【解析版】專(zhuān)題03直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系本章主要討論三維空間中的直線(xiàn)與平面，從四個(gè)簡(jiǎn)單直觀的公理（也稱(chēng)為“基本事實(shí)”)出發(fā)，通過(guò)演繹推理的方法建立起關(guān)于空間的點(diǎn)、直線(xiàn)與平面之間基本關(guān)系的比較系統(tǒng)完整的理論；這方面的要求與“二期課改“教材相比，有明顯的提高，因此課程的難度也略有增大；作這樣變化的目的在于克服學(xué)生空間直觀想象和邏輯推理上的不足；所以，充分利用教材的內(nèi)容但不要超越教材的難度，注意給學(xué)生鋪設(shè)好從平面到立體的臺(tái)階，聚焦培養(yǎng)學(xué)生的能力和索養(yǎng)；因此，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念與空間想象能力是學(xué)習(xí)立體幾何的關(guān)鍵；教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注空間圖形及其位置關(guān)系的多種表征方式；如實(shí)物、模型、圖形、符號(hào)及文字等，并通過(guò)不同表征方式的相互轉(zhuǎn)化來(lái)幫助學(xué)生理解空間概念、圖形和解決，用好長(zhǎng)方體這一直觀的模型；．一、《必修第二冊(cè)》目錄與內(nèi)容提要【本章教材目錄】第10章空間直線(xiàn)與平面10.1平面及其基本性質(zhì)10.1.1空間的點(diǎn)、直線(xiàn)與平面；10.1.2相交平面；10.1.3空間圖形的平面直觀圖的畫(huà)法；10.2直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系10.2.1空間的平行直線(xiàn)；10.2.2異面直線(xiàn)；10.2.3兩條異面直線(xiàn)所成的角；10.3直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系10.3.1直線(xiàn)與平面平行；10.3.2直線(xiàn)與平面垂直；10.3.3直線(xiàn)與平面所成的角；10.3.4三垂線(xiàn)定理；10.4平面與平面的位置關(guān)系10.4.1平面與平面平行；10.4.2二面角*10.5異面直線(xiàn)間的距離【本章內(nèi)容提要】1、立體幾何中的公理及其推論（1）公理1如果一條直線(xiàn)上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面上，那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面上；（2）公理2不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；推論1一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面；推論2兩條相交直線(xiàn)確定一個(gè)平面；推論3兩條平行直線(xiàn)確定一個(gè)平面；（3）公理3如果兩個(gè)不同的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)；（4）公理4平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行；2、直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系（1）有三種可能的位置關(guān)系：相交、平行、異面；（2）等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等；推論1如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或者互補(bǔ)；推論2如果兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成的銳角（或直角）相等；（3）異面直線(xiàn)的定義：不同在任何一個(gè)平面上的兩條直線(xiàn)叫做異面直線(xiàn)；（4）異面直線(xiàn)判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面上一點(diǎn)的直線(xiàn)，和此平面上不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何一條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)；（5異面直線(xiàn)所成的角的定義：兩條異面直線(xiàn)平移到相交位置時(shí)所得到的銳角或直角，稱(chēng)為這兩條異面直線(xiàn)所成的角；3、直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系（1）直線(xiàn)與平面平行的判定定理：如果不在平面上的一條直線(xiàn)與這個(gè)平面上的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與這個(gè)平面平行；（2）直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，過(guò)這條直線(xiàn)的一個(gè)平面與此平面相交，那么其交線(xiàn)必與該直線(xiàn)平行；（3）線(xiàn)面垂直的定義：如果一條直線(xiàn)與平面上的任意一條直線(xiàn)都垂直，就說(shuō)這條直線(xiàn)與這個(gè)平面互相垂直；（4）直線(xiàn)與平面垂直的判定定理：如果一條直線(xiàn)與平面上的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么直線(xiàn)與該平面垂直；（5）直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)互相平行；推論1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與給定的直線(xiàn)垂直；推論:2：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與給定的平面垂直；（6）線(xiàn)面所成的角的定義：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的投影所成的銳角，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角；（7）三垂線(xiàn)定理：平面上的一條直線(xiàn)和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直的充要條件是它和這條斜線(xiàn)在平面上的投影垂直；4、平面與平面的位置關(guān)系（1）兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面上的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行；（2）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行；（3）一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，一個(gè)二面角的大小等于它的平面角的大??