平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

基礎(chǔ)部要打牢掌握程度

1強(qiáng)雙基固本源得基礎(chǔ)分

［知識(shí)能否憶起］

一、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

1.平面向量基本定理

如果外一是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

小，兒2,使2=^161+兒2電

其中，不共線的向量6,已叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基心

2.平面向量的正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

3.平面向量的坐標(biāo)表示

(1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量工J作為基底.對(duì)于平面內(nèi)

的一個(gè)向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)工K使a=xf+xZ把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=

(x,力,其中工叫做a在x軸上的坐標(biāo)，匕叫做a在y軸上的坐標(biāo).

⑵設(shè)=x1+yj；則向量。i的坐標(biāo)(x,力就是終點(diǎn)4的坐標(biāo),即若。Z=(x,y),則/點(diǎn)坐標(biāo)為

(七了),反之亦成立.(。是坐標(biāo)原點(diǎn))

二、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算

1.向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)a=(xi,防)，6=(x2,月)，貝1|a+b=(xi+xz,n+.1),a-Z>=(荀-曲K-二),」a=(4荀，4一).

2.向量坐標(biāo)的求法

(1)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

⑵設(shè)/(孫M),8(X2,yi),則A5=(苞-X1,乃-乃),AB\=yj——-荀―7一亥-M―”.

三、平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,%),6=(苞，姓)，其中6W0.若a"從。荀及-熱必=0.

［小題能否全?。?/p>

1.(?廣東高考)若向量45=(1,2),5。=(3,4),則AC=()

A.(4,6)B.(-4,-6)

C.(-2,-2)D.⑵2)

解析：選A.AC=AB+BC,AC=(1,2)+(3,4)=(4,6).

2.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a〃友則a+6等于(

A.(-2,-1)B.(2,1)

C.(3,-1)D.(-3,1)

解析：選A由a〃8可得2X(-2)-1X0,故4,所以司+6=(-2,-1).

3.(教材習(xí)題改編)已知兩點(diǎn)4(4,1),B(7,-3),則與A5同向的單位向量是()

A-(I-f)B(.|,I)

i)

解析：選A?"(4,1),8(7,-3),「.45=(3,-4),

一■AR<34、

??.與45同向的單位向量為T—=匕，-7.

|AS|

4.在平行四邊形ABCD中，若A5=(1,3),AC=⑵5),則AD=BD=.

解析：AD=BC=AC-AB=(2,5)-(1,3)=(1,2),

BD=AD-AB=(1,2)-(1,3)=(0,-1).

答案：(1,2)(0,-1)

5.梯形四切中，AB//CD,AB=2CD,M,兒分別是。血的中點(diǎn)，。；設(shè)

AO=4若MN=ma+nb,貝=.//\

解析：；MN=MD+DA+AN=--a-b+-a=~a-b,

答案：-4

1.基底的不唯一性

只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量a都

可被這個(gè)平面的一組基底2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯

一的.

2.向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別

要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)

中既有方向的信息也有大小的信息.

高頻考點(diǎn)要通關(guān)抓考點(diǎn)I學(xué)技法I得拔高分I掌握程度

GAOPINKAODIANYAOTONGGUAN______________J______________J______________）

平面向量基本定理及其應(yīng)用

典題導(dǎo)入

［例1］（?蘇北四市聯(lián)考）如圖，在四邊形/灰/中，/「和川相交于點(diǎn)0,

設(shè)=a,AB=b,若A5=2DC,則A。=（用向量司和6表示）.

0c］

［自主解答］AB=2DC,:ZOC-XBOA、且兀;=不

Un.Z

AC=|(AP+曲多+為

21

［答案］鏟+勺6

由題悟法

用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，再用該基底表示向量，也就是.利用已知向

量表示未知向量，其實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算.

以題試法

1.（-南寧模擬）在△/回中，〃為邊6c上任意一點(diǎn)，N為中點(diǎn)，AN=AAB+AC,貝1J才+

〃的值為（）

11

R

2-3-

Ac.

1

D

4-.1

A設(shè)0

?(AB-AC)(0<?<1),則AM=AC+CM=(1-血AC+

I2f

12

-M1-m---m1-/n1

2--^—AC,所以4+〃^2+~2~=2.'

