2+〃%+1.討論/(X)的單調(diào)性.

解：由義X)=%3—%2+〃％+1,得/(%)=33一2X+〃.

當(dāng)4=4-12.W0,即時，f(x)^0,/(x)在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)/=4-12a>0,即時，

A勿1—^/1—3a1+J1—3a

令/(x)—0,彳寸xi—3,X2—3.

...當(dāng)xG(-8,3。)時,/，(外>0,直?單調(diào)遞增，

當(dāng)X?(上手電，世年可時，

f(x)<0,/U)單調(diào)遞減，

當(dāng)XG(1±^E^,+8)時，

f(x)>0,八x)單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，/(?在(―8,上手可，(1+產(chǎn),+8)上單調(diào)遞增，

在(L牛王1+『，上單調(diào)遞減.

重難點(二)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍

［典例］已知函數(shù)f(x)=\nx—Tax2—2x.

⑴若函數(shù)/(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍為；

⑵若函數(shù)/(x)在［1,4］上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為.

［解析］(l)/(x)=lnx—^ax2—2x,xG(0,+°°),

所以r(x)=［-ax—2,由于_/U)在(0,+8)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以當(dāng)xG(0,+°°)

時,

!一ax—2<0有解，即.>己一《有解.

12

設(shè)G(x)=p—最，所以只要a>G(x)min即可.

而G(X)=g一1〉一1，所以G(x)min=-1.

所以—1,即a的取值范圍是(一1,+°°).

⑵由/a)在［1,4］上單調(diào)遞減得，

當(dāng)［1,4］時，f(x)=1—ax—2<0恒成立，

12

即a》p一反恒成立.

所以a》G（X）max,而G（X）=g-l）2-l,

因為xG［l,4］,所以1,1,

7

所以G（X）max=一記（此時％=4）,

所以心一看，即a的取值范圍是［一卷+8）.

［答案］（1）（-1,+8）（2）［—春，+8）

［方法技巧］求參數(shù)范圍的常見類型和解題技巧

常見類型解題技巧

已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間。上轉(zhuǎn)化為r（x）2o（或r（x）wo）對xwz）恒成立問題，要注意

單調(diào)遞增（或遞減）“=”是否取到

已知可導(dǎo)函數(shù)1AX）在某一區(qū)間實際上就是ra）＞o（或ra）＜o）在該區(qū)間上存在解集，這

上存在單調(diào)區(qū)間樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成不等式問題

已知人幻在區(qū)間/上的單調(diào)性，先求出/（X）的單調(diào)區(qū)間，令/是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可

區(qū)間/中含有參數(shù)求出參數(shù)的取值范圍

已知八X）在