；（4）平面與平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面垂直；（5）平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果果兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面上垂直于兩個(gè)平面交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直；*5、異面直線(xiàn)間的距離（1）定理：對(duì)于任意給定的兩條異面直線(xiàn)，存在唯一的一條直線(xiàn)與這兩條直線(xiàn)都垂直并且相交；（2）定義：兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做這兩條異面直線(xiàn)的距離；1、直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線(xiàn)a在平面α內(nèi)直線(xiàn)a在平面α外直線(xiàn)a與平面α相交直線(xiàn)a與平面α平行公共點(diǎn)無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)符號(hào)表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)（1）按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類(lèi)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(有無(wú)公共點(diǎn)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直線(xiàn)和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn),直線(xiàn)在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn))),無(wú)公共點(diǎn)——直線(xiàn)和平面平行))（2）按直線(xiàn)是否在平面內(nèi)分類(lèi)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直線(xiàn)在平面內(nèi)——所有點(diǎn)在平面內(nèi),直線(xiàn)在平面外\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直線(xiàn)與平面相交,直線(xiàn)與平面平行))))2、直線(xiàn)與平面平行的判定定理文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言如果不在平面上的一條直線(xiàn)與這個(gè)平面上的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與這個(gè)平面平行；應(yīng)用線(xiàn)面平行的判定定理證明線(xiàn)面平行的基本步驟：（1）利用性質(zhì)定理在面內(nèi)找平行線(xiàn)；（2）證明直線(xiàn)與直線(xiàn)平行；常用方法：三角形的中位線(xiàn)定理，平行四邊形的平行關(guān)系、成比例線(xiàn)段、線(xiàn)線(xiàn)平行的傳遞性．（3）說(shuō)明兩線(xiàn)與平面的位置關(guān)系（一條在面內(nèi)，一條不在面內(nèi)）；（4）得出結(jié)論；3、直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，過(guò)這條直線(xiàn)的一個(gè)平面與此平面相交，那么其交線(xiàn)必與該直線(xiàn)平行；4、直線(xiàn)與平面垂直的定義文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言直線(xiàn)與平面垂直的定義及其相關(guān)概念：如果一條直線(xiàn)與平面上的任意一條直線(xiàn)都垂直，就說(shuō)這條直線(xiàn)與這個(gè)平面互相垂直；如果直線(xiàn)l與平面α垂直，我們記作l⊥α．這時(shí)，直線(xiàn)l叫做平面α的垂線(xiàn)（或者法線(xiàn)），l與α的交點(diǎn)叫做垂足；畫(huà)示意圖時(shí)，通常使直線(xiàn)l與表示平面α的平行四邊形的一邊垂直；5、直線(xiàn)與平面垂直的重要結(jié)論文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直；l⊥α6、直線(xiàn)與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言直線(xiàn)與平面垂直的判定定理：如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么該直線(xiàn)與此平面垂直；【說(shuō)明】該定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”的互相轉(zhuǎn)化；7、直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)互相平行；a⊥α，b⊥α?a//b推論1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與給定的直線(xiàn)垂直；·推論2：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與給定的平面垂直；8、點(diǎn)到平面的距離文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言點(diǎn)到平面的距離：過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線(xiàn)，則該點(diǎn)與垂足間的線(xiàn)段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線(xiàn)段，垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