2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1W題導(dǎo)入

［例2］⑴（?西城期末）已知向量a=（斕，L）,b=（0,-2）.若實(shí)數(shù)4與向量c滿足a+2b=Ac,

則c可以是（）

A.（近-1）B.(-1,H)

C.（-"J3,-1）D.(-1,73)

⑵已知/(一2,4),8(3,-1),C(-3,-4)」&A5=a,BC=b,CA=c.

①求3a+b-3c；

②求滿足a=〃6+的實(shí)數(shù)R,n.

［自主解答］(l)va=(V3,1),6=.(0,-2),

：.a+2b=(73,-3)=-73(-1,73).

(2)由已知得a=(5,-5),6=(-6,-3),c=(1,8).

①3a+6-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)

=(15-6-3,-15-3-24)

=(6,-42).

(2)'-'mb+nc-(-6^+77,-3m+8ii),

f_6a+z?=5,［m=-1,

1-3必+8〃=-5,［n=-1.

［答案］(1)D

?>一題多變

本例中第⑵題增加條件。而=3c,ON=2b,求〃”的坐標(biāo)及向量加的坐標(biāo).

解：；CM=0M-0C=3c,

OM=3c+OC=(3,2,4)+(-3,-4)=(0,20).

??,#(0,.20),又：CN=ON-OC=一24

ON——2b+OC=(12,6)+(—3,—4)=(9,2),

/1M9,2).MN=(9,-18).

由題悟法

1,向量的坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，從而可使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算.

2.兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相同.此時(shí)注意方程(組)思想的應(yīng)用.

［注意］向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)不同：向量平移后，其起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)都發(fā)生變化，但向量的坐標(biāo)

不變.

以題試法

2.(?淮安模擬)已知向量a=(6,4),b=(0,2),OC=a+Ab,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)。在函數(shù)y=

sin住;rj的圖象上，則實(shí)數(shù)，的值為.

解析：由題意得0d=(6,4)+4(0,2)=(6,4+24),

故點(diǎn)c的坐標(biāo)為(6,4+2A),

3

角

6兀S得1

rA--2-

根據(jù)條件得4+2A=sin—=1,

答案：-|

平面向量共線的坐標(biāo)表示

典題導(dǎo)入

［例3］(?廣東高.考)已知向量a=(1,2),6=(1,0),c=(3,4).若兒為實(shí)數(shù)，(a+A6)〃c,貝

=()

11

%B.］

C.1D,2

［自主解答］可得a+46=(1+兒，2),由(a+46)〃c得(1+4)X4-3X2=0,所以才=g.

［答案］B

?>一題多變

在本例條件下，問(wèn)是否存在非零常數(shù)2，使a+八b和a-Ac平行？若平行，是同向還是反向？

解：,「劉+b—(1+幾，2),a,—4c=(1一3幾，2—44),

若(a+幾6)〃(a—幾c),-B?(1+4)(2—44)一2(1—34)—0.

4=1.a+b—(2,2)與a—Ac—(—2,—2)反向.

即存在幾=1使a+Ab與a-平行且反向.

由題悟法

a//b的充要條件有兩種表達(dá)方式

(l)a〃6(6W0)=a=46(XER);

(2)設(shè)a二(肛yi),b=lx?,乃)，貝lja〃g>xi刃一總％二0.

兩種充要條件的表達(dá)形式不同.第⑴種是用線性關(guān)系的形式表示的，而且有前提條件6W0,而第⑵

種無(wú)bW。限制.

以題試法

3.(1)(?北京東城區(qū)綜合練習(xí))已知向量a=⑵3),斤(-1,2),若儂+9與〃-26共線，則:()

A.-2B.2

11

c--

-2D.2

解析：選C由向量a二（2,3）,6二（一1,2）得儂+成二（2e一3〃+2〃），a-2b-（4,-1）,因?yàn)閮z

+加與a-26共線，所以（2〃一〃）義（一1）一（3勿+2〃）X4=0,整理得￡=一

（2）（?嘉興模擬）已知a,6是不共線的向量，AB=Aa+b,AC=a+Pb,兒〃ER,那么4B,

。三點(diǎn)共線的充要條件為（）

A.4+〃=2B,X-n

C.Xn--\D.A//=1

解析：選D-.-A,B,C三點(diǎn)共線，.?.存在實(shí)數(shù)t,滿足45=大耳。，即Aa+b=ta+ntb,又a、b

是不共線的向量，

[2=t,

.'J即4”=1.

