第4章實數(shù)4.3實數(shù)無理數(shù)實數(shù)實數(shù)與數(shù)軸實數(shù)的性質(zhì)實數(shù)的運算用計算器求算術(shù)平方根或立方根1.什么是有理數(shù)？有理數(shù)怎樣分類？整數(shù)分數(shù)有理數(shù)正有理數(shù)負有理數(shù)有理數(shù)02.什么是無理數(shù)？帶根號的數(shù)都是無理數(shù)嗎？無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù).1.定義無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).判斷標準小數(shù)位數(shù)無限，小數(shù)形式為不循環(huán).知識點無理數(shù)1

3.無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別(1)有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；(2)所有的有理數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式(整數(shù)可以看成分母為1的分數(shù))，而無理數(shù)不能寫成分數(shù)的形式.易錯提醒1.無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定是無理數(shù)；2.帶根號的數(shù)不一定都是無理數(shù)，不帶根號的數(shù)也不一定就是有理數(shù).例1

解題秘方：根據(jù)無理數(shù)的三種常見形式去辨析.答案：B

特別警示對有理數(shù)和無理數(shù)進行區(qū)分時，應(yīng)先對某些數(shù)進行計算或化簡，然后根據(jù)最后的結(jié)果進行分類，不能只要看到用根號表示的數(shù)就認為其是無理數(shù).1.定義有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).特別解讀：(1)在實數(shù)范圍內(nèi)，如果一個數(shù)不是有理數(shù)，那么它一定是無理數(shù)，反之亦成立.(2)引入無理數(shù)后，我們認識的數(shù)的范圍由原來的有理數(shù)擴大到實數(shù)，今后我們研究問題時，若沒有特殊說明，就應(yīng)在實數(shù)范圍內(nèi)進行.知識點實數(shù)22.分類(1)按定義分類：實數(shù)有理數(shù)無理數(shù)整數(shù)分數(shù)正整數(shù)0負整數(shù)正分數(shù)負分數(shù)正無理數(shù)負無理數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)(1)按性質(zhì)分類：實數(shù)正實數(shù)正有理數(shù)正無理數(shù)負實數(shù)負有理數(shù)負無理數(shù)0特別提醒1.實數(shù)的分類有不同的方法，但無論用哪一種分類的方法，都要按同一標準，做到不重復不遺漏.2.0既不是正實數(shù)也不是負實數(shù).3.我們通常把0和正實數(shù)統(tǒng)稱為非負數(shù)，把0和負實數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù).

例2

..有理數(shù)：{…}；無理數(shù)：{…}；整數(shù)：{…}；

..

個1之間0的個數(shù)逐次加1)，

分數(shù)：{…}；正實數(shù)：{…}；負實數(shù)：{…}.

..

..解法提醒一化簡，二判斷.所有的有理數(shù)都可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)只能化成無限不循環(huán)小數(shù).特別警示對實數(shù)進行分類時，應(yīng)先對某些數(shù)進行計算或者化簡，然后根據(jù)化簡結(jié)果進行分類，但是往括號里面填數(shù)時一定要填原數(shù)，而不能填化簡后的數(shù).1.實數(shù)與數(shù)軸間的關(guān)系實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的.“一一對應(yīng)”包含著兩層含義：(1)每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；(2)數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).知識點實數(shù)與數(shù)軸32.利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大.3.數(shù)軸上兩點間的距離可用兩點所表示的實數(shù)來表示，即點A、點B在數(shù)軸上表示的實數(shù)分別為x1、x2，則AB＝|x1－x2|.特別提醒1.在數(shù)軸上表示無理數(shù)時，一般只能通過估算標出其近似位置；2.借助數(shù)軸上的點可以把實數(shù)直觀地表示出來，數(shù)軸上的任意一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)就是無理數(shù).

例3

方法點撥

[期中·海安市]如圖4.3-3，數(shù)軸上的點P，A表示的數(shù)分別為－1，2，過A點的直線l垂直于數(shù)軸，點B在直線l上，且AB＝OA．連接PB，以P為圓心，PB長為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點C，則點C表示的數(shù)為________.例4

解題秘方：根據(jù)勾股定理計算出線段PB的長度，然后計算出數(shù)軸上原點O到點C之間的線段長度，即可得到點C所表示的數(shù)．

方法提醒本題考查了實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應(yīng)關(guān)系，解此類問題需要注意三點：⑴利用圓規(guī)在數(shù)軸上畫弧，通常運用勾股定理求斜邊長度，根據(jù)“圓弧半徑相等”在數(shù)軸上確定線段長度；方法提醒⑵確定數(shù)軸上點所表示的數(shù)，通常求原點到該點之間的線段長度．可利用“數(shù)軸上兩點間的距離＝較大的數(shù)－較小的數(shù)”確定線段長度；⑶有時還根據(jù)數(shù)的符號以及絕對值的大小進行判斷．

知識點實數(shù)的性質(zhì)42.比較實數(shù)的大小(1)定義法：正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)；(2)性質(zhì)法：兩個正數(shù),絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)反而小.

例5解題秘方：利用實數(shù)的性質(zhì)求相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值.

方法點撥1.求一個數(shù)的相反數(shù)，就是在這個數(shù)前面添上“－”.2.求一個數(shù)的絕對值時，首先要判斷所求數(shù)的符號，然后根據(jù)“正數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，0的絕對值等于0”寫出這個數(shù)的絕對值.1.在實數(shù)范圍內(nèi)，進行加、減、乘、除、乘方和開方運算時，有理數(shù)的運算法則和運算律仍然適用；實數(shù)混合運算的運算順序與有理數(shù)混合運算的運算順序一樣，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，同級運算按照自左向右的順序進行，有括號的先算括號里面的.知識點實數(shù)的運算52.實數(shù)的運算律加法交換律：a＋b＝b＋a；加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；乘法交換律：ab＝ba；乘法結(jié)合律：(ab)c＝a(bc)；乘法分配律：(a＋b)c＝ac＋bc.3.運算種類運算級別第一級第二級第三級運算名稱加減乘除乘方開方運算結(jié)果和差積商冪方根特別提醒1.運用運算律進行實數(shù)運算時要做到：①“看”——看算式的結(jié)構(gòu)特點，能否運用運算律或公式；②“用”——運用運算律或公式；③“查”——檢查過程和結(jié)果是否正確.2.負實數(shù)只能開奇次方，不能開偶次方.3.計算結(jié)果中如果包含開方開不盡的數(shù)，則保留根號.

例6解題秘方：緊扣實數(shù)混合運算的順序，首先利用乘方運算、開方運算、零指數(shù)冪及負整數(shù)指數(shù)冪的意義進行化簡，然后再計算．

解：原式＝2＋6－4＝4．原式＝3＋1－2＝2．

方法點撥

用計算器求算術(shù)平方根或立方根的步驟1.用計算器求一個正數(shù)a的算術(shù)平方根：①按(開機鍵)；②在計算器上依次按以下各鍵：，顯示的結(jié)果即為a的算術(shù)平方根；2.用計算器求一個有理數(shù)a的立方根：①按(開機鍵)；②在計算器上依次按以下各鍵：，顯示的結(jié)果即為a的立方根.知識點用計算器求算術(shù)平方根或立方根6注意1.不同型號的計算器按鍵順序有可能不同