離；如圖，PP′⊥平面α，P′為垂足，線(xiàn)段PP′的長(zhǎng)度即為點(diǎn)P到平面α的距離；直線(xiàn)到平面的距離：如果一條直線(xiàn)l平行于一個(gè)平面α，那么直線(xiàn)l上任意兩點(diǎn)到平面α的距離都相等（證明過(guò)程留作習(xí)題），從而就可以把直線(xiàn)l上一點(diǎn)M到平面α的距離定義為直線(xiàn)l到與它平行的平面α的距離；9、直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言一條直線(xiàn)l與一個(gè)平面α雖然相交，但不垂直，稱(chēng)之為斜交；這條直線(xiàn)l稱(chēng)為平面α的斜線(xiàn)；斜線(xiàn)l和平面α的交點(diǎn)A叫做斜足；過(guò)斜線(xiàn)上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線(xiàn)PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線(xiàn)AO叫做斜線(xiàn)在這個(gè)平面上的投影（也稱(chēng)射影）；平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的投影所成的銳角，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角另外，我們約定，如果一條直線(xiàn)垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是直角；如果一條直線(xiàn)和平面平行或在該平面上，就說(shuō)二者所成的角是00的角求斜線(xiàn)和平面所成的角的一般步驟：（1）作：在斜線(xiàn)上選擇恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)點(diǎn)，作平面的垂線(xiàn)，確定垂足，連接斜足和垂足，得到斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，斜線(xiàn)和其射影所成的角，即為斜線(xiàn)和平面所成的角；（2）證：證明（1）中所作出的角就是所求直線(xiàn)與平面所成的角；（注：關(guān)鍵證明線(xiàn)面垂足，即證得斜線(xiàn)在面內(nèi)的射影）；（3）求：通過(guò)解三角形（通常是直角三角形），求出（1）中所作的角的大?。?0、三垂線(xiàn)定理文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言三垂線(xiàn)定理：平面上的一條直線(xiàn)和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直的充要條件是它和這條斜線(xiàn)在平面上的投影垂直；已知PO、PA分別是平面的垂線(xiàn)、斜線(xiàn)，OA是PA在平面上的射影，a；則a⊥OAa⊥PA.【注意】創(chuàng)造出符合三垂線(xiàn)定理的條件：題型1、準(zhǔn)確把握角的概念例1、（1）若直線(xiàn)上有一點(diǎn)在平面外，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在平面外B．直線(xiàn)上有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)都在平面外C．直線(xiàn)上有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)都在平面內(nèi)D．直線(xiàn)上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)【答案】B；【解析】直線(xiàn)上有一點(diǎn)在平面外，則直線(xiàn)不在平面內(nèi)，故直線(xiàn)上有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)在平面外；（2）下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）①如果a，b是兩條直線(xiàn)，a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何一個(gè)平面；②如果直線(xiàn)a和平面α滿(mǎn)足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線(xiàn)平行；③如果直線(xiàn)a，b和平面α滿(mǎn)足a∥b，a∥α，b在平面α外，那么b∥α.A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】可借助正方體來(lái)判斷．如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在過(guò)BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故命題①不正確；AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命題②不正確；假設(shè)b與α相交，因?yàn)閍∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，又b在平面α外，，所以b∥α，故命題③正確．【說(shuō)明】1、在判斷直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系時(shí)，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線(xiàn)、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷；2、若直線(xiàn)a?平面α，則平面α內(nèi)的直線(xiàn)與直線(xiàn)a有平行或相交的關(guān)系；若直線(xiàn)a與平面α相交，則平面α內(nèi)的直線(xiàn)與直線(xiàn)a有相交或異面的關(guān)系；若a∥α，則平面α內(nèi)的直線(xiàn)與直線(xiàn)a有平行或異面的關(guān)系；題型2、準(zhǔn)確理解直線(xiàn)與平面平行的位置關(guān)系例2、（1）能保證直線(xiàn)a與平面α平行的條件是()A．b?α，a∥bB．b?α，c∥α，a∥b，a∥cC．b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC∥BDD．直線(xiàn)a在平面α外，b?