[1=〃人

用j解瞿”乘/FWJCAOXIAO抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

A級(jí)全員必做題

1.在中，點(diǎn)?在瓦上，且5P=2Ad,點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，若琪=（4,3）,PQ=（1,5）,

則5C等于（）

A.（-2,7）B.(-6,21)

C.(2,-7)D.(6,-21)

解析：選BBC=3PC=3(2.PQ-PA)=6P。-3匹=(6,30)-(12,9)=(-6,21).

2.已知平面向量a=(1,2),6=(-2,血，且a〃4則2a+36=()

A.(-2,-4)B,(-3,-6)

C.(-4,-8)D.(-5,-10)

解析：選C由a=(l,2),b-(-2,血，且a〃6,得1Xm=2義(-2)=>0=-4,從而b=(-2,-

4),那么2a+36=2(l,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).

3.(?昆明模擬)如圖所示，向量。汗=a,OB=bOC=c,A,B,C在一條直線

上，且AC=-3CB貝IJ()

A.c=-1a+|z)

31

B.c=~a--b

C.c=-a+2b

D.c=a+2b

解析：選A.AC=-3CB,..OC-OA=-3(OB-OC)

1313

一

而

即

oc--2-袱+2-c--2-

-

4.已知點(diǎn)4(2,1),6(0,2),C(-2,2l),。(0,0).給出下面的結(jié)論:

①直線OC與直線的平行；②而+5心=瓦;(3)OA+OC=OB;④*=礪-2場(chǎng).其中

正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選cOC=(-2,1),BA=(2,-.1),.-.OC//BA,又4B、加。不共線，

OC//AB.①正確；

???AB+BC=AC,②錯(cuò)誤；

OA+OC=(0,2)=05,③正確；

OB-2OA=(-4,0),AC=(-4,0),，④正確.

5.(-鄭州模擬)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a=(1,2),b=(@3〃-2),且平面內(nèi)的任一向量

c都可以唯一的表示成c=4a+〃6(八、〃為實(shí)數(shù))，則〃的取值范圍是()

A.(-8,2)B.(2,+8)

C.(-8,+oo)D.(-8,2)U(2,+8)

3勿—2

解析：選D由題意知向量a,6不共線，故力力一下一，解得rW2.

6.在平行四邊形Z獨(dú)中，〃與初交于點(diǎn)。，￡是線段出的中點(diǎn)，絲的延長(zhǎng)線與切交于點(diǎn)F若AC

a,BD=b.、則AF=()

1121

A.-a+-bB?a+於

1112

C.5a+pD?鏟+力

解析：選B由已知得〃￡二；旗,

又,:ADEFsNBEA、

:.DF=

12

即DF=~DC./.CF=~CD.

---9—.9—.—

..CF=-CD=~(OD-OC)

OO

—?—*—?1121

AF=AC+CF-a+-b--a=~a+-b.

oooo

7.(?洛陽(yáng)質(zhì)檢)已知向量a=(8,J,b=Ul),其中x>0,若(a-26)〃(2a+6),貝【Jx=.

解析：a—26二(8—2x,2),2a+b-(16+x,x+1),

由題意得(8-2才)?(x+1)二仔-2)?(16+x),整理得x?=16,又x>0,所以x=4.

答案：4

8.(,九江模擬)尸={a|a=(-1,1)+/(1,2),roER),Q={b\b=(1,-2)+〃(2,3),〃GR}是兩個(gè)向

量集合，則戶n。等于.

解析：產(chǎn)中，a=(-1+0,1+2加，。中，b=(1+2/7,-2+3/7).

f-l+7Z?=1+2/7,\m=-12,

貝必得〈

[1+2R=-2+3〃[;?=-7.

此時(shí)a=8=(-13,-23).

答案：{-13,-23}

9.已知向量。4=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(A+l,k-2),若4B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,

則實(shí)數(shù)A應(yīng)滿足的條件是.