α，a∥b【答案】D；【解析】由線(xiàn)面平行的判定定理可知，D正確；（2）如果直線(xiàn)a∥直線(xiàn)b，且直線(xiàn)a∥平面α，則直線(xiàn)b與平面α的位置關(guān)系是()A．相交 B．b∥αC．b?α D．b∥α或b?α【答案】D；【解析】如圖，正方體中，A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，AB?平面ABCD；A1B1∥C1D1，A1B1∥平面ABCD，C1D1∥平面ABCD，∴b與α的位置關(guān)系是b∥α或b?α；【說(shuō)明】判別線(xiàn)面平行，通常可以從視角：1、利用定義，證明線(xiàn)面無(wú)公共點(diǎn)，一般利用反證法來(lái)驗(yàn)證；2、利用直線(xiàn)與平面平行的判定定理；3、利用平面與平面平行的性質(zhì)；題型3、直線(xiàn)與平面平行的判定例3、（1）已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與過(guò)A，C，E三點(diǎn)的平面的位置關(guān)系是【答案】平行；【解析】如圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O；在正方體中容易得到點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)；又因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥BD1；又∵OE?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE；（2）如圖，點(diǎn)P在平面四邊形ABCD外，底面ABCD為梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點(diǎn)；求證：BE∥平面PAD；【證明】方法1：如圖，取PD的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)A.由題意知EF為△PDC的中位線(xiàn)，∴EF∥CD，且EF＝eq\f(1,2)CD＝2.又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF.又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法2、如圖，延長(zhǎng)DA，CB相交于H，連接PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴eq\f(HB,HC)＝eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,2)，即B為HC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，∴BE∥PH，又BE?平面PAD，PH?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法3：如圖，取CD的中點(diǎn)H，連接BH，HE，∵E為PC的中點(diǎn)，∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由題意知ABDH，∴四邊形ABHD為平行四邊形，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH在平面PAD外，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH?平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE?平面BHE，∴BE∥平面PAD.【說(shuō)明】1、一種轉(zhuǎn)化：直線(xiàn)與平面平行的關(guān)鍵是在已知平面內(nèi)找一條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)平行，即要證直線(xiàn)和平面平行，先證直線(xiàn)和直線(xiàn)平行，即由立體向平面轉(zhuǎn)化，由高維向低維轉(zhuǎn)化．2、判斷或證明線(xiàn)面平行的常用方法：（1）利用定義，證明線(xiàn)面無(wú)公共點(diǎn)，一般利用反證法來(lái)證明；（2）利用直線(xiàn)與平面平行的判定定理；（3）利用平面與平面平行的性質(zhì)；題型4、直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)及其應(yīng)用例4、（1）如圖，已知AB與CD是異面直線(xiàn)，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H.求證：四邊形EFGH是平行四邊形．【證明】因?yàn)锳B∥平面α，AB平面ABC，平面ABC∩平面α＝EH，所以AB∥EH，因?yàn)锳B∥平面α，AB平面ABD，平面ABD∩平面α＝FG，所以AB∥FG，所以EH∥FG，同理由CD∥平面α可證EF∥GH，所以四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH.（1）求證：AP∥平面BDM；（2）若G為DM中點(diǎn)，求證：eq\f(GH,PA)＝eq\f(1,4)；【證明】（1）如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，在△ACP中，O，M分別為AC，PC的中點(diǎn)，∴OM∥AP，OM?平面BDM，AP?平面BDM，∴AP∥平面BDM.（2）∵AP∥平面BDM，AP?平面APGH，平面BDM∩平面APGH＝GH，∴AP∥GH，又AP∥OM，∴GH∥OM，又G為DM中點(diǎn)，∴GHeq\f(1,2)OM，又OMeq\f(1,2)AP，∴eq\f(GH,PA)＝eq\f(1,4)；【說(shuō)明】1、直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理作為線(xiàn)線(xiàn)平行的依據(jù)，可以用來(lái)證明線(xiàn)線(xiàn)平行；2、線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)定理經(jīng)常交替使用：先通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)平行推出線(xiàn)面平行，再通過(guò)線(xiàn)面平行推出線(xiàn)線(xiàn)平行，復(fù)雜的題目還可以繼續(xù)推下去，可稱(chēng)為平行鏈，如下圖：線(xiàn)線(xiàn)平行eq\o(→,\s\up7(在平面內(nèi)作),\s\do5(或找一條直線(xiàn)))線(xiàn)面平行eq\o(→,\s\up7(經(jīng)過(guò)直線(xiàn)作),\s\do5(或找平面與平面的交線(xiàn)))線(xiàn)線(xiàn)平行；題型5、對(duì)直線(xiàn)與平面垂直位置關(guān)系的理解例5、（1）試判斷下面說(shuō)法的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)．①垂直于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行．()②一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)不垂直，那么這條直線(xiàn)就一定不與這個(gè)平面垂直．()③一條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直．()④如果三條共點(diǎn)直線(xiàn)兩兩垂直，那么其中一條直線(xiàn)垂直于另兩條直線(xiàn)所確定的平面．()⑤垂直于三角形兩邊的直線(xiàn)必垂直于第三邊．()⑥過(guò)點(diǎn)A垂直于直線(xiàn)a的所有直線(xiàn)都在過(guò)點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi)．()【答案】①×；②√；③×；④√；⑤√；⑥√；【解析】題號(hào)分析結(jié)論空間中垂直于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)可相交、平行或異面錯(cuò)誤②滿(mǎn)足線(xiàn)面垂直的條件正確③這無(wú)數(shù)條直線(xiàn)可能是一組平行線(xiàn)錯(cuò)誤④由基本性質(zhì)及線(xiàn)面垂直的判定定理知結(jié)論成立正確⑤結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)易得正確正確⑥由線(xiàn)面垂直的判定定理知正確正確（2）已知兩條直線(xiàn)m，n，兩個(gè)平面α，β，給出下面四個(gè)命題：①m∥n，m⊥α?n⊥α②α∥β，m?α，n?β?m∥n③m∥n，m∥α?n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β其中正確命題的序號(hào)是()A．①③ B．②④C．①④ D．②③【答案】C；【解析】?jī)蓷l平行直線(xiàn)中，有一條垂直于平面，那么另一條直線(xiàn)也垂直于這個(gè)平面，①正確；分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線(xiàn)平行或異面，②錯(cuò)；③中m∥n，m∥α?n∥α或n?α，③錯(cuò)；④α∥β，m⊥α，∴m⊥β，又m∥n，∴n⊥β，④正確．故選C．【說(shuō)明】直線(xiàn)和平面垂直的定義中的“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義，當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，該直線(xiàn)就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線(xiàn)；判斷和證明直線(xiàn)與平面垂直的常見(jiàn)方法有：①定義法；②判定定理，要尋找平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)；題型6、準(zhǔn)確把握角的概念例6、（1）下列說(shuō)法正確的是()A．垂直于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行B．垂直于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)垂直C．垂直于同一個(gè)平面的兩直線(xiàn)平行D．垂直于同一條直線(xiàn)的一條直線(xiàn)和平面平行【答案】C；【解析】在空間中垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)，可能平行，可能相交，也可能異面，所以A、B錯(cuò)；垂直于同一直線(xiàn)的直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系可以是直線(xiàn)在平面內(nèi)，也可以是直線(xiàn)和平面平行，所以D錯(cuò)；由線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理知C正確；（2）已知a，b是異面直線(xiàn)，α∩β＝c，a⊥α，b⊥β，直線(xiàn)l⊥a，l⊥b，求證：l∥c.【提示】先利用線(xiàn)垂直面的性質(zhì)得線(xiàn)垂直線(xiàn)再證平行；【證明】如圖，在a上取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)b′⊥β，∵b⊥β，∴b′∥b（直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理）；∵l⊥b，b′∥b，∴l(xiāng)⊥b′.∵l⊥a，∴l(xiāng)垂直于由a與b′確定的平面γ；∵a⊥α，α∩β＝c，∴a⊥c，同理b⊥c；∵b∥b′，∴c⊥b′，又a∩b′＝A，a與b′確定的平面為γ，∴c⊥γ.又∵l⊥γ，∴l(xiāng)∥c（直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理）；【說(shuō)明】證明線(xiàn)線(xiàn)平行的常見(jiàn)方法有：1、利用線(xiàn)線(xiàn)平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)；2、利用平行公理：證明兩線(xiàn)同時(shí)平行于第三條直線(xiàn)；3、利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理；4、利用面面平行的性質(zhì)定理；5、利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理；題型7、對(duì)三垂線(xiàn)的理解與初步應(yīng)用例7、（1）（1）若直線(xiàn)垂直于以為直徑的圓所在的平面，為圓周上異于的一點(diǎn)，有下列關(guān)系：①②平面③④，其中正確的是___________.【提示】注意：首先“平面”，然后“”先由題意，得到，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理以及性質(zhì)，可判斷①②④正確；推出與不垂直；假設(shè)，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理與性質(zhì)推出，得出矛盾，即可得出③錯(cuò).