解析：若點(diǎn)4B,C能構(gòu)成三角形，

則向量Ad不共線.

.AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),

AC—OC—OA=(4+1,4—.2)—(1,—3)=(k、A+1),

IX(A+l)-2A#0,解得AWL

答案：二1

10.已知/(I,1),8(3,-1),C(a,6).

(1)若4B,C三點(diǎn)共線，求a,6的關(guān)系式；

(2)若AC=2AB求點(diǎn)。的坐標(biāo).

解：⑴由已知得A5=(2,-2),AC=(a-1,6-1),

■.■A,B,。三點(diǎn)共線，AB//AC.

「.2(6-1)+2(a-1)—0,即b=2.

(2).AC=2AB,

?*.(a-1,6—1)=2(2,—2).

(a-l=4,5,

解得＜

[b-l=-4,[b=-3.

「?點(diǎn)。的坐標(biāo)為(5,-3).

11?已知==(1,0),b=(2,1).求：

(1)\a+3b\；

⑵當(dāng)A為何實(shí)數(shù)時(shí)，雨-力與a+38平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？

解：⑴因?yàn)閍=(1,0),b-(2,1),所以a+36=(7,3),

故|〃+3引+3?=y[58.

②ka-b=(k-2,-1),a+36=(7,3),

因?yàn)樗梢?與a+36平行，

所以3(4—2)+7=0,即A=-1.

此時(shí)Aa-H,-1)=(一3，

a+3b=(7,3),則3+36二-3{ka-6),

即此時(shí)向量a+36與ka-b方向相反.

12.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，2(0,2),6(4,6),OM=tOA+t2AB.

(1)求點(diǎn)〃在第二或第三象限的充要條件；

(2)求證：當(dāng)"1時(shí)，不論友為何實(shí)數(shù)，A,B,〃三點(diǎn)都共線.

解：(1)OM—tiOA+t2AB—ti(0,2)+fe(4,4)=(4ti,2ti+4ti).

f4t2<0,

當(dāng)點(diǎn)〃在第二或第三象限時(shí)，有。，一八

[2心+4友#0,

故所求的充要條件為水0且Zi+2%70.

⑵當(dāng)ii=l時(shí),由(1)知。而=(4%,46+2).

AB=OB-OA=(4,4),

AM=OM-OA=(4ti,4fe)=.fo(4,4)=tiAB,

二不論友為何實(shí)數(shù)，A,B,〃三點(diǎn)共線.

B寫(xiě)重點(diǎn)選做題

1.如圖，在平行四邊形切中，。是對(duì)角線/C劭的交點(diǎn)，N是線段OD的

DEC

中點(diǎn)，4V的延長(zhǎng)線與切交于點(diǎn)￡則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

KACAB+ADBBD=AD-AB

11.5--—?

C.AO=~AB+-ADD.AE=-AB+AD

o

解析：選D由向量減法的三角形法則知，BD=AD-AB,排除B;由向量加法的平行四邊形法

-111

知

貝nA+

Jc-2-2-n_

ABAD^z排除A、C.

2.（?山西四校聯(lián)考）在△/比?中，點(diǎn)〃在線段8c的延長(zhǎng)線上，且5C=3CD,點(diǎn)。在線段上（與

點(diǎn)C、。不重合），若A。=xA5+（1-x）AC,則x的取值范圍是（）

1

o

-2-

1

ao

-2-

解析：選D依題意，設(shè)5。=ABC,其中1<A<1,則有A。=AB+BO=AB+ABC=AB

+A(AC-AB)=(1-A)AB+AAC.

又A。=xA5+(l-x)AC,且A5,AC不共線，于是有穴=i_x0),即x的取值范

圍是°)

3.(-東營(yíng)模擬)已知〃為回內(nèi)一點(diǎn)，且34P+43P+5cp=0.延長(zhǎng)相交房于點(diǎn)〃，若4b二

a,AC=b,用a,6表示向量A》，AD.

解BP=AP-AB=AP-a,CP=AP-AC=AP-b

又3A尸+45戶+5CP=0,

3AP+4(AP-a)+5(AP-/>)=0,

1

8

3-

1

-a+方6

設(shè)A力(tER),3

又設(shè)5。=A5。(AGR),