【答案】①②④【解析】因?yàn)闉橐詾橹睆降膱A上異于的一點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)垂直于以為直徑的圓所在的平面，所以平面，因此；即①正確；又，且平面，所以平面；即②正確；又平面，所以；即④正確；因?yàn)槠矫?，所以，即是以為直角的直角三角形，所以與不垂直；若，根據(jù)，，平面，可得平面，則，這與“，不垂直”矛盾，故，不垂直；即③錯(cuò)；故答案為：①②④；【說(shuō)明】本題主要考查了三垂線(xiàn)定理，線(xiàn)面垂直，線(xiàn)線(xiàn)垂直的判斷，熟記線(xiàn)面垂直的判定定理和性質(zhì)即可；（2）已知點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA＝PB＝PC，則點(diǎn)P在平面ABC上的射影一定是△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【答案】B；【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC上的射影為O，連接OA，OB，OC.所以PO⊥平面ABC.因?yàn)镻A＝PB＝PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以△PAO≌△PBO≌△PCO，所以AO＝BO＝CO.即點(diǎn)O到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)O為△ABC的外心．【說(shuō)明】三垂線(xiàn)定理：平面上的一條直線(xiàn)和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直的充要條件是它和這條斜線(xiàn)在平面上的投影垂直；題型8、對(duì)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離的理解與求法例8、（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是________．【答案】4eq\r(5)；【解析】如圖所示，作PD⊥BC于點(diǎn)D，連接AD.因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又PD∩PA＝P，所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).（2）已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝eq\r(2).S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA＝SB＝2，SC＝eq\r(5)，點(diǎn)P是SC的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面ABC的距離．【解析】方法1：如圖，連接PA，PB，易知SA⊥AC，BC⊥AC.分別取AB，AC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，EF，PF，則EF∥BC，PF∥SA.所以EF⊥AC，PF⊥AC.因?yàn)镻F∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF，所以PE⊥AC.易證△SAC≌△SBC，所以PA＝PB.又E是AB的中點(diǎn)，所以PE⊥AB.因?yàn)锳B∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.從而PE的長(zhǎng)就是點(diǎn)P到平面ABC的距離．因?yàn)镻是SC的中點(diǎn)，所以在Rt△APE中，AP＝eq\f(1,2)SC＝eq\f(\r(5),2)，AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),2)，所以PE＝eq\r(AP2－AE2)＝eq\r(\f(5,4)－\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2)，即點(diǎn)P到平面ABC的距離為eq\f(\r(3),2).方法2：如圖，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線(xiàn)，兩直線(xiàn)交于點(diǎn)D.因?yàn)锳C＝BC＝1，AB＝eq\r(2)，所以AC⊥BC.所以四邊形ADBC為正方形，連接SD.易知AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD.易知BC⊥SB，又BC⊥BD，SB∩BD＝B，所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD.因?yàn)锽C∩AC＝C，所以SD⊥平面ADBC.所以SD的長(zhǎng)即點(diǎn)S到平面ABC的距離，在Rt△SAD中，易得SD＝eq\r(3).因?yàn)辄c(diǎn)P為SC的中點(diǎn)，故點(diǎn)P到平面ABC的距離為eq\f(1,2)SD＝eq\f(\r(3),2).【說(shuō)明】1、從平面外一點(diǎn)作一個(gè)平面的垂線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)與垂足間的距離就是這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．當(dāng)該點(diǎn)到已知平面的垂線(xiàn)不易作出時(shí)，可利用線(xiàn)面平行、面面平行的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為與已知平面等距離的點(diǎn)作垂線(xiàn)，然后計(jì)算，也可以利用等換法轉(zhuǎn)換求解；2、線(xiàn)面距與面面距：（1）一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線(xiàn)到這個(gè)平面的距離；（2）如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離；題型9、直線(xiàn)與平面所成的角及其求法例9、（1）等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，若AC與α所成的角為30°，則斜邊上的中線(xiàn)CM與α所成的角為_(kāi)_______．【答案】45°；【解析】如圖，設(shè)C在平面α內(nèi)的射影為點(diǎn)O，連接AO，MO，則∠CAO＝30°，∠CMO就是CM與α所成的角；設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝eq\r(2)，所以CM＝eq\f(\r(2),2)，CO＝eq\f(1,2)，所以sin∠CMO＝eq\f(CO,CM)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠CMO＝45°.答案：45°（2）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中．①求A1B與平面AA1D1D所成角的大?。虎谇驛1B與平面BB1D1D所成角的大?。窘馕觥竣佟逜B⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.②如圖，連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O，連接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A1B＝eq\r(2)，A1O＝eq\f(\r(2),2).又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝eq\f(A1O,A1B)＝eq\f(1,2)，又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°，∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.【說(shuō)明】求直線(xiàn)與平面所成的角的步驟1、作（找）——作（找）出直線(xiàn)和平面所成的角；尋找過(guò)斜線(xiàn)上一點(diǎn)與平面垂直的直線(xiàn)；2、證——證明所作或找到的角就是所求的角并指出線(xiàn)面的平面角；連結(jié)垂足和斜足得到斜線(xiàn)在平面上的射影，斜線(xiàn)與其射影所成的銳角或直角即為所求的角3、求——常用解三角形的方法（通常是解由垂線(xiàn)、斜線(xiàn)、射影所組成的直角三角形）；把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角;4、答——注意：直線(xiàn)與平面所成的角θ的取值范圍是：[0°,90°];題型10、直線(xiàn)與平面的相關(guān)綜合題例10、（1）如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，其中AC＝3，PA＝4，BC＝5，則PB與平面PAC所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(17),5)【答案】A【解析】根據(jù)題意，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，則BC⊥AC，又由PA⊥圓O所在平面，則PA⊥BC，因?yàn)镻A∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，則BC⊥平面PAC，故∠BPC是PB與平面PAC所成的角，在△ACB中，AC＝3，BC＝5，AC⊥BC，則AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(34)，在△PAB中，AB＝eq\r(34)，PA＝4，PA⊥AB，則PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝5eq\r(2)，在△PCB中，BC＝5，PB＝5eq\r(2)，則sin∠BPC＝eq\f(BC,PB)＝eq\f(\r(2),2).（2）如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．①求證：AB∥平面EFGH；②若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍；【證明】①∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.②設(shè)EF＝x(0<x<4)，由(1)知EF∥AB，∴eq\f(CF,CB)＝eq\f(EF,AB)＝eq\f(x,4)，與(1)同理可得CD∥FG，∴eq\f(FG,CD)＝eq\f(BF,BC)，則eq\f(FG,6)＝eq\f(BF,BC)＝eq\f(BC－CF,BC)＝1－eq\f(x,4)，∴FG＝6－eq\f(3,2)x.∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)L＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋6－\f(3,2)x))＝12－x.又∵0<x<4，∴8<L<12，故四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍是(8，12)；1、兩平面α，β平行，a?α，下列四個(gè)命題：①a與β內(nèi)的所有直線(xiàn)平行；②a與β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行；③直線(xiàn)a與β內(nèi)任何一條直線(xiàn)都不垂直；④a與β沒(méi)有公共點(diǎn)．其中正確的個(gè)數(shù)是（個(gè)）【答案】2；【解析】①錯(cuò)誤，a不是與β內(nèi)的所有直線(xiàn)平行，而是與β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行，有一些是異面；②正確；③錯(cuò)誤，直線(xiàn)a與β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直；④根據(jù)定義，a與β沒(méi)有公共點(diǎn)，正確；2、如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線(xiàn)與平面垂直的是(填序號(hào))．【答案】①③④；【解析】根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線(xiàn)必須是相交的，①③④中給定的兩直線(xiàn)一定相交，能保證直線(xiàn)與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿(mǎn)足定理?xiàng)l件；3、如圖，P為△ABC所在平面α外一點(diǎn)，PB⊥α，PC⊥AC，則△ABC的形狀為【答案】直角三角形【解析】由PB⊥α，AC?α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故選B.4、已知在平面內(nèi)，，平面，則直線(xiàn)與的位置關(guān)系是________.【提示】注意：首先“平面”，然后“”等價(jià)；【答案】垂直【解析】在中，因?yàn)?，，所以，；又因?yàn)?，平面，是斜線(xiàn)在平面上的射影，所以，,【說(shuō)明】本題考查了三垂線(xiàn)定理的直接應(yīng)用；5、如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α